河北省唐山市2023届高三二模数学试题含答案

唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.2.的共轭复数为（）A. B. C. D.3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A.220 B.240 C.250 D.3004.函数的单调递减区间为（）A.， B.，C.， D.，5.已知圆：，圆：，则与的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.相交 D.外离6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为（）A.336 B.252 C.216 D.1807.椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，则（）A.与所成角的余弦值为B.与所成角的余弦值为C.与平面所成角的正弦值为D.与平面所成角的正弦值为10.如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，…，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则（）A B.C. D.11.已知向量，，，下列命题成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.设，，当取得最大值时，12.已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（）A.的图象关于对称B.为偶函数C.D.不等式的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：134571520304045根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为______．14.已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为______．15.正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．16.，，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的内角的对边分别为，（1）求值；（2）若，求面积最大值．18.党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望．附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.84150246.6357.87919.已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，，（1）求和的通项公式；（2）求数列前项和（3）证明：20.在四棱锥中，，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．21.已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，（1）求的方程；（2），，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．22.已知函数（1）求的极值；（2）若，，，，证明：唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知，故选：B．2.的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，所以，故选：D3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（）A.220 B.240 C.250 D.300【答案】B【解析】由人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有人，故选：B.4.函数的单调递减区间为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】,解得，故单调递增区间为，故选：A5.已知圆：，圆：，则与的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.相交 D.外离【答案】C【解析】圆圆心为，圆的圆心为，，所以，所以圆与的位置关系是相交，故选:C.6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为（）A.336 B.252 C.216 D.180【答案】C【解析】由题意方法数为，故选：C．7.椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】由为直角三角形，且，，成等差数列，可知不是最长的边，故为直角边，结合椭圆的对称性，不妨设,由椭圆的定义可知的周长为，又，所以，进而可得，由，故，，在中，，所以，故选：B8.已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定义域是，有三个零点，令，当时,所以在区间单调递增；至多有一个零点不合题意，A，B，C选项错误；令,,单调递增,单调递增;,单调递减;,且，单调递减;,,有三个极值点，所以实数a的取值范围，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，则（）A.与所成角的余弦值为B.与所成角的余弦值为C.与平面所成角的正弦值为D.与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】连接，直四棱柱中,由与平行且相等得平行四边形，从而，是异面直线与所成角或其补角，又由已知易得，，，所以与所成角的余弦值为，A错B正确；作于，连接，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，从而可得（因平面），则是与平面所成角，由得，，，C正确，D错误．故选：BC．10.如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，…，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】显然是正三角形，因此，A正确；由中位线性质易得，即是等比数列，公比为，因此，B正确；，，C错误；，是等比数列，公比为，则也是等比数列，公比是，，D正确．故选：ABD．11.已知向量，，，下列命题成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.设，，当取得最大值时，【答案】AD【解析】对于A，若，则，即，所以，即，故A正确；对于B，若，则，即，即，因为，所以，所以，所以，所以，故B错误；对于C，，由，得，即，即，则，则或，所以或，故C错误；对于D，，，则，当取得最大值时，，此时，所以，故D正确.故选：AD.12.已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（）A.的图象关于对称B.为偶函数C.D.不等式的解集为【答案】BCD【思路分析】根据可判断A,求导即可根据判断B，由为偶函数以及对称可判断C，根据函数的性质画出大致图象，即可由时，求解D.【解析】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，由得，由得，故偶函数，故B正确，由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：由性质结合图可知：当时，，由得，故，当且时，此时无解，当时，，解得，当且时，由得综上可得的解集为，故D正确，故选：BCD【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：134571520304045根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为______．【答案】【解析】可得样本中心点过,可得,所以.14.已知直线：过双曲线：的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的实轴长为______．【答案】2【解析】直线与轴交点为，斜率为，由题意，解得，所以双曲线的实轴长为．15.正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，过，，做该正方体的截面，则截面形状为______，周长为______．【答案】①.五边形②.【解析】连接EF并延长交DC的延长线于N，连接交于Q，连接QF，延长FE交DA的延长线于M，连接交于P，连接EP，顺次连接，则五边形即为平面截正方体的截面多边形，如图：由题意，正方体的棱长为2，则，，则为等腰直角三角形，则，根据∽得，，则，则，，同理可得，，而，则五边形的周长为.16.，，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】，,所以对恒成立，即对恒成立，由于函数与函数互为反函数，则只需要对恒成立，故对恒成立，令，则，当单调递减，当单调递增，故当时，取到最大值，故，【点睛】本题考查了导数的综合运用.构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在求解不等式恒成立问题时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的内角的对边分别为，（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．【解析】（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，整理得；（2）因为，因为，由（1）可得，则.，又，即，当且仅当时等号成立.于是，所以的最大值为.18.党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：采桑不采桑合计患皮炎4未患皮炎18合计25①请完成上表；②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望．附：，其中，0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879【解析】（1）①采桑不采桑合计患皮炎426未患皮炎11819合计52025②零假设为：患皮炎与采之间无关联，根据列联表中的数据，经计算得到,根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.（2）用表示抽取的4人中采桑的工作人员人数，的取值为：2，3，4,，，随机变量X的分布列为：234则．19.已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，，（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和（3）证明：【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，，解得或（舍去）.故，.（2）由（1）知，则，①则②由①－②得所以（3）由（1）知，，，所以所以，即.20.在四棱锥中，，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点（1）证明：平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．【解析】（1）中，，，，由余弦定理可得，，从而有，所以，∵，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，，平面，∴平面；（2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，，由（1）知，平面，是平面的一个法向量，设平面的一个法向量是，，由，得，取，则，因为平面与平面的夹角的余弦值为．所以，解得，所以四棱锥的体积．21.已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，（1）求的方程；（2），，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．【思路分析】（1