川大版高数物理类专用第三册答案

第一章行列式

(1)1(23154)=1+1+0+1+0=3该数列为奇垢列

⑵t(631254)=5+2+0+0+1+0=8该排列为偶排列

(3)-1)…321］=(〃-1)+(〃-2)+(〃-3)+...+2+1+0=———-

当〃=4m或〃=4加+1时，口〃(〃-1)...321］为偶数,排列为偶排列

当.=4旭+2或"=4团+3时,“〃(三一1)…321］为奇数,排列为奇排列(其中zn=0,1,2…)

(4)口135...(2人一1)246…(2〃)］=0+1+2+3+...+(」-1)二〃(；1)

当〃=4机或〃=4m+1时，中35...(2〃-1)246...(2〃)］为偶数,排列为偶排列

当〃=4m+2或〃=4m+3时，工［135…(2〃-1)246…(2〃)］为奇数，排列为奇排列(其中机=0,1,2…)

2.解：已知排列工…，〃的逆序数为七这〃个数按从大到小排列

时逆序数为(〃一1)+("-2)+("-3)+…+2+1+0=^^■个.

2

设第x数i,之后有r个数比，；小，则倒排后加位置

变为"记其后”个数比i,…小，两者相加为”-x

故MEt…"=吗D-T(宿…I)

3证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇

排列.•・当n>2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列因为两个数列依然相

等，即所有的情况不变。.•.偶排列与奇排列各占一半。

4(1)24a33即不是行列式的项是行列式的项因为它的列排排列逆序列

7=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，.•.应带负号

(2)a51442a33a24a51不是行列式的项q3a52a41a35a24=。/24a35a41a52因为它的列排排列逆

序列T(34512)=2+2+2+0+0=6为偶数J.应带正号。

aila23。32。44

5解：al2a23利用？为正负数来做，,共六项，r为正，则带正号，T为负则带负

《4。23a3l。42

号来做。

6解：(1)因为它是左下三角形

a\\a2\〃31“41…an\

为00...0

0^^42・••

Cl^।。220•••0

00。33。43…an3

。31〃32°33…U

000a44...atl4

an\an2。"3…

0000...ann

/A\r(123-n)

(-1)。11。22。33a33ann

(2)

[I〃]2a

〃3。14\5

〃22〃23。24。25

。21。22，3。24

z1V+1«32000

。31〃32000=a.l.lV(-1)+

'a.2000

a42

。4142000

°g000

a5\a5200

a2Va23°24025

00

在yo=11。22(-1),°一42a21(T)"6°

U41V00

%°00

1200

340012.(一产"2T

(3)3=32

21-13"34v751

1751

(4)

xy000

0xy00Xyo0y0

F'1+2+1+20xj,°/(\2+3+1+2八s§

」;:(-y55

00xy0100x+-1Oxy-x+y

xy

000xy」y0x

y000x

a

alla\2…\na”00...0

a

a2[a…2naxa220...0

7.证明：=,将行列式转化为.,•,若零元多于〃2一"个时，

%%2…annan\an2…°

00...0

a0...0

行列式可变为2l故可知行列式为0.

an\an20

8.(1)

20-4-120-4-143-1043-10

361-1361-1361-15940

=5二"5—5

3-1312-11--2301-230-11-230-

2331233123312331

43-143-1

594=521210=630

1-231370

第一章高数3册

9.（1）.〉=〃次+/?.经过（西,%）（々，乃）・

斜率根=比』

y=X—'2・x+Z?代入（X],%）

X]-x2

Xj-X2Xj-x2X,-x2

则尸qi.x+/3i

王一工2

Xy1

又由玉x1=0

%1

左边=（y—%）》—＞（/_尤2）+（须%—々乂）=0=右边

则y=2i二21.X+至=21

Xj-x2x}-x2

问题特征：

b+cC+Qa+b

10.(1)b+cc+aa+h

b+cc+ab+a

利用性质（4）和（5）分成六个行列式相加

其余结合为零故

bca\\cab

原式=bco'+c'ab

‘〃，，〃〃

bca|\cab

abc

=2abc(性质2)

abc

2

si.n2acosacos2a

(2)sin20coC。cos2/?

