利用正余弦定理解决三角形面积问题（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）

专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

六、高考真题衔接

、梳理必备知识

1.正弦定理

=2火.（其中R为A48C外接圆的半径）

sinAsinBsinC

<=>tz=27?sinJ,6=27?sin5,c=27?sinC;（边化角）

<-=>><sinJ/i=,sinuB—-,sinjC-=—;（角化边）

2R27?2R

2.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccos^,

b2=a2+c2-laccos5,

c2=a2+b2-2abcosC.

3.三角形面积公式:

1114

SMBC^-absinC=—AcsinA=—acsin8石（a+b+c）r（r•为三角形ABC的内切圆半径）

2222

4.三角形内角和定理：

在△NBC中，有Z+8+C=%=C=%一（/+B）=|^=（—^1^=2。=2乃一2（4+8）.

【常用结论】

①在\ABC中，。>b=sin/>sin5o/>5;

jr

②sin2/=sinIB,则N=B^A+B=-.

2

③在三曲座数中,sin力Asin3o4〉8不成立。但在三角形中，sin力〉sinB=力〉8成立

二、基础知识过关

一、单选题

1.在“8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,旦。=历，c=亚,8=30。，则“8C的面积为（).

A.叵B,巫Vio

rk_z•---

242

【答案】B

【分析】根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】S,„r=—acsinB=—x^2x-^Sxsin300=.

224

故选：B

2.已知在“8C中，AB=4,ZC=3,cosJ=-,则的面积为（）

2

A.3B.373C.6D.6石

【答案】B

【分析】首先求出sin4,再根据面积公式计算可得；

【详解】解：因为cos/=g,A为三角内角，所以sin〉=Jl-cos2N=4,

所以S«，sc=g6csin/=；x4x3x^^=3百;

故选：B

3.在“I8C中，aAc分别是角4B,C所对的边，c=2,N=g,sin8=2sinC,则A/BC的面积为（）

A.拒B.26C.2D.4

【答案】B

【分析】由正弦定理求得b=2c=4,利用面积公式进行求解.

【详解】由正弦定理得：6=2c=4,

由面积公式得：—ftcsin^=—x4x2x—=2-s/3.

222

故选：B

4.的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知/=30。,/+c?-/=40，则”8C的面积为（）

A.yB.V3C.ID.2

【答案】C

【分析】根据余弦定理可求得bc=4,再根据三角形的面积公式;bcsinN,即可求出结果.

【详解】因为/=30。,/^2-/=46，

所以26ccos/=y%c=46，所以bc=4,

所以"8C的面积为^^csin/T.

故选：C.

5.已知》8C的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为36，』=三，b+c=4也,则。=（）

A.26B.5C.8D.2&

【答案】A

【分析】由三角形的面积和A计算出加的值，再根据余弦定理求出a?的值，即可得到答案

【详解】由题意可知，=gbesin4=30，得be=12

'：b+c=4V3,he=12

由余弦定理可得：a2=b2+c2-26ccosA=（ZJ+C）2-2bc-2bccosA

整理得：a2=12,:.a=2A/3

故选：A

6.在A/IBC中，已知。=3,c=V7,C=60°,则的面积为（）

AGR3石前3有「3gn373

22424

【答案】B

【分析】先用余弦定理求得b,然后由三角形面积公式计算.

【详解】因为“8C中，已知a=3,c=J7,C=60°,

所以，由余弦定理得（⑺2=32+b2-2x36cos600=62-36+2=0,

解得6=1或2,

所以A/8C的面积5=』.从出。=，'以3'3=述或$=，、2乂3*正=地.

2224222

故选:B.

二、填空题

7.在△/8C中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,b=\,cosC=-,则△/8C的面积为

3

【答案】逑##］五

33

【分析】由cosC=；求出sinC,再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】由同角三角函数关系：sidl-cosJ逑,

3

由三角形面积公式得：S，Bc=L"sinC='x2xlx逑=2包.

