广东省汕头市澄海新溪中学2022年高三数学文月考试题含解析

广东省汕头市澄海新溪中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．2.f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣Asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意可得A=1，T=?=﹣，解得ω=2，∴f（x）=Acos（ωx+φ）=cos（2x+φ）．再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），g（x）=﹣sin（2x+）=cos（2x++）=cos2（x+），而﹣（﹣）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，故选：D．3.在平行四边形ABCD中，若则(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,

平行四边形中,,

，，,

因为,

所以

,

，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.4.已知函数f（x）=x2+2|x|，若f（﹣a）+f（a）≤2f（2），则实数a的取值范围是(

) A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣4，2] D．[﹣4，4]参考答案：A考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：易知函数f（x）=x2+2|x|是偶函数，且函数在[0，+∞）上是增函数；从而化为|a|≤2；从而求解．解答： 解：易知函数f（x）=x2+2|x|是偶函数，且函数在[0，+∞）上是增函数；故f（﹣a）+f（a）≤2f（2）可化为f（|a|）≤f（2）；故|a|≤2；故﹣2≤a≤2；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题．5.若，则向量与的夹角为（）A．

B.

C.

D.参考答案：C略6.设点F1、F2是双曲线的两个焦点，点P是双曲线上一点，若则的面积等于

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A7.已知函数，则

（

） A． B． C． D．参考答案：B8.若一元二次不等式的解集为，则的最小值是（A）

（B）

（C）2

（D）1

参考答案：A9.如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C．﹣1 D．1+参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用双曲线的定义，得到2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，即可算出该双曲线的离心率．【解答】解：连结AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c．根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，解得c=（+1）a，∴双曲线的离心率为e==+1．故选D．10.已知定义在R上的奇函数f(x)，当时，恒有，且当时，，则（

）A．0

B．e

C.

D．参考答案：D由题意可知，函数是周期为2的奇函数，则：，，据此可得：.本题选择D选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义运算法则如下：；若，，则M＋N＝

．参考答案：512.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______.参考答案：【分析】列举出任取两个球所有可能的结果，找到两个球不同色的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】设个白球编号为：；个黑球为：从中任取两个球的所有可能结果为：、、、、、、、、、，共种所取的两个球不同色的有：、、、，共种所求概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的概率问题的求解，考查列举法的应用，属于基础题.13.已知函数，对任意的，总存在，使，则实数a的取值范围是_________.参考答案：略14.函数的最小值是

．参考答案：试题分析：，当且仅当15.运行右面的程序框图，如果输入的的值在区间内，那么输出的的取值范围是

参考答案：16.若，且,则．参考答案：因为，所以为第三象限，所以，即。

【解析】略17.在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．参考答案：1【分析】由得，由是方向相反的单位向量得，，然后即可算出答案【详解】由得即因为是方向相反的单位向量，所以，所以，即故答案为：1【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．参考答案：（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：

（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.

…………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆

…………10分略19.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式；（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；（2）Sn==2n﹣1，∴bn===﹣，∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．20.（本题满分14分）已知正项数列的前项和为，且

.（1）求的值及数列的通项公式；（2）求证：；（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：（1）由.当时，，解得或（舍去）．……2分当时，由，∵，∴，则，∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．………………4分

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

（2）证法一：∵，……4分∴当时，.…7分当时，不等式左边显然成立.

………………8分证法二：∵，∴.

∴.……4分∴当时，.……7分当时，不等式左边显然成立.

……8分（3）由，得，设，则不等式等价于.，……9分

∵，∴，数列单调递增.

……10分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则①当为奇数时，得；……11分②当为偶数时，得，即.……12分综上，，由是非零整数，知存在满足条件．……14分略21.已知，其中向量,(R).（1）求f(x)的最小正周期和最小值；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，a=，b=4，求边长c的值.参考答案：(1)f(x)=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1=…=sin2x+cos2x=2sin（2x＋）…4分∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2.…………………5分(2)f()=2sin（＋）=∴sin（＋）＝…………6分∴＋＝∴

A＝或（舍去）………8分由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA即13＝16＋c2-4c即c2-4c+3=0从而c=1或c=3

………………10分22.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知过点P（a，0）的直线l的参数方程是（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得||=6且||=4？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点