河北省秦皇岛市昌黎县刘台庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河北省秦皇岛市昌黎县刘台庄中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数与函数的图像有唯一公共点，则实数的值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】原题等价为有一解，即，令,确定其函数性质即可求解【详解】与函数的图像有唯一公共点，故有唯一解，即有唯一解令，所以g（x）关于x=2对称，故a=g(2)=2故选：D【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题2.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.右图是计算函数的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.等差数列公差为2，若成等比数列，则等于

A．-4

B．-6

C．-8

D．-10参考答案：B略5.已知复数z=1－i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（

） A．=-1－i B．=-1+i C． D．参考答案：D略6.欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆，中间是周长为4cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落在孔中的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（

）A．

B．C．

D．参考答案：B略8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．9.“函数只有一个零点”是的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A

当或时，函数f(x)都只有一个零点.10.已知sin2α=?，α∈，则sinα＋cosα=(

)

A.－

B.

C.－ D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点A（2，-3），且法向量是的直线的点方向式方程是

。参考答案：略12.棱长均为2的正四面体ABCD在平面α的一侧，Ω是ABCD在平面α内的正投影，设Ω的面积为S，则S的最大值为

，最小值为

．参考答案：2，

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】考虑两个特殊位置，即可得出结论．【解答】解：由题意，设过AC与BD中点的平面α平行时，S最小，最小值为=，ABCD在平面α内的正投影构成等腰直角三角形（正方形的一半）时，S最大，最大值为=2，故答案为2，．13.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m?α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）参考答案：②③④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④14.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为参考答案：15.如果数据，，，…，的方差是，若数据，，，…，的方差为9，则

.参考答案：3原数据的方差为，则新方差为，而已知新方差为9，所以;16.若关于的方程有解，则的取值范围是

．参考答案：17.的展开式中一次项的系数为,则的值为

参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,多面体中,四边形是菱形,,,相交于,∥,点在平面上的射影恰好是线段的中点．(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值．参考答案：(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD,因为BD在平面ABCD内,所以EH⊥BD.又菱形ABCD中,AC⊥BD且EH∩AC=H,EH,AC在平面EACF内所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H-xyz因为EH⊥平面ABCD,所以∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,即∠EAH＝45°；又菱形ABCD的边长为4,则===.各点坐标分别为,E(0,0,),易知为平面ABCD的一个法向量,记n=,=,

=,因为EF//AC,

所以,设平面DEF的一个法向量为

(注意：此处),即＝,令,则,所以所以==,平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.本题考查线面垂直,空间向量的应用.(Ⅰ)作辅助线,证得EH⊥BD,AC⊥BD，所以BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF.(Ⅱ)建立恰当的空间直角坐标系,∠EAH＝45°为AE与平面ABCD所成的角；求得平面ABCD的一个法向量n=,面DEF的一个法向量

所以==,面DEF与面ABCD所成角的余弦值为.19.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答： 解：（1）由ρsin（θ+）=，得

ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．20.在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．解答： 解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．21.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为，其余费用为每小时元．（）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数．（）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？参考答案：见解析（）∵速度为海里/小时，航行时间为小时，总燃料费为元，其余费用为元，∴．（）∵，当且仅当时，等号成立，，即轮船以海里/小时速