“ABC2233

故答案为：走

3

8.在A/8C中，设a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边，b=2,c=\,面积%Bc=g，则内角A

的大小为

【答案】［或称

【分析】由三角形面积公式进行求解即可.

【详解】V&44C的面积8c=；6csin4=1-x2xlxsin/l=,

...1

・・sin4=一,

2

•・・代（0,兀），・・・/=1或称.故答案为：J或等.

6666

9.在△48C中，若a=7,b=3,c=8,则△4SC的面积等于.

【答案】6有

【分析】先求得sin4,然后根据三角形的面积公式求得4ABC的面积.

【详解】由余弦定理得COSZ=32+--72=工＞0,

2x3x82

所以A为锐角，所以4=巴,sin4=",

32

所以△ABC的面积为,bcsin%=Lx3x8x逝=6正.故答案为：66

222

四、解题技巧实战

【技巧实战1]

1.记中角4民C所对的边分别为a,6,c,已知/=2B,3b=2c.

、tanC

⑴求砧

⑵若△”C的周长为5+何，求△”C的面积.

【详解】(1)因为3%=2c,由正弦定理得3sin8=2sinC,

4

又因为Z=2B,所以sin<=sin28=2sinBcos5=—sinCcosB,

3

在A8c中，4+8+C=兀，所以sin/=sin［兀一（8+C）］=sin（5+C）=sin5cosC4-sinCcosB,

41

所以§sinCcos8=sin8cosc+sinCcosB则sinBCQSC=-sinCcosS,

而cosBcosCH0,所以30.=3.

tan5

（2）由（1）^^=3,所以由tan/=tan「兀一（B+C）］=-tan（8+C）=tan8+tanC4tanB

tan8tanStanC-13tan2

姮

=

又tan/=tan28=；-----所以tanB5•

l-tan2S9

迎

典

n

-，*o=

因为在中，A=289所以有sin844

叵

后-

所以sin4=sin28=2sin3cos8=2乂星■X一

-「

44

4

又3b=2c,所以3sin8=2sinC，sinC=—sinB=-x--=--

22489

由题a+b+c=2&sin/+2RsinB+2RsinC=5+Ji6,其中R为』8c外接圆的半径,

所以2R|乎+手+彳^）=5+而，所以2R=半，故”8C的面积S=gacsin8

1-4--D14#V154巫y/63#3715

二-2AsinA,2AsinC,sinD=—x------x-----x------x—x-----=--------.

22343484

【技巧实战2】

R+r

2.已知的内角4、B,。所对的边分别为〃、b、c,且cos。一=l-cos4.

(I)求角4的值.

(II)若A/8C的面积为3百，且b+c=7(b>c),求“的值.

【答案】(I)=y;(II)a=y/13.

【分析】(I)由三角形内角和为"去掉8+C,二倍角公式化简可得sin?=g,从而求出<=g；(ID代入三角

形面积公式可得6c=12,结合条件解出b,c,余弦定理求a.

【详解】解：(D由cos"X=1-cosZ,得cos(Z-d)=l-cos),gpsin-=2sin2-,

22222

•*力―c•♦41-T-J"/八)、・"1[/-.)

•sin—0,..sm—=-,又彳£(0,彳),>故力=二・

2LL2226J

(II)由面积S='bcsinN=1bcx巫=3百，得6c=12,又b+c=7(b>c),：.b=4,c=3,

222

由余弦定理/=b2+C2-2bccosA=16+9-2x4x3x—=13,:•a=J\3.

2

【技巧实战3】

3.。中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，且有sin2C+6cos(Z+B)=0.

(1)求角C;

(2)当a=4,c=JI3时，求“吕。的面积.

【详解】(1)因为sin2C+J5cos(/+周=0,且4+8+。=万，

所以5足2。+5/585(4+8)=5足2。+73<：0《万一。=2sinCcosC-7-3cosc=1,

即2sinCcosC=>/3cosC,所以cosC=0或sin。=心~,解得。=g或£或斗.

