2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题44 特殊的四边形（学生版+解析版）

专题44特殊的四边形一、三角形的中位織【典例】如图在AABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP=AQ.理由如下：如图，取BC的中点H,连接MH,NH.VM, H为BE,BC的中点，.・.MH〃EC,且MH=|eC.VN, H为CD,BC的中点，.・・NH〃BD,且NH=；BD.•.・BD=CE,「・MH=NH.AZHMN=ZHNM；•.•MH〃EC,AZHMN=ZPQA,同理ZHNM=ZQPA..•.△APQ为等腰三角形，「・AP=AQ.【巩固】如图，在-ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连接EF,EM±BC于点M,EM交BD于点N,若ZCEF=45°,FN=5,求线段BC的长.二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB=6,BC=10.当折痕GH最长时，线段BH的长为 【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长,设BH=x,则CH=10-x,HE=BH=x,由勾股定理得，HC2+CE2=HE2,即(10-x)2+62=?,解得x=6.8,故答案为：6.8.【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD±一点,AD⑴如图1,将MDE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求京勺值:（2）如图2,若点E为CD的中点，过点A作AF±BE于F,连接DF,求证DF=BC.EC图1DEC图1D三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在AABC中，AB=3,AC=4.BC=5,P为边BC上一动点，PE丄AB于E,PF±AC于F,M为EF中点，则M为EF中点，则AM的最小值为（PD.1.5C.1.2D.1.5【解答】解：VAB=3.AC=4,BC=5,.•.ZEAF=90°,VPE±AB于E,PF±AC于F,.•・四边形AEPF是矩形，..・EF,AP互相平分.ILEF=AP,..•EF,AP的交点就是M点.•・•当AP的值最小时，AM的值就最小，..•当AP丄BC时，AP的值最小，即AM的值最小.V-AP-BC=§AB・AC,•.・AP・BC=AB・AC.VAB=3,AC=4,BC=5,.・.5AP=3X4,•.・AP=2.4,•.・AM=1.2；故选：C.【巩固】如图，ZBAC=ZBDC=90°,四边形ABDE为平行四边形，若AD=6,BC=8,则CE的长为 四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，ZABC=30°,P为BC上方一点，且Sapbc=|s差形ABCD,则PB+PC的最小值为 .【解答】解：过A作AE±BC于E,VZABC=30°,AB=4,・・・AE=?AB=2,.*.Sapbc=愛形abcd=Ix4X2=2.设点P到BC的距离为h,:.h=l,即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线/的对称点G,连接CG交直线Z于点P,则此时，PB-PC的值最小，PB+PC的最小值=CG,•.・BG丄「•BG丄BC,AZCBG=90°,BG=2h=2,・・・CG=V22+42=2V5.【巩固】如图，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,点P是直线BD±一动点，连接PC,当PC+学的值最小时,线段PD长是 巩固练习如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A,B重合,且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且匕EGF=90°的点.现给出以下结论.其中错误的是（ZGEB与匕GFB一定互补点G到边AB,BC的距离一定相等点G到边AD,DC的距离可能相等点G到边AB的距离的最大值为2V2如图，分别以R/AABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边AACD、等边AABE,EF1AB,垂足AQ为F,AQ为F,连接DF,当而=时，四边形ADFE是平行四边形.如图，矩形ABCD,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上，点D在），轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在），轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .

如图，菱形ABCD的边长为4,ZBAD=120°,点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是一如图，在矩形ABCD中，AD=V3AB,对角线相交于点O,动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足ZMON=90°,连结MN.在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）点M、N的运动速度不相等；存在某一时刻使Sz\AMN=S^MON；SaAMN逐渐减小；MN2=BM2+DN2.如图，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,过点E作EG±AD于G,交BD于F,连接DE,若BEC