2

si.n2ycosycos27

2

1-cos2acosacosla2cos2a-lcos2acos2a

1-cos20cos20cos2/5-(2)歹U+(l)歹U_2cos20-1cos2/3cos2(i

2222

1-cos/COS/cos272cos/-Icos/cos2/

2

cos2acos-acos2a

=-cos2/cos20cos2』=0(性质(5))

2

cos27COS/cos27

0Xyz0xyzxyzxyz

2盯2

X0zy1(2)1列521X0xz

(3).((3)列xxz

2/y

yz0X(4)列xxzyz-xz-xyyyz0

zyX0zy2zx2z0

(4)列XX)，

01i1011\

_xyz-xyz10z2y210z2y-

222

yz・.tz孙1z0x1z0

72

1y2X201yX0

abcd

Cla+ba+h-Vca+b+c+d

11-(1)

a2a+b3。+2。+c4。+3。+2c+d

a3a+b6。+3b+c10。+6/7+3c+d

abcdabc

⑴列,(/)加到、0aa+h+c(2)行，(一2)+(3)行》0aa+ba+h+c

’(2)行(-3)+(4)行

(2)•⑶(4)列02a3a+2b4o+3Z?+2c00a2a+b

03a6Q+3Z?10。+6/?+3C003。6。+3/?

Clbcd

(3)行(3)+(4)行、0aa+ba+b+c

/>=1

00a2a+h

000a

123…n100…0

-103…n-126…2〃

⑴列x(-2)+(2)列

(2)-1-20…n<'---⑴--列-x-”---)+-(-3-)-列---1-103…2〃

⑴加(-”)+(”)列

-1-2-3…0-100,•,n

26•••2n

03…2〃

降阶1x(-1)"'004…2n=2x3x4x---xn=n!

000•••n

1“12一工2。13一”3

al2-x2a,3-x3aln-xn4"

〃23一X3a

10a23-x,a2„-xn2„

。）列必㈤+⑵列、

100-降阶Xjx(-l)'"xlx

宿加（』）+（”）列

100•­•0

习题一

13(1)

xy000

Oxy00

::=D

000xy

y000x

根据“定义法"O=X〃+(—l)"2345My〃=炉

123•n-\n

1-10・00

(2)0+2-2••・00=D

•〃一］

0001一〃

n(n+l)

23•,n-1n

2

n(n+l)

将第2〜n列加到、34­••n1

怅如rpPJIU第⑴列上得)2

n(n+l)

12■,n-2n-1

2

123­••n-1n

123…n-1n

011・・・11一〃

_n(n+l)134…〃1将前一行乘以-i加n(n+

—011•••1-n1

2到后行得‘2

••••・•«••・♦••••・・•

112n—2n—\

0l-n1­••11

11•••11-n

-11…11-n

11・・・1-n1

昭一................................将(2)〜S)列加、n(n+l)-11…1-n1

变为(n-1)到⑴列上得‘：

>«•••••・♦•«•••••

11-n…11

-11­••11

1-n1…11

11…11-n11・•・0-n

11・・・1-n111-n0

_n(n+l)•••••••«••・••••-lx⑴列加到、〃(〃+1)

⑵〜列'

2(n)2

11-n111-n............0

11•••11100•••0

“2-3〃+22/1-2

=-(-1)2(-1)"-2=(-1)2+~n1-'

2

(3)

1aa2-・a_n-l111…1

1a-1(a-1)2-■(a-ir1aa—\a—2…a-n+\

转置、2

1a-2("2)2.■("2)1Cl("1)2("2)2…+1)2

1

1〃一〃+1(tz-n+l)2••(a-n+iy-'a"~'("2尸•••(G-n+ir

范达蒙行列式

)(-1)丁1!2!---(/1-1)!

注：根据范达蒙行列式原式=(-1)(-2)---(-M+1)=(-1),+2+3+"+(,-1)1!2!--•(/!-1)!