2233

(2)因为。=4,c=y/13>所以C=§,

根据余弦定理得cosC=/+"“c"所以_1=更Q二曳，即/_必+3=0,

2ah28b

解得6=1或〃=3,当6=1时，S,=—«Z?sinC=—x4xlx—=5/3,

“BC222

当b=3时，S=-a&sinC--x4x3x—=373,

A/ioc22

所以ABC的面积的面积为6或3G.

五、跟踪训练达标

1.（2022春•广西南宁•高一校考阶段练习）在AZBC中，内角4BC所对的边分别是a,b,c,若廿+/=。2+儿,

且6c=8,

(1)求角4

(2)求△NBC的面积.

【答案】(1)y;(2)2^3.

【分析】(1)由题设条件，结合余弦定理可得cosZ=g,即可求角A；

(2)应用三角形面积公式直接求△/BC的面积即可.

【详解】(1)Sb2+c2=a2+bc9得〃+<?一片=A,

cosA=''+'———=—,0<A<TT可得力=£.

2bc2F3

(2)S^ABC=^bcsinA=；乂8乂乎=20・

2.(2023•高一单元测试)已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,cf若〃sinC=GccosZ.

(1)求角A.

(2)若Q=V7，。=2求△48C的面积.

【答案】(1)[=?;(2)空.

【分析】Q)由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得sin/=6cos/,进而求角A.

(2)由余弦定理得从-26-3=0求b,再利用三角形面积公式求△ZBC的面积.

【详解】(1)由正弦定理，sin/sinC=JIsinCcos/,又sinCVO,

二.sin4=6cos/,即tan/=6，由/e(0,万)，得

(2)由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosA,AZ>2-2A-3=0,解得6=3,，5"「=1加5皿/=述.

MBC22

3.(2023秋•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考期末)在“8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,

c,己知向量机=(cos4cos8),n=(a,2c-b),且而〃]

(1)求角A的大小；

(2)若4=4,g百，求A/8C面积.

【答案】(1)y(2)173

【解析】(1)由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角

和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0,求出cos/的值，即可求出A的度数；

(2)由与A的值，利用正弦定理列出关系式，求出8值进而得C角，再由三角形N8C面积公式即可

求值.

【详解】解：(1)由加〃万得，(2c-8)cos4-4cos3=0,

由正弦定理可得，(2sinC-sin8)cos/-sin/cos8=0,

可得：2sinCcosJ-sin(J+5)=0,即：2sinCcos^-sinC=0,

由sinCw0,可得：cosJ=—,

2

又八(04),可得：J=y.

士出

(2)由已知及正弦定理得三=工即」一=。可得sin8=：

sin/sin8sin£sinB2

a>bA>B即B=^^C=—,A^5C的面积S——basinC=—x4乂巫迺.

622233

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定

理及公式是解本题的关键，属于基本题.

4.(2022秋•云南楚雄•高二校考阶段练习)已知“8C角48,。所对的边分别为a,6,c,A/8C的周长为

2五+2,且sin/+sinB=6sinC-

(1)求边c的长；

2

⑵若zUSC的面积为§sinC,求角C的度数.

【答案】(1)2；

(2)60°.

【分析】⑴根据正弦定理可将sinN+sin8=0sinC化简为a+6=缶,，再根据以BC的周长即可求得c；

4

(2)根据三角形面积公式可得ab=-，根据(1)中的结论可得a+b=242，再根据余弦定理即可求得角C.

【详解】(1)由题意得:sin4+sin8=&sinC，

在“BC中,将正弦定理代入可得a+6=缶，

又a+b+c=2/+2,即岳+c=2亚+2,所以c=2；

(2)由⑴知c=2,a+6="；,所以a+6=2

124

因为&”c=-absinC=jsinC,所以帅=§,又有a+b=2应，

Z>

所以cosC="2t"超=妇万二的F■='因为Ce(0,180°),所以C=60。.

