2022－2023学年广东省深圳重点中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022－2023学年广东省深圳重点中学高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合M={0,1,2A.{0} B.{0,1}2.已知复数z满足(1−i)zA.−1−i B.−1+i3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{A.−24 B.−3 C.3 4.在△ABC中，cosC=23A.5 B.25 C.45.已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等.若直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2A.V1S1>V2S2 B.V16.已知向量a,b满足a=5，b=6，A.−3135 B.−1935 C.7.6名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数相等的概率为(

)A.2031 B.1031 C.5168.已知a=1ln2，b=2e，c=34A.a<c<b B.b<a二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若函数y=AsinA.f(x)是以π为周期的周期函数

B.f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数

C.f(x)在10.已知点F1、F2是双曲线x2a2−y2b2A.|PF1|与双曲线的实轴长相等

B.△PF1F2的面积为311.对于函数f(x)和g(x)，设x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{xA.ln55 B.ln3312.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=A.设平面PAB∩平面PCD=l，则l/​/AB

B.平面PAD⊥平面P三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{an}满足a1=−3，a14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)15.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第16.已知动点Q到抛物线C：y2=8x的焦点F的距离为1，则Q的轨迹方程是______若A(4,0)，P四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且b1=12，Sn=12n18.(本小题12.0分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是矩形，B1C⊥AC，AC=BC=2CC1，D19.(本小题12.0分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA−acosB=b−c．

(120.(本小题12.0分)

锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”，为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物，通过大量实验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8，红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p，且已知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896．

(1)当p最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88，求此时三种幼苗均成活的概率(10.24=3.2)；

(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树杆地径服从正态分布N(250,52)(单位：mm)．

(一)梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树杆地径小于235mm的概率约为多少？(精确到0.001)

(二)21.(本小题12.0分)

如图，动点M到两定点A(−1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．

(Ⅰ)求轨迹C的方程；22.(本小题12.0分)

(1)当x∈(0,1)时，求证：lnx<2(x−答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由题意知，N={0,2,4}，

故M∩N={0,2}2.【答案】D

【解析】解：z=21−i=2(1+3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的求法，等比数列的性质，属于中档题．

根据题意，求出公差d，即可得解．【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，

又a1=1，

∵a2，a3，a6成等比数列，

∴a32=a2⋅

4.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，可得A=【解答】解：∵cosC=∴tanC=1cos2C−1=5

5.【答案】A

【解析】解：设棱柱的底面周长为c，底面面积为S，侧棱长为l，斜棱柱的高为h，

则V1S1=S⋅lc⋅l=Sc，而V2=S⋅h，斜棱柱各侧面的高均不小于h6.【答案】D

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．

利用已知条件求出|a【解答】解：向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a·b=−6，

7.【答案】B

【解析】解：记“两项竞赛参加人数相等”为事件A，

则P(A)=C63C338.【答案】C

【解析】解：因为a=1ln2=112ln2=2ln2=eln2ln2，

b=2e=2e12=e1212，

c=34e43=e4343，

令f(x)=exx，x>0，

则f′(x)=xex−exx2=ex(x−1)x2，

9.【答案】AC【解析】解：由题图可知A=2，因为当x=0时，f(x)=−3，所以sinφ=−32．

因为|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2sin(ωx−π3)．

由题图可知14T<5π12<12T，所以5π6<T<5π3，所以65<ω<125．

由题图可知，当x=5π12时，y取得最大值，

所以5πω12−π3=π2+2kπ，k∈Z，解得ω=245k+2，k∈Z．

又65<ω<125，所以ω=2，所以f10.【答案】BC【解析】解：因为|PF1|=3|PF2|，又由题意及双曲线的定义可得：|PF1|−|PF2|=2a，

则|PF2|=a，|PF1|=3a≠2a，所以A不正确；

因为P在以F1F2为直径的圆上，所以PF1⊥PF2，

所以S△PF1F2=12|P11.【答案】BC【解析】【分析】本题属于新概念题，考查了函数的零点、函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．

