二次函数中角的存在性问题

二次函数中角的存在性问题【2019·德州】已知抛物线$y=mx-mx-4$与$x$轴交于$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$两点，与$y$轴交于$C(0,c)$，且$x_2-x_1=$。（1）求抛物线的解析式；（2）若$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$是抛物线上的两点，当$a\leqx_1\leqa+2$，$x_2\geqa$时，均有$y_1\leqy_2$，求$a$的取值范围；（3）抛物线上一点$D(1,-5)$，直线$BD$与$y$轴交于点$E$，动点$M$在线段$BD$上，当$\angleBDC=\angleMCE$时，求点$M$的坐标。已知抛物线$y=mx-mx-4$与$x$轴交于$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$两点，与$y$轴交于$C(0,c)$，且$x_2-x_1=$。（1）求抛物线的解析式；（2）若$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$是抛物线上的两点，满足$a\leqx_1\leqa+2$，$x_2\geqa$且$y_1\leqy_2$，求$a$的取值范围；（3）已知抛物线上一点$D(1,-5)$，直线$BD$与$y$轴交于点$E$，动点$M$在线段$BD$上，且$\angleBDC=\angleMCE$，求点$M$的坐标。【2019·济南】如图1，抛物线$C:y=ax+bx$经过点$A(-4,y_1)$、$B(-1,3)$两点，$G$是其顶点，将抛物线$C$绕点$O$旋转$180^\circ$，得到新的抛物线$C'$。（1）求抛物线$C$的函数解析式及顶点$G$的坐标；（2）如图2，直线$l:y=kx$经过点$A$，$D$是抛物线$C$上的一点，设$D$点的横坐标为$m_2(m<-2)$，连接$DO$并延长，交抛物线$C'$于点$E$，交直线$l$于点$M$，若$DE=2EM$，求$m$的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接$AG$、$AB$，在直线$DE$下方的抛物线$C$上是否存在点$P$，使得$\angleDEP=\angleGAB$？若存在，求出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由。如图1，抛物线$C:y=ax+bx$经过点$A(-4,y_1)$、$B(-1,3)$两点，$G$是其顶点，将抛物线$C$绕点$O$旋转$180^\circ$，得到新的抛物线$C'$。（1）求抛物线$C$的函数解析式及顶点$G$的坐标；（2）如图2，直线$l:y=kx$经过点$A$，$D$是抛物线$C$上的一点，设$D$点的横坐标为$m_2(m<-2)$，连接$DO$并延长，交抛物线$C'$于点$E$，交直线$l$于点$M$，若$DE=2EM$，求$m$的值；（3）在（2）的条件下，连接$AG$、$AB$，在直线$DE$下方的抛物线$C$上是否存在点$P$，使得$\angleDEP=\angleGAB$？若存在，求出点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由。【2019·泰安】若二次函数$y=ax+bx+c$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A(3,0)$、$B(0,-2)$，且过点$C(2,-2)$。（1）求二次函数表达式；（2）若点$P$为抛物线上第一象限内的点，且$S_{\trianglePBA}=4$，求点$P$的坐标；（3）在抛物线上（$AB$下方）是否存在点$M$，使$\angleABO=\angleABM$？若存在，求出点$M$到$y$轴的距离；若不存在，请说明理由。若二次函数$y=ax+bx+c$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A(3,0)$、$B(0,-2)$，且过点$C(2,-2)$。（1）求二次函数表达式；（2）若点$P$为抛物线上第一象限内的点，且$S_{\trianglePBA}=4$，求点$P$的坐标；（3）在抛物线$y=ax+bx+c$上（$AB$下方）是否存在点$M$，使$\angleABO=\angleABM$？若存在，求出点$M$到$y$轴的距离；若不存在，请说明理由。【2019·苏州】已知抛物线$y=-x^2+(a+1)x-a$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$位于点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，已知$\triangleABC$的面积为6。（1）求$a$的值；（2）求$\triangleABC$外接圆圆心的坐标；（3）如图2，$P$是抛物线上一点，点$Q$为射线$CA$上一点，且$P$、$Q$两点均在第三象限内，$Q$、$A$是位于直线$BP$同侧的不同两点，若点$P$到$x$轴的距离为$d$，$\triangleQPB$的面积为$2d$，且$\anglePAQ=\angleAQB$，求点$Q$的坐标。已知抛物线$y=-x^2+(a+1)x-a$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$位于点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，已知$\triangleABC$的面积为6。（1）求$a$的值；（2）求$\triangleABC$外接圆圆心的坐标；（3）如图2，$P$是抛物线上一点，点$Q$为射线$CA$上一点，且$P$、$Q$两点均在第三象限内，$Q$、$A$是位于直线$BP$同侧的不同两点，若点$P$到$x$轴的距离为$d$，$\triangleQPB$的面积为$2d$，且$\anglePAQ=\angleAQB$，求点$Q$的坐标。如图所示，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，直线y＝x﹣1与抛物线相交于B、C两点，直线BC与x轴交于D点，点E为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若△BDE的面积为6，求点E的坐标；（3）连接AE，交直线BC于点F，若AF＝2FE，求点F的坐标．已知抛物线经过点A（1，a+b+3）和点B（﹣3，3a+b），与y轴交于点C，求抛物线的解析式和顶点坐标。解：设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，由已知条件可列出以下方程组：a+b+3=a+b+c3a+b=9a-3b+cc=0解得a=1，b=-2，c=0，因此抛物线的解析式为y=x^2-2x，顶点坐标为（1，-1）。在图1中，连接OP交BC于点D，已知△CPD：△BPD=1：2，求点D的坐标。解：连接OC和BD，设CD=x，BD=y，则OC=3-x，由△CPD：△BPD=1：2可得PC:PB=1:2即x:(3+x-y)=1:2解得x=1，y=5，因此点D的坐标为（1，5）。在图2中，已知点E的坐标为（-1，-1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，求点P的坐标。解：设点P的坐标为（x，y），则抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c。由已知条件可列出以下方程组：y=ax^2+bx+ctan(15°)=|a/b|tan(30°)=|2a/b|解得a=√3/3，b=-2√3/3，c=-2/3，因此点P的坐标为（-1/3，-1/3）。在图3中，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：四边形BOCP的面积为S=1/2|BC||OP|=1/2|BC||OA-AP|因此需要求出|BC|和|OA-AP|的值。由抛物线经过点