(-1)(-2)---(-/?+2)

n(n-l)

-I=(—1)2l!2!---(n-l)!

a；a'；-'b{a；>仇2."叫一b；

■■4%'Tb'；

(4)•••••••••«••♦・・•••第〃行提出a：得

••%+俏；%

<+1词%娼%•

hn

1a['bta；b；…，

[4名...史2

1a；

au\"ua2"…au"n+la2a；a"'

1媪必…史必

-42/Ij

4i+l°"[an+\an+\

1b星…型外

2〃-1n

qa{axa{

l旦及婷b；

b.b.

1

a2a；a"'4=…a：+网」----)=兀(ab-ap)

a.ai

bb2b"~'b"

1%+1""+1...”〃+l4】+l

2n—\n

a，，+i4+14+1

a-B.a+Ba+£

cos----sin----cos----

222

B-y.B+y0+y

14(I)证明:COS-__-sin—~-cos-~-

222

y-a.y+ay+a

cos-----sin-----cos----

222

sin^sin^cos3

cos-0-+-7

a-B2222

=cos...--cos

2./+ay+ay+a

sin-----cos-----sin----cos----

2222

a+0a+B

sin----cos----

y-a22

+cos-——

2.B+yB+y

sin-~-cos-~~-

22

a-B,.B+Yy+a6+y,y+a、P-Y,.(x+8y+aa+B.y+a、

=cos-------(sin-~~-cos---------cos-~~-sin------)-cos-~~-(sin-----cos---------cos———sin)

2222222222

y-a,.a+BB+ya+0.£+

+cos------(sin------cos-——--cos-------sin-)

22222

a-B.B-aB-y.B-vv-a.a-v

-cos------sin----------cossin+cos-------sin-------

222222

=—sin(^-a)+—sin(7-^)+—sin(cr-7)

=；[sin(夕一a)+sin(a-7)+sin(y-^)]

X,+x2+X3+x4=1

Q+国aaaa

aa+x2aaa

(3):::：；最后一行乘以Gl)加到⑴〜(〃)行得

aaaa+xna

aaaaa

玉00•••00

0x20•••00

xxx2•••xna=ax}x2x3…

000

aaa

«0-10•■00

a\X—1,-00

(4)“递推法”

an-200••X-1

an-l00•-0X

ao-10••0-10••00

qX-1■■0X—1••00

幽-1严X+%

an-200■•X00••X-1

=xD„_l+an_l

由此类推：

D,i=x%+a吁2

D2=xD}+q

D—ci^x11।+qx"-+…+

00

I0

0-1cI

00T<d=T：）m）z（二：）（：：）

15.(1)

=(ab+l)(cd+l)-[a(-d)]=(ab+l)(cd+l)+ad

l200

3400

00-13

0

(2)h5{-广(-1-15)=32

r00

&比"(aa\

3&oj.(一严UJ

‘0cao'

al>0be

8。&J+(-L

=-a(c-d)/LrMa(d-b)_a(d_c)

=ab(MT)H-be2+C*al

=abd，"~e)(c-b)(d-b)(c-d)

6

b

ab

ba

(4)MJa*

选定（D（2n）行俨*4ba

b

P=g,-配)4

号―起…生

4=『一》'

-1Al1AM…4人

"肉Jl—I遇，囤<广-3>

a

(七一~)...(x„-%))=(x3-X2)---(X„-X2)---(X„-X„_!)|_1n-\

111­••1

xQ[an-\

・

X2%2：…：

•••・・••

a"'a；二：_(a,—x)(a2-x)....(%_1一x)(4—a).....(a,,.,—a)

-a)

(«32...(4i一出)…(a,i-a)2)