BEC如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD,则线段PD长的取值范围是 .如图，在AABC中，ZABC=90°,BD为ZiABC的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.求证：四边形BDFG是菱形：若ZBAC=30°,BC=2,求四边形BDFG的而积.C图1直接写出CN的长.图1直接写出CN的长.图2已知四边形ABCD是矩形.(1)如图1,E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF,垂足为G,连接DG.求证：DG=CG；若BC=2AB,求匕DGC的大小：(2)如图2,AB=BC=6,M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP,点Q是CD的中点，连接MP,PQ,若PQ丄MP,已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系A。），中，使OA、OC分别落在X轴、），轴的正半轴上，连接AC,将AABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D,CD交x轴于点E.如果CE=5,OC、OE的长是关于x的方程A（7M-1）x+12=0的两个根，并且OC>OE.（1） 求点D的坐标：（2） 如果点F是AC的中点，判断点（8,-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由.如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A願时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.（1） 线段AO的长为 ；（2） 如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：AM=^AC；（3） 连接EM.若AAFM的周长为3面，请直接写出ZXAEM的面积.在菱形ABCD中，ZBAD=60°.（1） 如图1,点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB=4,求线段EC的长；（2） 如图2,M为线段AC±一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC、DM,Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ.判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论;(3)在(2)的条件下，若AC=V3,请你直接写出DM+CN的最小值.图1图2专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在AABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP=AQ.理由如下：如图，取BC的中点H,连接MH,NH.VM,H为BE,BC的中点，.・.MH〃EC,且MH=|eC.•.・N,H为CD,BC的中点，.・・NH〃BD,且NH=；BD.•.・BD=CE,「・MH=NH.AZHMN=ZHNM；•.•MH〃EC,AZHMN=ZPQA,同理ZHNM=ZQPA..•.△APQ为等腰三角形，•.・AP=AQ.BHC【巩固】如图，在"BCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD的中点,连接EF,EM±BC于点M,EM交BD于点N,若ZCEF=45°,FN=5,求线段BC的长.BMC【解答】解：设EF=x,.・•点E、点F分别是OA、OD的中点,・.・EF是AOAD的中位线，/.AD=2r,AD〃EF,

.•.ZCAD=ZCEF=45°,四边形ABCD是平行四边形，・.・AD〃BC,AD=BC=2r,.•.ZACB=ZCAD=45°,•「EM丄BC,.•.ZEMC=90°,.•.△EMC是等腰直角三角形，/.ZCEM=45°,连接BE,DBMCVAB=OB,AE=OE「•BE丄AO.*.ZBEM=45°,•.・BM=EM=MC=x,•.・BM=FE,易得AENF竺ZXMNB,・・・EN=MN=m，BN=FN=5,RrABNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,即52=A(§)2,解得，x=2V5..•.BC=2a=4V5.答：线段BC的长为4泻.二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB=6,BC=10.当折痕GH最长时，线段BH的长为 .F【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH=x,则CH=10-x,HE=BH=x,由勾股定理得，HC2+CE2=HE2,即(10-x)2+62=^,解得x=6.8,故答案为：6.8.【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD±一点,An如图1,将AADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求兀的值;aa如图2,若点E为CD的中点，过点A作AF丄BE于F,连接DF,求证DF=BC.图1•.•AD=BC,由折叠可得AD=AM,.・.BC=AM,又・.・M是BC的中点,••・BM=|BC=|aM,又VZB=90°,

/.RrAABM中/BAM=30°,.•.BM=|AM,AB=V3BM,竺=咎字知即竺=纟历AB妪BM3AB3（2）证明：如图2所示，延长BE,AD,交于点G,则ZBEC=ZGED,图2VAG/7BC,图2VAG/7BC,.•.ZG=ZCBE,•.・E是CD的中点,.・.DE=CE,在ABCE和Z^GDE中,ZBEC=ZGED“BE=匕G=DE.•.ABCE^AGDE(AAS),.・.DG=BC=AD,即D是AG的中点,又・.・AF丄BG,AR/AAFGrf,DF=|AG=AD,又.矩形ABCD中，AD=BC..・.DF=BC.三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE丄AB于E,PF丄AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为（M为EF中点，则AM的最小值为（A.1B.1.3C.1.2D.1.5【解答】解：VAB=3,AC=4,BC=5,.*.ZEAF=90°,VPE±AB于E,PF±AC于F,.•・四边形AEPF是矩形，..・EF,AP互相平分.且EF=AP,.・・EF,AP的交点就是M点.•・•当AP的值最小时，AM的值就最小，.••当AP±BC时，AP的值最小，即AM的值最小.v|ap-bc=§ab・ac,•.•AP・BC=AB・AC.VAB=3,AC=4,BC=5,.・.5AP=3X4,・.・AP=2.4,・.・AM=1.2；故选：C.【巩固】如图，ZBAC=ZBDC=90°,四边形ABDE为平行四边形，若AD=6,BC=8,则CE的长为 【解答】解：如图，过点B作BF〃CD,且BF=CD,连接DF,CF,AF,VBF/7CD.DC=BF,.•・四边形BDCF是平行四边形，且ZBDC=90°,.•・四边形BDCF是矩形，「・BC=DF=8,CF〃BD,CF=BD,四边形ABDE是平行四边形，・.・BD〃AE,BD=AE,・.・AE〃CF,AE=CF,.•・四边形AECF是平行四边形，・.・AF=CE,VZBAC=ZBDC=90°,..•点A,点B,点C,点D四点共圆，/.ZCAD=ZCBD,..•四边形BDCF是矩形，/.ZDBC=ZDFC,ZFCD=90°,.*.ZDFC=ZDAC,..•点A,点F,点C,点D四点共圆，.•.ZFAD+ZFCD=I8O°,.*.ZFAD=90o,・・・AF=VDF2-AD2=V82-62=2”，・・・EC=2V7，故答案为：2V7.四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，ZABC=30°,P为BC上方一例,且Sgc=；S菱彰abcd,则PB+PC的最小值为 .【解答】解：过A作AE1BC于E,VZABC=30°,AB=4,.*.AE=§AB=2,ASaPBC=$S菱形ABCD=?x4X2=2,设点P到BC的距离为h,:.h=\,即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线/的对称点G,连接CG交直线/于点P,则此时，PB-PC的值最小，PB+PC的最小值=CG,•.・BG丄

