第3章 图形的相似单元测试题（含答案）

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第3章图形的相似单元检测试卷（解答卷）

选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1．已知，则下列变形不正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

2．如图，在中，，如果，，，那么的值为（）

A．4B．6C．8D．9

【答案】A

如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，

然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．

有关他这次探究活动的描述错误的是（）

A．AB=24mB．MN∥AB

C．△CMN∽△CABD．CM：MA=1：2

【答案】D

4．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（）

A．B．C．D．

【答案】A

如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，

则她的影长为（）

A．1.3mB．1.65mC．1.75mD．1.8m

【答案】C

6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，

他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．

纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，

则树高AB为（）

A．12mB．13.5mC．15mD．16.5m

【答案】D

7.如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，

剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【答案】B

8．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（）

A．3:2B．3:1C．1:1D．1:2

【答案】D

一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米．

当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°．

已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？（）

A．4米B．4.5米C．5米D．6米

【答案】B

10.如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，

折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，

使点A落在边上的处，称为第2次操作，

折痕到的距离记为.按上述方法不断操作下去……

经过第2023次操作后得到的折痕到的距离记为，

若，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）

11．已知，则的值为．

【答案】

12．如图，，相交于点E，若，，则的长是．

【答案】6

13.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．

点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，

已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，

那么该古城墙的高度CD是米．

【答案】8

14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：

①；②；③；④中的一个，

不能得出和相似的是：（填序号）．

【答案】③

15.如图所示，在□ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，

则△DEF的面积与△BAF的面积之比为_____________

【答案】9：16

如图，四边形是内接正方形，，高，

则内接正方形边长．

【答案】

17．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，

此时液面.

【答案】3

18.如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，

已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：

①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；

③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；

其中正确的是_________________

【答案】①③④

三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）

19．已知：，求的值．

解：将两边减去1得，

．

∴．

20．已知：如图，在中，.求证：.

证明：∵，

∴.

∵，且，

∴，

∴.

21．如图，已知在ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．

(1)求△AEF与△CDF的周长之比；

(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，CD∥AB，

∴∠CAB＝∠DCA，∠DEA＝∠CDE，

∴△AEF∽△CDF，

∵AE∶EB＝1∶2，

∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，

∴△AEF与△CDF的周长之比为1∶3（周长比等于相似比）；

（2）∵△AEF∽△CDF，AE∶CD＝1∶3，

∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9，

∵S△AEF＝6cm2，

∴S△CDF＝54cm2．

22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

求证：∠DAF＝∠CDE；

求证：△ADF∽△DEC；

(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.

解：如图：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B=∠ADC

∵∠AFE=∠B，

∴∠AFE=∠ADC

∵∠AFE=∠1+∠2，∠ADC=∠3+∠2

∴∠1+∠2=∠3+∠2，

即∠1=∠3

∴∠DAF=∠CDE

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，

∴∠2=∠4

由（1）得∠1=∠3

∴△ADF∽△DEC

(3)∵AE⊥BC，

∴AE⊥AD

∴DE=

由（2）可知：△ADF∽△DEC，CD=AB=7

∴

∴

∴AF=

23.如图1，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），

过D作，交的延长线与G、F．

(1)求证：；

(2)如图2，连接，

①点E在运动过程中，能否是等腰三角形，若能，求出的值；若不能，请说明理由；

②若，求的值．

解:（1）∵四边形是正方形，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

在和中，

∵，

∴．

（2）①点E在运动过程中，能是等腰三角形，

由（1）知，

∴．

∴．

∴，

∴只能．

设，则，

在中，由勾股定理，得：，

即，

整理，得：，

解得：，（不合题意，舍去），

∴的值是．

②在中，，设，

则，，

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴，即．

整理得，．

解得：，（不合题意，舍去）

∴．

24．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE=1，AE=，CE=3，求∠AED的度数；

（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，

当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．

解：（1）CE=AF

证明：∵ABCD是正方形

∴AD=CD，∠ADC=900

∵△DEF是等腰直角三角形

∴DE=DF，∠FDE=900

∴∠ADF+∠ADE=∠CDE+∠ADE

∴∠ADF=∠CDE

∴△ADF≌△CDE，

∴CE=AF

（2）设DE=

∵DE：AE：CE=1：：3

∴AE=，CE=AF=3，

∵△DEF为等腰直角三角形

∴EF=，∠DEF=450

∴AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2

∴AE2+EF2=AF2

∴△AEF为直角三角形

∴∠AEF=90°

∴∠AED=∠AEF+∠DEF=90°+45°=135°

∵M是AB中点，

∴MA=AB=AD，

∵AB∥CD，

∴，

在Rt△DAM中，DM=，

∴DO=，

∵OF=，

∴DF=，

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，

∴△DFN∽△DCO

∴，

∴，

∴DN=

∴CN=CD﹣DN=4﹣=

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）

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第3章图形的相似单元检测试卷

选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1．已知，则下列变形不正确的是（）

A．B．C．D．

2．如图，在中，，如果，，，那么的值为（）

A．4B．6C．8D．9

如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，

然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．

有关他这次探究活动的描述错误的是（）

A．AB=24mB．MN∥AB

C．△CMN∽△CABD．CM：MA=1：2

4．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（）

A．B．C．D．

5.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳比爸爸矮0.3m，

则她的影长为（）

A．1.3mB．1.65mC．1.75mD．1.8m

6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，

他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．

纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，

则树高AB为（）

A．12mB．13.5mC．15mD．16.5m

7.如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，

剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

8．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（）

A．3:2B．3:1C．1:1D．1:2

一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米．

当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°．

已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？（）

A．4米B．4.5米C．5米D．6米

10.如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，

折痕到的距离记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，

使点A落在边上的处，称为第2次操作，

折痕到的距离记为.按上述方法不断操作下去……

经过第2023次操作后得到的折痕到的距离记为，

若，则的值为（）

A．B．C．D．

填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）

11．已知，则的值为．

12．如图，，相交于点E，若，，则的长是．

13.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．

点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，

已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，

那么该古城墙的高度CD是米．

14．如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：

①；②；③；④中的一个，

不能得出和相似的是：（填序号）．

15.如图所示，在□ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，

则△DEF的面积与△BAF的面积之比为_____________

如图，四边形是内接正方形，，高，

则内接正方形边长．

17．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，

此时液面.

18.如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，

已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：

①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；

③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；

其中正确的是_________________

三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）

19．已知：，求的值．

20．已知：如图，在中，.求证：.

.

21．如图，已知在ABCD中，E为AB上一点，AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F．

(1)求△AEF与△CDF的周长之比；

(2)若S△AEF＝6cm2，求S△CDF．

22.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．

求证：∠DAF＝∠CDE；

求证：△ADF∽△DEC；

(3)若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的长.

23.如图1，E是边长为1的正方形边上一动点（E与C、D不重合），

过D作，交的延长线与G、F．

(1)求证：；

(2)如图2，连接，

①点E在运动过程中，能否是等腰三角