2021-2022学年山东省淄博市英才中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年山东省淄博市英才中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义，若，则（

）．

参考答案：C2.已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最小值是（

）A．4

B．

C.

D．参考答案：D3.如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是(

)A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据O为AB的中点，我们易得=，又由OPC三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．【解答】解：因为O为AB的中点，所以，从而则==；又为定值，所以当且仅当，即P为OC的中点时，取得最小值是﹣2，故选D．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．4.函数在同一平面直角坐标系内的大致图象为

（

）

参考答案：C略5.过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是（

）A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：A设切点为，，所以切线方程为，把点A（2,1）代入得：，整理得：，即，次方程有三个解，所以过点A（2,1）作曲线f(x)=x-x的切线的条数最多是三条。6.下列命题错误的是(

)A.若向量，则的夹角为钝角.B.若命题，则；C.中，sinA>sinB是A>B的充要条件；D.命题“若”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0，则”；参考答案：A7.已知函数数列满足且是递增数列，则实数的取值范围（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且，则a+b的最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.以下判断正确的是

(

).函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件..命题“”的否定是“”..命题“在中，若”的逆命题为假命题..“”是“函数是偶函数”的充要条件.参考答案：D略10.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（）A．36

B．42

C．48

D．54参考答案：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正数满足，且使不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：12.（6分）（2015?嘉兴一模）一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由一个三棱锥

和半个圆锥组成的，若它的体积是，则a=．参考答案：1【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：几何体是一个三棱锥与半个圆锥组成，根据三视图的数据判断三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等腰三角形，三棱锥的高为a，半个圆锥底面半径为1，高为1，把数据代入体积公式计算．解：由三视图知：几何体是一个三棱锥与半个圆锥组成，其中三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等腰三角形，三棱锥的高为a，半个圆锥底面半径为1，高为1．∴几何体的体积V=+=，∴a=1．故答案为：一个三棱锥，半个圆锥，1．【点评】：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．13.等比数列中，，前三项和，则公比的值为

．参考答案：【知识点】等比数列的性质．

D3【答案解析】或1.

解析：当q=1时，各项均为6，可得S3=18，符合题意；当q≠1时，，

解得，综上可得公比q的值为：1或故答案为：1或【思路点拨】分类：q=1符合题意，当q≠1时，可得a1和q的方程组，解方程组可得．14.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是

.参考答案：1215.展开式中的系数是

（用数字作答）。参考答案：答案：

16.将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则

.参考答案：将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.17.共有400辆汽车通过某一段公路时的速度如右图所示，则速度在的汽车大约有

_____辆．参考答案：320略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是8+2（1）求椭圆C的方程；（2）设圆T：（x﹣t）2+y2=，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（1，3）时，求EF的斜率的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长是得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到kEF=．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围．【解答】解：（1）由，即，可知a=4b，，∵△PF1F2的周长是，∴，∴a=4，b=1，所求椭圆方程为；（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由直线y=kx+1与T相切可知，即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0，∴，由，得．∴，同理，则=．当1＜t＜3时，为增函数，故EF的斜率的范围为．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查了直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．19.已知函数．（1）若对任意，都有恒成立，求a的取值范围；（2）设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在轴上，求a的取值范围．参考答案：解：（1）由，得．由于，，且等号不能同时取得，所以．从而恒成立，．

……………4分设．求导，得．…………6分，，从而，在上为增函数．所以，所以．……8分（2）设为曲线上的任意一点．假设曲线上存在一点，使∠POQ为钝角，则．………10分①

若t≤-1，，，=．由于恒成立，．

当t=－1时，恒成立．当t<－1时，恒成立．由于，所以a≤0.

…12分②

若，，，，则=，对，恒成立．………14分③当t≥1时，同①可得a≤0．综上所述，a的取值范围是．

………16分20.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若，且，求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间.参考答案：（Ⅰ）解：.…………3分因为，，所以，…………5分从而.…………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知.…………9分由，，得，.所以的单调递增区间为，.…………13分21.已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列的公差。因为

所以

解得所以

（Ⅱ）设等比数列的公比为

因为所以

即=3所以的前项和公式为

略22.如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．参考答案：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－，∴，∴()．

…………4分（2）∵|P