...BG丄BC,.•.ZCBG=90°,BG=2/r=2,：.CG=V22+42=2a/5,EC【巩固】如图，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,点P是直线BD±一动点，连接PC,当PC+琴的值最小时,线段PD长是 . C【解答】解：如图，过P作PE1BC于E,连接AP,由菱形ABCD,可得AB=CB,ZABP=ZCBP=ZADP=30°「.△ABP竺ZXCBP,BP=2PE,•.・AP=CP,PR・・・PC+b=AP+PE,•.•当点A,P,E在同一直线上时，AP+PE最短，PR・•・此时，PC+辱的值最小，AP1AD,VR/AABE中，AB=2,••・BE=1,AE=VI,.・.R/Z\BEP中，PE=|V3,/.AP=|V3,VZADP=30°,.,.R/AADP中，PD=2AP=|V3,故答案为：|V3.

巩固练习如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点E,F分别是边AB,BC上的动点，点E不与A,B重合,且EF=AB,G是五边形AEFCD内满足GE=GF且NEGF=90°的点.现给出以下结论.其中错误的是（ZGEB与NGFB一定互补点G到边AB,BC的距离一定相等点G到边AD,DC的距离可能相等点G到边AB的距离的最大值为2V2【解答】解：A、四边形ABCD是矩形，.•.ZB=90°,又VZEGF=90°,四边形内角和是360。,ZGEB+ZGFB=180°,故A正确；B、 过G作GM丄AB,GN丄BC,分别交AB于M,交BC于N,VGE=GF且匕EGF=90°,.•.ZGEF=ZGFE=45°,又VZB=90°,・.・ZBEF+NEFB=9(T,BPZBEF=90°-ZEFB,VZGEM=180°-ZBEF-ZGEF=180°-45°-(90°-ZEFB)=45°+ZEFB,ZGFN=ZEFB+ZGFE=ZEFB+45°,ZGEM=ZGFN,在AGEM和△GFN中，ZGME=乙GNF匕GEM=匕GFN'GE=GF.•.AGEM^AGFN(AAS),••・GM=GN,故B正确；C、 ・.'AB=4,AD=5,并由B知，点G到边AD,DC的距离不相等，

故C错误：D、在直角三角形EMG中，MGWEG,当点E、M重合时EG最大,VEF=AB=4.••・GE=EB=BF=FG=4x孚=2V2,故D正确.如图，分别以R/AABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边AABE,EF1AB.垂足AQ为F,连接DF,当石= 时，四边形ADFE是平行四边形.Ao:.ZCAB=30°,•「△ABE为等边三角形，EF丄AB,•••EF为NBEA的平分线，ZAEB=60°,AE=AB,/.ZFEA=30°,又ZBAC=30°,.•.ZFEA=ZBAC,在△ABC和AEAF中,(z^ACB=4FA]Z.BAC=LAEF'{AB=AE.•.AABC^AEAF(AAS)：VZBAC=30°,ZDAC=60°,/.ZDAB=90°,甘卩DA丄AB,