2ab2ab2

5.(2023•全国•高三专题练习)AJBC的内角4,B,5的对边分别为a,b,c,已知acosC+ccosZ=2bcos8.

(1)求8；

(2)若b=26,-8C的面积为26，求“5C的周长.

【答案】(1)5=y;(2)6+2仃

【解析】(1)根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出cos8=；,进而求出8；

(2)根据余弦定理可得到-3M=12,再根据三角形面积公式得到就=8,即可求出a+b=6,进

而求出&43C的周长.

【详解】解：(1)vacosC+ccosA=2bcosB,

由正弦定理得：sin/IcosC+sinCeos=2sin5cosS,

整理得：sin(4+C)=2sin8cos8=sin8,

：•在△45C中,0<B<冗,.•.sinBwO,

即2cosB=1,cosB=—t即8=工；

23

(2)由余弦定理得：(26)=a2+c2-2ac--1,/.(a+c)2-3ac=\2,

VS=—acsinB=ac=2>/3,**•ac=if-24=12,

24

/.a+c=6,/•/5C的周长为6+2百.

6.(山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题)已知a,b,。分别为△/BC三个内角4,B,。的对

边，c(l+cosfi)=y/3bs\nC.

(1)求角8的大小；

(2)若b=2,a+c=4,求的面积.

【答案】(1)8=。

(2)石

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合辅助角公式即可得解；

(2)利用余弦定理求得如，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】(1)因为c(l+cos8)=J5bsinC,所以sinC(l+cos8)=6sin8sinC,

因为Ce(O,)r),所以sinC/0,

所以1+cos8=V^sin8,得2sin(8-9)=1,即sin(8-7)=万，

n5n

因为8e(O,7t),所以

o65T

所以=所以8=?;

ooJ

(2)由余弦定理得/="+c，2-2〃CCOS8=(a4-c)~-3ac=16-3ac,

RP22=16-3tzc,解得好=4,

所以S=—acsin5=—x4x——=近.

*222

7.（2023,安徽淮北•统考一模）设内角A,B,。的对边分别为叫b,c,已知

csinC.人bsinB,

----------sinc=-----------sm4,b=4.

（1）求角B的大小

（2）若。=生无，求/的面积.

3

【答案】⑴*

⑵T

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得;

（2）由正弦定理求出C,即可得到A,再由两角和的正弦公式求出sin/,最后由面积公式计算可得.

【详解】（1）解：因为"工-sinC=^2_sin/,

aa

2222r2i

由正弦定理可得Jr-c=h2-a,BPa2+c2-b2=ac9贝!!cosB="-------=—

aa2ac2

又Bw（O,兀）,所以8=

(2)解：因为6=4,5=pc-4指

3

4瓜

64娓

b

由，得右二熹，即S9Yr3,

sin5sinC

Sm342

兀

又入吟,所以c七,则7in5

34~\2

n兀.兀7171.71

所以sin4=sinjy=sin=sin—cos—+cos—sin—

464646

=@x立+在所以Sw=Ucsin”」x4x-

：V6XVW2=4+V3

2222422343

8.（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记》8C的内角A、B、C的对边分别为。、b、

。〃=3瓦

c.已知QCOS?g+cc

222

(1)证明：sin/+sinC=2sin8；

UlUUUlfl

(2)若6=2,ABAC^3<求力8c的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2内加=不

【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立;

（2）利用平面向量数量积的定义可得出历cosA=3,结合余弦定理以及〃+c=2%=4可求得。的值，由

此可求得的面积.

^£OS2-3〃(l+cosC)+c(l+cos4)3b

【详解】（1）因为。COS+CCF，则

2222

即a+c+acosC+ccosA=3b,

由正弦定理可得3§1118=5访4+5访。+6,485。+（：0545出。）=0m4+§抽。+5由g+C）

=sinZ+sinC+sin(71-B)=sinJ+sinC+sinB,

因此，sinJ+sinC=2sinfi.

