2022年上海南湖高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析

2022年上海南湖高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O为△ABC内一点，且，，若B,O,D三点共线，则t的值为（

）A. B. C. D.参考答案：B设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：①三点共线；②为平面上任一点，三点共线，且.2.若x,y满足约束条件则z=4x+3y的最小值为A.20

B.22

C.24D.28参考答案：B略3.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则直线AB的斜率为（）A．±1 B． C．±2 D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可知：|AC|=2|AF|，则∠ACD=，则∠CAD=，则∠xFB=，直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理即可求得直线AB的斜率﹣．【解答】解：抛物线y2=4x焦点F（1，0），准线方程l：x=﹣1，准线l与x轴交于H点，过A和B做AD⊥l，BE⊥l，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AD丨，丨BF丨=丨BE丨，|AC|=2|AF|，即|AC|=2|AD|，则∠ACD=，则∠CAD=，∴∠xFB=，则直线AB的斜率k=tan∠xFB=，同理可知：直线AB的斜率﹣，∴直线AB的斜率±，故选B．4.已知双曲线的右焦点也是抛物线的焦点，与的一个交点为，若轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由题意可知，所以，即，所以，解之得，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.5.设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x2+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同;

命题Q：==．则命题Q(

)

(A)是命题P的充分必要条件

(B)是命题P的充分条件但不是必要条件

(C)是命题P的必要条件但不是充分条件

(D)既不是是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件参考答案：D解：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为－1，否定A、B，选D．6.已知集合,则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.如果方程x2﹣4ax+3a2=0的一根小于1，另一根大于1，那么实数a的取值范围是（）A． B．a＞1 C． D．a=1参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣4ax+3a2=0的一根小于1，另一根大于1，令f（x）=x2﹣4ax+3a2，函数的开口向上，则f（1）=1﹣4a+3a2＜0，求得＜a＜1，故选：A．8.已知A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知椭圆的右焦点关于直线的对称点为，点为的对称中心，直线的斜率为，且的长轴不小于4，则的离心率（

）A．存在最大值，且最大值为

B．存在最大值，且最大值为C.存在最小值，且最小值为

D．存在最小值，且最小值为参考答案：B10.复数=A．-3-4i

B．-3+4i

C．3-4i

D．3+4i参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集，集合，则=

．参考答案：｛0｝12.已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为

.参考答案：32略13.已知等差数列中，，那么___________.参考答案：略14.设全集U＝，集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则?U(A∪B)＝_______．参考答案：｛3｝【分析】先求集合U和A∪B，再由补集运算即可.【详解】集合U＝＝，且A＝{1，2}，B＝{2，4}，得A∪B＝{1，2，4}，所以?U(A∪B)＝｛3｝故答案为：｛3｝【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.15.如图所示，已知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正△ACE，现向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为

．参考答案：设正方形的边长为2，则.∵为正三角形∴∴阴影部分面积为∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为

16.已知数列{}满足，则该数列的前20项的和为

．参考答案：略17.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为

；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为

。参考答案：4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组频数频率第1组[60,70)M0.26第2组[70,80)15p第3组[80,90)200.40第4组[90,100]Nq合计501（Ⅰ）写出M、N、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.参考答案：（Ⅰ）M=13，N=2，p=0.30，q=0.04，

…2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，

………10分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，，

………12分所以恰有1名女生接受采访的概率.

………13分

19.设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．20.某学校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情况，在这批树苗中随机抽取了50棵测量高度(单位:厘米），其统计数据如下表所示：将频率作为概率，解决下列问题：(I）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65厘米的概率是多少？(II)为进一步了解这批树苗的情况，再从高度在[35,45)中的树苗A，B，C中移出2棵，从高度在[85，95]中的树苗D，E，F，G，H中移出1棵进行试验研究，则树苗A和树苗D同时被移出的概率是多少？参考答案：略21.（2017?乐山二模）某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）补全该频率分布直方图在[20，30）的部分，并分别计算日销售量在[10，20），[20，30）的员工数；（Ⅱ）在日销量为[10，30）的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30）的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先求出日销售量在[20，30）的频率，从而能求出销售量在[20，30）的小矩形高度，进而能求出频率分布图，由此能求出日销售量在[10，20）的员工数和日销售量在[20，30）的员工数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知日销售量在[10，30）的员工共有6人，在[10，20）的员工共有2人，在[20，30）的员工有4人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这两名员工日销量在[20，30）的概率．【解答】解：（Ⅰ）日销售量在[20，30）的频率为1﹣10×（0.010+0.030+0.025+0.015）=0.2，故销售量在[20，30）的小矩形高度为=0.02，∴频率分布图如右图所示：日销售量在[10，20）的员工数为：20×10×0.010=2，日销售量在[20，30）的员工数为：20×10×0.020=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知日销售量在[10，30）的员工共有6人，在[10，20）的员工共有2人，在[20，30）的员工有4人，从此6人中随机抽2人，基本事件总数n==15，这2名员工日销售量在[20，30）包含的基本事件个数m=，∴这两名员工日销量在[20，30）的概率p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．22.