VEF1AB.・・・AD〃EF,VAABC^AEAF.•.・EF=AC=AD,.•・四边形ADFE是平行四边形.CB如图，矩形ABCD,AB=I,BC=2,点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在），轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点0的最大距离为 .t解答】解：如图，取AD的中点H,连接CH,0H.•矩形ABCD,AB=1,BC=2,•.・CD=AB=1,AD=BC=2,.・•点H是AD的中点，•.・AH=DH=1,.•.CH=VDH2+CD2=V1TT=y/2,VZAOD=90。，点H是AD的中点,・・・OH=|AD=1,在△OCH中，COVOH+CH,当点H在OC上时，CO=OH+CH,.••CO的最大值为OH+CH=V7+1,故答案为：V2+1.如图，菱形ABCD的边长为4,ZBAD=120°,点E是AB的中点，点F是AC±的一动点，则EF+BF的最小值是 ・C【解答】解：连接DB,DE,设DE交AC于M,连接MB,DF,延长BA,DH丄BA于H,..•四边形ABCD是菱形，..・AC,BD互相垂直平分，..•点B关于AC的对称点为D,FD=FB,••・FE+FB=FE+FDNDE.只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD=AB,ZDAB=120°,.•.ZHAD=60°,•「DH丄AB,.\ah=|ad.DH=%D,•.•菱形ABCD的边长为4,E为AB的中点,...AE=2,AH=2,「.EH=4,DH=2V3,在RrAEHD中，DE=/訶+爵2=J42+（2V3）2=2>/7,.•.EF+BF的最小值为揷.故答案为：2V7.C如图，在矩形ABCD中，AD=V3AB,对角线相交于点O,动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足ZMON=90°,连结MN.在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）点M、N的运动速度不相等；存在某一时刻使Saamn=Samon；SaAMN逐渐减小；MN2=BM2+DN2.【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时N01BD,..•在矩形ABCD中，AD=V3AB,.•.ZADB=ZDAC=30°,.•.ZAOD=180°-30°-30°=120°,ZNAO=ZAOD-ZNOD=120°-90°=30°,.•.ZDAO=ZNOA=30°,•.・AN=ON=DN・s仍30°=§DN,..'AN+DN=AD,••・AN=|AD.当M点运动到M'位置时，此时OM'丄AB,N点运动到了N',VAC和BD是矩形ABCD的对角线，AM点运动的距离是MM'=|AB,N点运动的距离是NN'=^AD-AN=I/ID-^AD=|aD,又；AD=V3AB,・・・NN，=?xV3AB=乎AB=亨MM，,..・N点的运动速度是M点的乎，故①正确，当M在M'位置时，VZOM*A=90°,ZN'AB=90°,NM'ON'=90°,

.・.四边形AM'ON'是矩形,此时SzxAMN=SaMON,故②正确，令AB=1,则AD=V5,设BM=x,则N点运动的距离为g,AN=§AD+亨式=孚+孳I，•*.SaAMN=|aM*AN=I（AB-BM）'AN=|（1-j：）（乎+乎=早-•・・0WxW1,在x的取值范围内函数至- 的图象随x增加而减小，6 6•*.SaAMN逐渐减小，故③正确，VMN2=(AB-BM)2+(AD-DN)2=AB2-2AB«BM+BM2+AD2-2AD«DN+DN2=(AB2-2AB・BM+3AB：-2a^AB・DN)+BM2+DN2=(4AB2-2AB-BM-2V3AB-DN)+BM2+DN2,VAN=?AD+亨BM=孚AB+亨BM,.・.・.DN=AD・AN“AB.律AB+亨BM)=^AB-^BM,V2V3AB•DN=2V3ABX(縁AB一孚BM)=4AB2-2AB-BM,.\MN2=(4AB2-2AB-BM-2V3AB-DN)+BM2+DN2=BM2+DN2,故④正确，方法二判定④：如图2,延长M0交CD于M',.•.£MOB=NM'OD,OB=OD,ZDBA=ZBDC,AAOMB^AOM'D(ASA),・.・BM=DM',OM=OM',连接NM*,•.•NO丄MM',则MN=NM',vnm，2=dn2+dm，2,.*.mn2=bm2+dn2,故④正确，故答案为：O®③④.

