(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用

(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆及其应用数学理论阿波罗尼斯圆是指在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足PA/PB=λ，当λ>1且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（λ=1时P点的轨迹是线段AB的中垂线）阿波罗尼斯圆的相关性质如下：定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为λ。证明（以λ>1为例）：设AB=a，APAQ=λ，则PB=aλ/(1+λ)，AQ=a/(1+λ)，BQ=aλ/(λ-1)，由相交弦定理及勾股定理知BC=PB×BQ=2aλ/(λ+1)，AC=AB+BC=2aλ/(λ-1)，于是BC=a(λ^2-1)/(λ-1)，AC=aλ(λ+1)/(λ-1)，故AC=λ×AP。性质1.当λ>1时，点B在圆O内，点A在圆O外；当0<λ<1时，点A在圆O内，点B在圆O外。性质2.因AC=AP×AQ，过AC是圆O的一条切线。若已知圆O及圆O外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然。性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为PQ=aλ/(λ-1)，面积为πa^2λ/(λ^2-1)。性质4.过点A作圆O的切线AC(C为切点），则CP,CQ分别为∠ACB的内、外角平分线。性质5.过点B作圆O不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF。数学应用1.（03北京春季）设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到点A的距离与到点B的距离之比为定值a(a>1)，求点P的轨迹。解：设P(x,y)，则有PA/PB=(x+c)/(x-c)=a，解得x=c(a+1)/(a-1)，代入P的坐标可得y=±2c√(a^2-1)/(a-1)，故点P的轨迹为两条双曲线。2.（05江苏）圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，使得PM=2PN，试建立适当坐标系，求动点P的轨迹PM,PN(M,N分别为切点）方程。解：建立坐标系，令O1(-2,0)，O2(2,0)，则P在x轴上，设P(x,0)，则PM=2PN=2√(x+2)√(x-2)，由勾股定理得x^2+4=PM^2，x^2+4+4√(x+2)√(x-2)=PN^2，联立可得(x^2+4)^2=16(x+2)(x-2)，整理后得到点P的轨迹方程为x^4-4x^2-16x+16=0。3.（06四川）已知两定点A(-2,0),B(1,0)。如果动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积是4/3。解：设P(x,y)，则有PA=√(x+2)^2+y^2=2√(x-1)^2+y^2=2PB，解得y^2=4(x+2)/3，代入P的坐标可得x^2+y^2=4(x+2)/3，整理后得到点P的轨迹为一个圆，其面积为4/3。4.（08江苏）满足条件AB=2,AC=√5的等腰三角形ABC中，BD是腰AC上的中线，且BD=1/2，求角ABC的度数。解：设∠ABC=x，则∠ADB=90°-x/2，由余弦定理得AD=√(5-2cosx)，由BD=1/2得到cos(x/2)=1/2√(5-2cosx)，解得cosx=3/5，故∠ABC=2arctan(2/3)≈83.66°。注：原文中的“值是___________”是一个明显的格式错误，已删除。注：原文中的“λ1”应为“λ≠1”。值是多少？对于问题2，我们需要计算2BC的三角形ABC的最大面积。这可以通过使用海龙公式来计算。首先，我们需要找到三角形ABC的半周长。假设BC=a，AC=b，AB=c，则半周长为s=(a+b+c)/2。然后，我们可以使用海龙公式来计算三角形ABC的面积，即Area(ABC)=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。因此，我们需要找到使Area(ABC)最大的a，b和c的值。对于问题3，我们需要找到使三角形ABC面积最大的a，b和c的值。我们可以使用相同的方法来计算三角形ABC的面积，即Area(ABC)=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。然后，我们可以使用微积分来找到使Ar