(2)因为sin4+sinC=2sin8,由正弦定理可得a+c=2b=4,

由平面向量数量积的定乂可得力8-AC=chcosA=3f

所以，2c・子『:3,可得—,

1Q7

即(c_〃)(c+4)=4(c-o)=2,所以，c-a=a，贝！)c=w

a~4f

3=3=2________

所以，C°Sbe>939则A为锐角，且sin，=Jl-cos'A叵,

LX一3，

4

“sin」』』莅

因此，Sa.

222434

9.（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在中，记角4SC的对边分别为。力,叫已

知2戾in14+£=a+c,且c=2,点。在线段5c上.

3兀

(1)若Z-ADC=—,求AD的长;

4

⑵若BD=2DC,^ABC的面积为3百，求‘叱券的值.

sin/CAD

【答案】（1）4。=指

(2)277

【分析】（1）由正弦定理边化角、两角和的正弦公式和辅助角公式化简给定等式，再由正弦定理即可求出

答案.

（2）设=则8£>=2f,由三角形的面积公式可求出f=2,再由余弦定理求出/C,在中，由

正弦定理可得sin/BAD=2sin/ADB,同理在“C。中，可得sin/CAD=立sin/ADC,两式相出即可求

7

,,,sin^BAD

出--------的值.

sinZCAD

【详解】(1)2sinBsinfA+^\=s\nA+sinC=sirU+sin(A+5)=siiL4+sirk4cos54-cosJsinS.

/.2sin3J+—cos/4=sirb4+sirb4cosB+cos4sin3,

2'

V^siMsinB+sin^cosJ=sinJ+sirt4cos8+cosJsin^.

y/3sinAsin8—sin4cosB=sinA9sinA\y/3sinB-cos8)=sinA

因为sin/wO,所以由sinB-cosB=2sin18-2

1,

又未（。㈤,••.8兰吟8弋.

ADABAD2

•••we/,则加r，在△板中，由正弦定理得MT冏方.正F'解得必向

22

(2)设CZ)=f,则8O=2f,又S“8C=3>/J,即,x2x3fx整^=36,可得f=2,故8C=3z=6,

22

由余弦定理可得4。=1力序+8C2_218.8GOS8=,4+36-2x2x6>i=3/7,

2

BDAB

在△48。中，由正弦定理可得,BAD=2sinZADB,

sin/BADsin/ADB

CDAC

在△ZCQ中，由正弦定理可得,故sin/CW=—sinZADC,

smZCAD~s\nZADC7

因为sin/ADB=sin(兀一/ADC)=sin/ADC,

sin/BAD_2sin/ADB_2a

smZCAD币.

——sin/ADC

7

10.（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角》3c中，角45C

所对的边分别为c=a(cosB+；sinHj.

(1)求sirt4；

(2)若“8c的面积为I,且(在下面两个条件中任选一个)，求“8C的周长.

①。=2；©a=2c.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1方必=平

(2)3+75

【分析】(1)利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简c=a(cos8+；sin5),可得cos』=；siM,结

合同角的三角函数关系，即可求得答案.

(2)若选①，根据三角形面积求得命=逐，求出cos/,由余弦定理结合完全平方公式求得b+c,即得答

案；选②，根据三角形面积求得命=逐，求出cos/,由余弦定理求得&2=3C2+2,解方程组求出8,%即得

答案.

【详解】(1)由c=a(c°s8+gsin8)及正弦定理得sinC=sin(/+8)=sirL4(c°s8+；sin8),

整理得coJsinfi=isitvlsin8,

jr

因为0<B<—,sin^w0,

所以cos/=gsin4,l-sinZ=^-sin2/l,sin2J=y,

因为在锐角^ABC中,0"<5⑼必卜,

所以sirt4=马叵.

5

(2)若选①：由的面积为1,得工人同政二工儿•也=1,所以历=逐，

225

在锐角^ABC中，由sirt4=冬后，得cosZ=Jl-sinZ=,

55

由余弦定理得a2=4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA

=(b+c)2-24-2亚=(b+c)2-2加-2,

所以(b+c)2=6+2的力+c=l+6,

所以a+b+c=3+7L即“8C的周长为3+逐.