如图，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，如图，菱形ABCD,AB=5,E在BC上，BE=4,过点E作EG±AD于G,交BD于F,连接DE,若ZA=4ZDEG,则EF的长为 【解答】解：如图，过点D作DM丄BD,交BC的延长线于点M,设NDEG=a,则ZA=4a,..•四边形ABCD是菱形,AZABC=180°-ZA=180°-4a,ZABD=ZCBD=ZBDC....ZABD=ZCBD=ZBDC=90°-2a,2a)=2a,.•.ZM=90°-ZCBD=90°-(90°-2a)=2a,ZCDM=90°-ZBDC=90°-(90°-.*.ZM=ZCDM.2a)=2a,「.CD=CM=5,•「EG丄AD,AZBEG=90°,.•.ZDEM=I8O°-ZBEG-ZDEG=180°-90°・a=90°・a,.\ZEDM=180°-ZDEM-ZM=180°-(90°-a)-2a=90"-a,ZDEM=ZEDM.DM=EM=EC+CM=1+5=6,BM=BC+CM=5+5=10,.・.BD=\/BM2-DM2=V102-62=8,VZBEF=ZBDM=90°,ZFBE=ZMBD,「.△FBEs^MBD,.即竺=DMBD6 8.\EF=3.故答案为：3.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD,则线段PD长的取值范围是 .【解答】解：如图:当点F与点C重合时，点P在点Pi处，CPi=BPi,当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2,「・PiP2〃EC且PiP2=|CE,当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP,由中位线定理可知：PiP〃CF且PiP=|cF,..•点P的运动轨迹是线段P1P2.•.•矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为AD的中点,.•.△ABE,Z\BEC、ADCPi等腰直角三角形，・・./ECB=45°,ZDPiC=45°,

.P]P2〃EC,.•.ZP2P1B=ZECB=45°,.•.ZP2P1D=9O°,.・・DP的长DPi最小，DP2最大,VCD=CPi=DE=2,.•.DPi=2a/2,CE=2V2,.•.P1P2=V2,故答案为：2V2<PD<V10.如图，在ZXABC中，ZABC=90°,BD为ZiABC的中线，过点C作CE1BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.求证：四边形BDFG是菱形：若ZBAC=30°,BC=2,求四边形BDFG的面积.G【解答】(1)证明：VZABC=90°，BD为AC的中线,.*.bd=|ac,VAG/7BD,BD=FG,四边形BDFG是平行四边形，VCF1BD.ACF1AG,又..•点D是AC中点，.,.df=|ac,「・BD=DF；・.・平行四边形BDFG是菱形；(2)解：作DH1AG于H,如图所示：..•四边形BDFG是菱形，「•GF=BD,VZABC=90°,ZBAC=30°,BC=2,

•••AC=2BC=4,.・•点D是AC中点，・・・GF=BD=|AC=AD=2,.*.ZDBA=ZBAC=3O0,又・.・AG〃BD,.•.ZBAF=ZDBA=30°,AZDAF=60°,VDH±AG,.•.ZADH=30°,.•.AH=；AD=1,DH=>^AH=V3,AS菱形bdfg=GF・DH=2xV3=275.己知四边形ABCD是矩形.（1） 如图1,E、F分别是AB、AD±的点，CE垂直平分BF,垂足为G,连接DG.求证：DG=CG；若BC=2AB,求ZDGC的大小：（2） 如图2,AB=BC=6,M、N、P分别是AB、CD、AD±的点，MN垂直平分BP,点Q是CD的中点，连接MP,PQ,若PQ丄MP,直接写出CN的长.【解答】解：（1）①如图1,过G作MN1CD于N,与AB交于点M,贝ijMN〃AD,VCE垂直平分BF,」.GB=GF,..•四边形ABCD是矩形，AZA=ZADN=ZMND=90°,.•・四边形ADNM是矩形，••・DN=AM=?ABVMN垂直平分CD,・.・DG=CG：②连接CF,如图1,VCE垂直平分BF,・.・CF=CB.・•・ZBCG=ZFCG=|ZBCF,..•四边形ABCD是矩形，・.・AB=CD,ZCDF=ZBCD=90°,AD〃BC,VBC=2AB,・.・CF=2CG,延长CD至H,使得DH=CD,连接FH,贝ijCF=CH,AAD垂直平分CH,•.・FH=FC=CH,.•.ZFCD=60°,.•.ZBCF=90°-ZFCD=30°,.•.ZBCG=ZFCG=I5°,/.ZGDC=ZGCD=ZBCD-ZBCG=75°,.•.ZCGD=180°-75°X2=30°；VMN垂直平分BP,：.MB=MP,