(1)因为a1/…为常数。所以p(x)是n-1次的多项式

(2)令P(X)=O.得X="l.X="2..""T即p(x)的根为心电……an-\

第二章矩阵代数

4.计算下列矩阵乘积

3-23*2+0*(-2)3*1+(-2)(-1)3(-1)+(-2)2

010*2+1*00*1+1(-1)0*(-1)+1*2

24「21-12*2+4*02*1+4(-1)2*(-1)+4*2

0J|_0-1

(1)--12一1*2+0*0-1*1+0(-1)(-1)(-1)+0*2

65-7

0-12

4-26

-2-11

"12-1V23、’1*2+2*1+(-1)21*3+2(-1)+(-1)4>-3、

-2101-1-2*24-1*1+0*2-2*3+1(-1)+0*4-7

⑵I】。3八241*2+0*1+3*21*3+0(—1)+3*4，15,

’210、

113

(3).(1,-1,2)142?=(1*2+(-1)*1+2*4,1*1+(/)*1+2*2,1*0+(-1)*3+2*1=

(9,4,1)

c

(4)(x,y,l)(伉瓦(42=41)

%[1工+4]2y+4、

。21%+。22丁+。2

(x,y,l)I3+3+c.

'd)sond)u!S-[V⑴

d)uisd)soo

v-7

-9

"H0丁仔_S]任_H=Z(8V)

99J[99八99,

82叼=0SV£0]=&F

0£9)[06)[0L,

G1仔l]仔1,出

6乂0J10

£>

7p-7十

8L)[£

口与出y‘声、v芈，仔n=a7i-q=v祺"

、0J1£b

'100、

0tz0

、00L,

[o+4%+/〃+(%+(而+短％)(+(、+仆”+/⑼灯

cos(psin(p

n=l时A=［fin(Pcos6

cos(psin(p\(cos(psin夕、

n=2时屋=1-sincpcos(p)^-sin(pcos(p)

'cos2(psin2。、

一sin2(pcos2(p)

cos2(psin2(p\(cos(psin6

32-sin

A=A.A=l2(Pcos2(p)l<-sin(p

n=3时coscp,

cos3(psin3(p、

_lk-sin3(pcos3(p)

Icosn(psinn(p'

二假设4'=【一sinn(pcosn(p)

(COS(Psin9、

sin

(1当nA”==i时，A'=l_(Pcos(p)

coscpsin(p

(2假设当西2时(n为自然数)成立，令n=k,则屋=【一sin<pcos4成、丁.

当n=k+l时

cosk(psink(p\(coscpsincp'

-sink(pcosk(p)(-sincpcoscp.

cosk(psink(p-sink(psincpcosk(psin°-sink(pcos(p、

=(一sin左夕cose+cosk(psin(p-sink(psm夕+cosk(pcos(p)

fcos［(4+1)夕］sin［(4+1)夕「

=(-sin［也+1)夕］cos［伏+1)01成立

/.、

cosn(psinn(p

综上当n微自然数时A'=l-sinn(pcosn(p.

'110、

(2)A=011

、00"

’110、

当n=l时，A1=011

、0oL

u110W121、

当n=2时，A2=0111=012

0J100

、001b

'1210、'133、

当n=3时，A3=0111=013

、00I0b、001,

fl

1n---------

2

，假设A"=01n

001

、J

<110、

当n=l时A'=011

、oo"

假设n=k+l时

01\,+k,-M-----D---]

2P10]

Ak+l=AKA=01k011

[001J

001

I/

(11+…处当

2

=01k+l

001

k)

fl1+.3

2

=01l+k成立

001

<7

(.〃(〃T))

1n---------

2

综上当n为自然数时，An=01n

001

100、

0a10

A=

00a1

(000a,

'a22a10、

0a22a1

当A=2时A2=

00a22a

、oo0心

/

a33a23a1

0a33a23a

n=3时A，=

00a53a-

0/

x.00

/a44/6a24a

0a44/6a2

n=4时A4=

00a44a3

000a4

%，5o410a310<

0a55/10a3

n=5时A=

00a5a

(000a5

7

a"nan-'C>"-2C：an-3、

n-2

0a1'na1'-'C：a

.♦.假设门23时成立A'

00a"na'-1

、00a'

o7

a33ci23a1、

(a33/3a

当n=3时A3=

((a33a2

、((0

(k2

akak-lCM-CM-、

0a"nakcy~2

假设n=k时成立/

00akkak-'

