北京177中学2022年高三数学文期末试卷含解析

北京177中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】LR：球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．2.函数的图象必经过点（

）A、(0,1)

B、(1,1)

C、(2,0)

D、(2,2)参考答案：D3.若为两个不同的平面，m、n为不同直线，下列推理:①若；②若直线；③若直线m//n，；④若平面直线n；其中正确说法的序号是A.③④

B.①③④

C.①②③④

D.①④参考答案：B略4.在三棱锥A-BCD中，已知AB上平面BCD，∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，a2+b2+c2=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：C5.关于函数，有下列命题:①其表达式可写成；

②直线是图象的一条对称轴；③的图象可由的图象向右平移个单位得到；

④存在，使恒成立．

其中，真命题的序号是（

）A．②③

B．①②

C．②④

D．③④参考答案：C对于①，，故错误．对于②，，故正确．对于③，，故错误．对于④，，，故正确．6.已知命题则是

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．40 D．80参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，结合直观图判断棱锥的高及底面相关线段的长，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．8.复数的共轭复数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：复数的运算，复数的概念．9.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为A．x=l

B．

C．

D．参考答案：C10.设等差数列{an}的前n项为Sn，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当Sn取最小值时，n=(

)A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意求出a5的值，再求出公差d、an和Sn，对Sn化简后利用二次函数的性质，求出Sn取最小值时对应的n的值．【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，Sn==n2﹣12n，所以当n=6时，Sn取最小值，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质、通项公式，以及利用二次函数的性质求Sn最小值的问题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以抛物线y=x2的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线﹣y2=1的渐近线截得的弦长为

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，得到圆心坐标和半径，由双曲线方程求出其渐近线方程，再由点到直线距离求得圆心到渐近线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】解：由y=x2，得x2=4y，∴F（0，1），则所求圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，由双曲线﹣y2=1，得其渐近线方程为y=，不妨取y=，即x﹣2y=0，则F（0，1）到直线x﹣2y=0的距离为d=，∴弦长为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，是中档题．12.在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.参考答案：（0，－2）解析：平行四边形ABCD中,

∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)

即D点坐标为(0,－2)13.的值为________.参考答案：1。14.在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时，有如下方法：先改写第k项：，由此得：，，…，，相加得：1×2+2×3+…+n(n+1)＝.类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n(n+2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为：

．参考答案：15.已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝．参考答案：

【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，由S＝am，S＝bn，S＝ct，可得S3＝abcmnt，则mnt＝＝又S＝bcsinA＝1，可得bc＝，则mnt＝4sinA，cosA＝≥＝1﹣，当且仅当b＝c上式取得等号，可得2bc≤，则≤，可得＝＝tan≤，可得sinA＝≤＝．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝．16.如果两条直线l1：x+a2y+6=0与l2：（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则实数a的值是．参考答案：0或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，∴﹣=，解得：a=﹣1，综上，a=0或﹣1，故答案为：0或﹣1．【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题．17.（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=．参考答案：﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．解答：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为）（t为参数，），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为(1,0)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.参考答案：（I)曲线，即，∵，∴曲线的直角坐标方程为即. （2）将代入并整理得，∴，∴，∵，∴.19.（12分）已知公差为d的等差数列{an}满足：an+an+1=2n，n∈N*．（Ⅰ）求首项a1和公差d，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）公差为d的等差数列{an}满足：an+an+1=2n，n∈N*．令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，解得d，即可得出a1，利用通项公式即可得出．．（II）由an+an+1=2n，n∈N*．变形==，利用“裂项求和”即可得出．解：（I）∵公差为d的等差数列{an}满足：an+an+1=2n，n∈N*．令n=1，2，可得a1+a2=2，a2+a3=4，∴2d=2，解得d=1，∴2a1+d=2，解得a1=，∴=n﹣．（II）∵an+an+1=2n，n∈N*．∴==，∴数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn==1=．【点评】：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．【分析】（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），求出A，B进而可得求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B?A，进而可得答案．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），由1﹣x2＞0，得A=（﹣1，1）．…又0＜1﹣x2≤1，所以B=（﹣∞，0]．…故A∩B=（﹣1，0]．…（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件?B?A．…①当a=0时，A=R，B={0}，适合题意；

…②当a＜0时，A=R，B=[0，+∞），适合题意；

…③当a＞0时，，B=（﹣∞，0]，不适合题意．…综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．…21.（本小题满分14分）

已知函数，其中．（Ⅰ）求证：函数在区间上是增函数；（Ⅱ）若函数在处取得最大值，求的取值范围．参考答案：

证明：（Ⅰ）．因为且，所以．

所以函数在区间上是增函数．

…………4分（Ⅱ）由题意.则.

…………6分令，即.①由于

，可设方程①的两个根为，，由①得，由于所以，不妨设，．当时，为极小值，所以在区间上，在或处取得最大值；当≥时，由于在区间上是单调递减函数，所以最大值为，综上，函数只能在或处取得最大值．

…………12分又已知在处取得最大值，所以≥，即≥，解得≤，又因为，所以（］．

………14分

22.已知公差不为0的等差数列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比数列．（1）求数列{an}通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=，求适合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1=的正整数n的值．参考答案：【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】（1）由a2+1，a4+1，a8+1成等比数列，建立关于d的方程，解出d，即可求数列{an}的通项公式；（2）表示出