江西省吉安市洲坑中学高三数学文期末试卷含解析

江西省吉安市洲坑中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，且，则实数a的取值范围为（

）A.(2,4) B.(4,14) C.(2,14) D.(4,+∞)参考答案：B当时，当时，是定义在上的减函数，又也是定义在上的减函数，故设，则由题即即，又综上，故选B点睛：本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的零点，分类讨论思想，难度极大，解题的关键是根据题意构造新函数2.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【解答】解：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）、（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）、（乙甲丁丙）、（乙甲丁丙）、（丙乙甲丁）、（丁乙甲丙）、（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲），共计12种，其中甲丙相邻的只有4种，∴甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为：p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．3.命题，函数，则（

）A．是假命题；，B．是假命题；，C．是真命题；，D．是真命题；，参考答案：D4.下列函数中，在（0，+∞）上是减函数的是（

）A.

B.

C.

D.

ks5u参考答案：A5.设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线I的离心率等于（）A．或 B．或2 C．或2 D．或参考答案：A【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率．【解答】解：根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|PF1|﹣|PF2|=2m＜|F1F2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：A．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．6.在复平面内，复数z=i4+i2015的共轭复数对应的点位于（） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限参考答案：A略7.设为等比数列的前项和，已知,则公比(

).A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】确定区域的面积，即可求出事件“y≤sinx”发生的概率．【解答】解：在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为π2；事件“y≤sinx”发生，区域的面积为=2，∴事件“y≤sinx”发生的概率为．故选：D．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定区域的面积是关键．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（

）A.192里 B.48里 C.24里 D.96里参考答案：B【分析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可得首项，由此可得第三天走的步数。【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，由等比数列的求和公式可得：，解得：，，故答案选B。【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题。10.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A(－1,+∞)，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且，则

.参考答案：略12.双曲线的渐近线方程为

.参考答案：略13.设函数，若函数有三个零点，则实数b的取值范围是____.参考答案：【分析】将问题转化为与有三个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则本题正确结果：【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.14.如图,将菱形ABCD的每条边1,2,3,…,n,…等分,并按图1,图2,图3,;图4,…的方式连结等分点,将每个点依图示规律填上1,2,3,4,5,6,,…,例如图3中菱形ABCD的四个顶点上所填数字之和为34.[来

(1).图5中,菱形ABCD的四个顶点上所填数字之和是

;

(2).图n中,菱形ABCD的四个顶点上所填数字之和是

.参考答案：⑴

74；⑵2n2+4n+4略15.已知，，且，则的最小值为

.参考答案：略16.已知是△的外心，，，.设，,若，则

．参考答案：17.曲线S：的过点A（2，-2）的切线的方程是

。参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）射线OP：θ=α（其中0＜α＜）与C2交于P点，射线OQ：θ=α+与C2交于Q点，求的值.参考答案：（Ⅰ）,.（Ⅱ）.

因为，所以，所以曲线的直角坐标系方程为.---------------------4（Ⅱ）依题意得，点的极坐标分别为，所以，----------------------------------6点的极坐标分别为，所以，---------8所以.-----------------------------------1019.（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2，x∈[0，2]，a＞0．（1）若存在x0∈[0，2]，使得函数y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率k≤1，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．参考答案：20.（本小题满分16分）

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。

（I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大小32平方米，求的取值范围；

（II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。

参考答案：（I）；（II）当AN＝3米，AM=9米时，花坛AMPN的面积最大，最大值为27平方米.试题分析：(1)根据相似比可得：AM＝表示出三角形的面积SAMPN＝AN?AM＝根据题意可得>32，解不等式可得x的范围；（2）求面积的导函数y′＝，当时，y′<0，所以由此可得函数y＝在上为单调递减函数，所以可以得出AN＝3米，AM=9米时面积最大。试题解析：解：由于则AM＝故SAMPN＝AN?AM＝…………4分（1）由SAMPN>32得>32，因为x>2，所以，即（3x－8）（x－8）>0从而 即AN长的取值范围是…………8分（2）令y＝，则y′＝…………10分因为当时，y′<0，所以函数y＝在上为单调递减函数，从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN＝3米，AM=9米

…………15分考点：函数的定义以及导函数的应用.21.已知函数f（x）=xln（ax）（a＞0）（1）若f′（x）≤+对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，设函数f（x）的极值点为x0，若实数m，n满足x0＜m＜1，x0＜n＜1，且m+n＜1．求证：＜（m+n）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求解得出f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x＞0恒成立，构造函数令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，再次求解导数判断．（2）综合求解导数判断单调性得出x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）递减，m，n∈（，1），＜m+n＜1，由x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，利用单调性得出lnmln（m+n）同理f（m+n）=（m+n）ln（m+n）＞nlnn，lnnln（m+n），利用对数，指数的运用求解证明ln（mn）＜2ln（m+n）ln（m+n），即可证明．＜（m+n）．【解答】（1）解：f′（x）═ln（ax）+1，即2ln（ax）+1﹣x≤0在x＞0恒成立，令h（x）=2ln（ax）+1﹣x，∴h′（x）=﹣1，故x∈（0，2）时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，2）递增，x＞2时，h′（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）递减，则h（x）max=h（2），依题意h（2）≤0，∴0．（2）a=1，f（x）=xlnx，令f′（x）=0得x=，且x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，故x0=．则m，n∈（，1），＜m+n＜1，由x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，则有：f（m+n）=（m+n）ln（m+n）＞mlnm，∴lnmln（m+n），同理f（m+n）=（m+n）ln（m+n）＞nlnn∴lnnln（m+n），lm+lnn＜（）ln（m+n）=（2）ln（m+n）=2ln（m+n）+（）ln（m+n），又ln（m+n）＜0，＞0，＞0，∴ln（mn）＜2ln（m+n）ln（m+n），即可证明．＜（m+n）．22.已知函数，且对任意实数都成立，若取到最小值时，有（1）当，求；（2）设，对任意的，都有，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）.试题解析（1）由恒成立，得，即，记，设，则，再设，则，当时，取最小值，此时，∴当时，；（2）对任意，，