第15讲：系统抽样与分层抽样讲义 高三艺考数学一轮复习

第15讲：系统抽样与分层抽样【课型】复习课【教学目标】1.理解系统抽样与分层抽样的概念2.会用这两种抽样方法解决简单问题【预习清单】【基础知识梳理】1．系统抽样(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n，当eq\f(N,n)是整数时，取分段间隔k＝eq\f(N,n)；③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．（2）样本号码间隔相等也叫等距抽样：(3)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．2．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．【引导清单】考向一：系统抽样例1：（1）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（2）某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为【解析】（1）系统抽样的间隔为eq\f(24,4)＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＝48，解得x＝3.（2）由题意得，抽样间隔为eq\f(840,42)＝20.所以在区间[481，720]抽取eq\f(240,20)＝12(人)．考向二：分层抽样最喜爱喜爱一般不喜欢4800720064001600例2：（1）某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为，，，。(2)一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为eq\f(1,28)，且样本中的男队员比女队员多4人，则m＝________．【解析】(1)因为抽样比为eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每类人中应抽选出的人数分别为4800×eq\f(1,200)＝24，7200×eq\f(1,200)＝36，6400×eq\f(1,200)＝32，1600×eq\f(1,200)＝8..(2)由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员有y人．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝28，,x－y＝4，,\f(56,m)＝\f(x,y).))解得x＝16，y＝12，m＝42.【训练清单】【变式训练1】（1）：某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．（2）高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A．8B.13C．15D．18【解析】（1）由题知分组间隔为eq\f(64,8)＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.（2）分段间隔为eq\f(52,4)＝13，故还有一个学生的编号为5＋13＝18【变式训练2】（（1）已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．（2）某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________．【解析】（1）设小学与初中共需抽取的学生人数为x，依题意可得eq\f(1200,2700＋2400＋1200)＝eq\f(20,x＋20)，解得x＝85.（2）设样本容量为x，则eq\f(x,3000)×1300＝130，所以x＝300.所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C产品的数量为eq\f(3000,300)×80＝800.【巩固清单】1．某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为【解析】由题意得，抽样间隔为eq\f(840,42)＝20.所以在区间[481，720]抽取eq\f(240,20)＝12(人)．2．某班共有学生60名，座位号分别为01，02，…，60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为________号．【解析】由题意知抽样间隔f＝eq\f(60,4)＝15，因为03号、18号、48号同学在样本中，所以样本中另外一位同学的座位号为18＋15＝33号．3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为，【解析】样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.4.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于【解析】根据分层抽样方法知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36.5.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．【解析】由题设，抽样比为eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60).设甲设备生产的产品为x件，则eq\f(x,60)＝50，所以x＝3000.则乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.6．某学校采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是【解析】把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组．所以第1组抽到的数为39－32＝7.故选B.7．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示，不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”中抽取了6人，则n＝【解析】由题意得eq\f(30,30＋10＋30＋50)＝eq\f(30,120)＝eq\f(6,n)，解得n＝24.故选D.8．某班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．【解析】由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2＝16.9．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为________．【解析】依题意得eq\f(24,120)＝eq\f(k,k＋5＋3)，解得k＝2，所以C种型号产品抽取的件数为eq\f(3,2＋5＋3)×120＝36.10．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知从全校学生中随机抽取1名，抽