<000ak

/

aI*kak-'Va100

0akkak-'cy-20a10

当n=k+l时ak+i=

00akkak-'00a0

、000000a

(aka+kak~'kak~'+CQJcy-2+cy-2>

0ak+lak+kakkak-l+Cfak-'

00ak+lak+kak

k+l

、000a)

整理得

(k+l)akCL"*"M淤+g]

0Q(女+iH

ak+}=成立

00ak+'(&+M

、000a)

J"na"~'Cdi-3、

0annan-'C；a-

所以4(〃>3)

00a"nan-'

n

、000a)

综上

(2、

'a100、a2a10、Jnan~lc>--2C"T、

0a100a22a10anna"-'

A"二(n=1)(〃=2)(n=3)

00a000a22a00anna"~'

、。00a)00心<000屋J

"142、

7、已知B=0-3-2

10

43;

证明B"={E,当n为偶数;

B,当n为奇数

证明：：

442、(\00、

B2=0-3-3-2=010

J4I43JI。01J

.B2k=(B2)k=Ek=E

B2k+i=B2kB=EB=B

：.B"={E,当n为偶数；

B,当n为奇数

8、证明两个n阶上三角形矩阵的乘积仍为一个上三角形矩阵。

证明：设两个n阶上三角形矩阵为A,B,

、

a\\

0

且A=

bp

“22

根据矩阵乘法，有

“11仇2+。12：22q瓦+%%+、''+/也

0。22b22a22b2"+'''+annbnn

则可知AB为上三角形矩阵

同理，可得BA也为上三角形矩阵。

9、若AB=BA,AC=CA,证明：A、B、C为同阶矩阵，且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=BCA.

证:设A=(%)MMJB=(Bj)“M，C=(C(y)nXj

由题知AB、BA有意义，则可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB为mXn阶矩阵，则可知m=n，所以

A、B均为n阶矩阵。同理可知A、C均为n阶矩阵，故可得A、B、C为同阶矩阵

②

4(B+C)=A8+AC

{B+C)A=BA+CA

又由于A8=BA,AC=CA

则(B+C)4=BA+CA=A8+4C=A(8+C)

③

A(BC)=(A8)C=B(AC)=8(C4)=BCA

10、已知n阶矩阵A和B满足等式AB=BA,证明：

222

(1)(A+B)^A+2AB+B

22

(2)(A-B)(A+B)=A-B

(3)(A+5)，n=Am+mA"'-'B+C^A"'-2B2+

(m为正整数)

解：(1)(A+8)2=(A+B)(A+3)

=AA+AB+BA+BB

=A2+AB+BA+B2

由于=则原式(A+8)2=A2+2A8+82

(2)(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2

由于48=84则AB-BA=0

^(A-B)(A+B)=A2-B2

(3)数学归纳法

当m=2时，(A+B)2=42+245+^2成立

设机=〃时成立，

(A+B=A'i+(n-l)A"-B+C^A'-^B2+■■■+B"-'

当机=〃时,(4+8)"=(A+B)(A+B)n-'

=(A+S)(A,,-14-(n-l)A,,_2B+---+B,,'')

=(A"+1)A"-'B+C^An-2B2+C"""+…)

+(An-'B+(n-\)An-2B2+---+B")

=A"+nA'-'B+©J+(〃-叨-炉

n33

+[C1+C1]A-B+-+B"

=A"+nA"-'B+C；An-2B2+---+B"

mm,22

^±,(A+B)=A+mA"-'B+C；lA"-B+-+B"'

11、

4%…久、

解：由题知8必为”阶矩阵，设8=砥％-b2n

Albn2L

、（如九…瓦、

a

2瓦1。22…b2n

则AB

•«•••・・・

由于AB=84且q,a2,---,a“两两互不相等,

则必有除加，瓦少…,么”等元之外的元均为零,

如

b

„n)

即8必为对角矩阵。

12、证明

⑴A=(aj,8=(%)

\/\"//nxn\'J/nxs

将A分成根X〃块,B分成一行为一块

/

a\\a\2j伊、

a2KnBl

即A=的如,,B=.

“11..a>