VMP±PQ.・.・NMPQ=/A=90°,ZABP+ZAPB=ZBPM+ZBPQ=90°,.\ZBPA=ZBPQ.作BS±PQ于S,连接BQ,如图2,・.・BA=BS,..'BP=BP,.•.RfAPBA^R/APBS(HL),.・.AP=PS,VAB=BC,「・BS=BC,VBQ=BQ./.R/AQBS^RzAQBC(HL),・.・QS=QC=3,.•.PQ=AP+CQ,设AP=x,PD=6・x,PQ=3+x,在RrAPQD中，DQ=3,由勾股定理得，(3+x)2-(6-^)2=32,解得，x=2,・.・AP=2,设BM=MP=y,AM=6-y,在R/AAMP中由勾股定理得，y2-(6-y)2=22,解得，），=孚」.BM=10T*作NK丄AB丁K,如图2,得四边形AKND是矩形,.•.AB=AD=KN,ZA=ZMKN=90°•「MN丄BP,/.ZABP>ZKMN=ZKMN+ZKNM=90°,.*.ZABP=ZKNM..•.AABP^AKNM(ASA),•.•AP=KM=2,in4.•.CN=BK=BM-MK=3-2=扌另一解法：过N点作NK丄AB于点K,得四边形AKND是矩形,•.・AB=AD=MN,ZA=ZMKN=90°,VMNIBP.ZABP+ZKMN=ZKMN+ZKNM=90°,.\ZABP=ZKNM..•.△ABP丝ZiKNM（ASA）,・.・AP=KM,VMN垂直平分BP,•.・MB=MP,不妨设BM=MP=x,则AM=6-x,.\AP=Jx2_（6-x）2=V12X-36..\DP=6-V12x-36.•.・Q是CD的中点，・.・DQ=3,•.・PQ丄MP,ZA=ZD=90°,.•.ZAPM+ZAMP=ZAPM+ZDPQ=90°,.\ZAMP=ZDPQ..•.△APMs/^DQP,.APAM（inV12x-36 6-x•♦ = ，up =厂 ，DQDP3 6-V12X-36解得，x=6或号，••・CN=BK=AB-AM-MK=6-（6-x）-V12x-36=H2x—36=0或匕3舍去CN=0,••・CN=已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、），轴的正半轴上，连接AC,将AABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D,CD交x轴于点E.如果CE=5,OC、OE的长是关于x的方程?+（7M-1）x+12=0的两个根，并且OC>OE.（1） 求点D的坐标：（2） 如果点F是AC的中点，判断点（8,-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由.【解答】解：(1)..・OC、OE的长是关于x的方程A(m-1)x+12=。的两个根,

设OC=xi.OE=a2,xi>X2..'.xi+x2=-ST).x\*x2=12.在R/ACOE+，VOC2+OE2=CE2,CE=5..*.xi2+x22=52,即(xi+x2)2-2xix2=25.・•・[-(rn-1)]2-2X12=25,解这个方程，得mi=-6,m2=8.VOC+OE=xi+x2=-3-1)>0,.,.m=8不符合题意，舍去.•,.m=-6.解方程?-7x^l2=0,得-ri=4,X2=3.・・・OC=4,OE=3.△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D.过D点作DG丄x轴于G.DH丄)，轴于H..•.ZBCA=ZACD...•矩形OABC中，CB〃OA..•.ZBCA=ZCAE,.•.ZCAE=ZACD.・.・EC=EA.在R/ACOE与R/AADE中，..(OC=AD*Uc=EA.'.RrACOE^RrAADE..•.ED=3,AD=4,EA=5.在R/AADE中，DG・AE=ED・AD,「.DG=EDAD

「.DG=EDAD

AE12=亏’在ACHD中，OE/7HD,CECE5 3»CD~HD'5+3一HDf•••HD=甞，由已知条件可知D是第四象限的点,.•・点D的坐标是（§一普）:（2）•・¥是AC的中点,

..•点F的坐标是（4,2）,设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b.4k+b=2 （, 1124 12,解得・.・过点D、F两点的直线的解析式为y=-**24,..、=8,y=・.・过点D、F两点的直线的解析式为y=-**24,..、=8,y=・20满足上述解析式，如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD±一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A願时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.（1） 线段AO的长为 ；（2） 如图2,当点F在线段BO上，且点M,F,C三点在同一条直线上时，求证：AM=^AC；（3） 连接EM.（3） 连接EM.若AAFM的周长为3面，请直接写出ZXAEM的面积.【解答】解：（1）..•四边形ABCD是菱形，.LAC丄BD,OB=*BD=12,在R/AAOB中，AB=13,根据勾股定理得，AO=VAB2-OB2=V132-122=5,故答案为5；（2）由旋转知，AM=AF,ZMAF=60°,.•.△AMF是等边三角形，.•.ZAFM=60°,..•点M,F,C三点在同一条直线上，AFC=180°-ZAFM=120°,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O,••・OA=OC=I