由题知函数f(x)有唯一零点为3，进而得l【解答】解：∵f(x)=ex−3+x−4，∴f(x)在R上单调递增，

又f(3)=e0+3−4=0，∴f(x)有唯一零点为3，

令g(x)的零点为x0，依题意知|x0−3|≤1，即2≤x0≤4，

即函数g(x)在[2,4]上有零点，

令g(x)=0，则lnx−mx

12.【答案】AB【解析】解：由题意，该四棱锥如图：

对于A：设平面PAB∩平面PCD=l，因为ABCD为矩形，AB/​/CD，AB⊄平面PCD，

CD⊂平面PCD，则AB/​/平面PCD，

又平面PAB∩平面PCD=l，AB⊂平面PAB，

∴l/​/AB，故A正确；

对于B：∵BC=2，PB=6，PC=2，即BC2+PC2=PB2，

∴BC⊥PC，

又底面ABCD为矩形，则AD//BC，AD⊥PC，

∵PC=2=PD，CD=22，即CD2=PC2+PD2，∴PC⊥PD，

而AD⋂PD=D，AD，PD⊂平面PAD，

∴PC⊥平面PAD，

又PC⊂平面PBC，

∴平面P13.【答案】14【解析】解：∵anan+1=an−1，

∴an+1=1−1an，

又a1=−3，则a2=4314.【答案】−3【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．

根据奇函数的定义，可得结果．【解答】解：∵f(x)是奇函数，

∴−f(ln2)=f(−ln2)=−8

15.【答案】13【解析】解：记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，

则P(A|B2)=3%，P(A|B1)=8%，P(A|B3)=16.【答案】(x−2【解析】解：抛物线y2=8x的焦点为F(2,0)，

设动点Q的坐标为(x,y)，因为|QF|=1，

所以(x−2)2+y2=1，

故点Q的轨迹方程是(x−2)2+y2=1，

设点P(s,t)，则由抛物线的定义得|PF|=s+2，

|PA|2=(s−4)2+t2=s2−8s+16+8s=s2+17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=12+12=1；

当n≥2时，an=Sn−Sn−1

=12n2+12n−12(n−1)2−12(n−1)=n，

∵a1=1也满足上式，【解析】(1)根据数列的前n项和作差，即可求解；

(2)由(1)和累加法求得b18.【答案】证明：(1)取BC的中点F，连接DF，C1F，记B1C∩C1F=G，

∵D是AB的中点，∴DF/​/AC，∵B1C⊥AC，∴B1C⊥DF，

在矩形BB1C1C中，∵tan∠FC1C=CFCC1=22,tan∠BCB1=BB1BC=22，∴∠FC1C=∠BCB1，

∴∠CFC1+∠BCB1=∠CFC1+∠F【解析】(1)取BC的中点F，连接DF，C1F，记B1C∩C1F=G，利用线面垂直的判定定理得到B1C⊥平面A1DFC1，即可得证；19.【答案】解：(1)∵bcosA−acosB=b−c，

∴根据正弦定理可得sinBcosA−sinAcosB=sinB−sinC，

∴sinB(cosA−1)=sinAcosB−【解析】(1)根据正弦定理将已知条件转化为角A的方程，解三角方程方程，即可得解；

(2)设∠BAD=θ，则∠CAD=π20.【答案】解：(1)由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，

包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，

故概率为[(1−0.8)×p2+2×0.8×p(1−p)]+0.8×p2≤0.896，

即3p2−8p+4.48≥0，解得p≤45或p≥2815(舍去)，

又p>0，故p的取值范围为(0,45]，故p的最大值为0.8，

记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A，经济作物幼苗成活为事件B，

则有P(A)=0.8×0.8=0.64，P(B|A【解析】(1)先求得红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率的取值范围，再利用条件概率公式即可求得三种幼苗均成活的概率；

(2)(一)利用正态分布的性质即可求得树杆地径小于235mm的概率；21.【答案】解：(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)，显然有x>0，且y≠0

当∠MBA=90°时，点M的坐标为(2,±3)

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=2tan∠MAB1−tan2∠MAB，

化简可得3x2−y2−3=0

而点(2,±3)在曲线3x2【解析】(Ⅰ)设出点M(x,y)，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；

(Ⅱ)直线y=−2x+m与3x2−y2−3=22.【答案】证明：(1)设g(x)=lnx−2(x−1)x+1(0<x<1)，

∵g′(x)=1x−4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，

∴g(x)在(0,1)上单调递增，

∵g(1)=0，得g(x)<0，

即lnx<2(x−1)x+1．

(2)因为f(x)=xex−ax+a2，

所以f′(x)=(x+1)ex−a，令F(x)=(x+1)ex−a，

则F′(x)=(x+2)ex，

当x<−2时，F′(x)<0，函数F(x)在(−