若选②：由的面积为1,得：csin/==be.2亚=1,所以be=布,

225

在锐角,BC中，由sin^=4*,得cos%=Jl-sinZ=—,

55

22222

由余弦定理得/=4c=b+c-2bccosA=h+c-29即力？=3c?+2,

:二兽+2'解得"Sc"所以。=2C=2,”HC=3+G所以-8C的周长为3+G

由，

11.(广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题)已知“8C的内角4民C的对边分别

A7

为a,b,c,满足45亩2,-352(8+。)=5,

(1)求A；

(2)。是线段8c边上的点，若AD=BD=2,CD=3,求“18C的面积.

【答案］⑴若

,八&25百

⑵Sfc=市―

【分析】(1)利用余弦函数的倍角公式与诱导公式将条件转化为关于cos/的一元二次方程，解之即可求得

《3

3

(2)在△4BD、&ACD与dBC中,利用余弦定理及诱导公式得到关于私”的方程组，从而求得见〃，从

而利用三角形面积公式即可得解.

AA7

【详解】(1)因为2sin2,=l-cos4,B+C=n-A,4sin2y-cos2(5+C)=-,

73

所以2-2cosJ-cos2(71-A)=—,即COS2(TI-4)+2cos4+—=0,

3

又cos2(兀一4)=cos24,cos2A+2cosA+—=0,

又cos2/=2cos21一1,所以2cos2/+2cos4+；=0,贝！J(2cosZ+iy=0,故cos/=-;,

27r

又0<力<兀，所以4=不

(2)设力8=〃?，AC-n9Z.ADB—0,

在中，由余弦定理得力4=4C>2+8£>2-24C>.8£)COS。,

在中，由余弦定理得/C?=AD2+DC2-2ADDCcos(7t-g,

又AD=BD=2,CD=3,

3

所以阳*=8-8cos6,“2=13+12cos6,整理得5犷+〃~=25①,

在A/8C中，由余弦定理得8c2=Z82+/C2-2NR4CCOSZ8/C,贝U"/+〃2+机〃=25②,

由①一②得=0,故机=2”,

将机=2〃代入①式得/=，，

2

所以i^ABC的面积SIBC=—AB-ACsmZBAC=—wnsin—=—H=至g.

“'c223214

12.(云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题)在A/8C中，内角/,8,C的

对边分别为“，b,c,S,bcosA+acosB+2ccosA=0.

(1)求角A的大小：

⑵若BC边上的中线3=20，且邑.=2万，求”8C的周长.

【答案】⑴/=/

(2)8+6近.

【分析】(1)根据已知，利用正弦定理、两角和公式求解即可.

(2)利用三角函数的性质、面积公式以及余弦定理建立方程组求解.

【详解】(1)因为6COS4+QCOS3+2CCOS4=0,

所以由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB+2sinCcosA=0,即sinC+2sinCcosZ=0,

又由正弦定理得c+2ccosA=0,

所以cosA=——f

因为在”8C中，因为Ne(0,7i),所以4=g.

(2)如图，

A

Ha^ZDXcC

由(1)有：A='所以%/BC=；6csin/=,得bc=8,①

由余弦定理知/=〃+°2+a，即/+，2=。2一8,②

在中，由余弦定理得：c2=d+(2石Y-2x26x$cos408,

在人4℃中，由余弦定理得：+(2^)2-2x2^x^cosZ4DC,

2

因为cos//D8=-cos/ADC,所以〃+/=幺+24③

2

由①②③，得。=8,/+〃=56,1c=8,

所以b+c=y](h+c)2="2+/+2bc=y[12=6>/2，

所以△45C的周长a+b+c=8+6板.

六、高考真题衔接

1.(2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I))/8C的内角4B,C的对边分别为a,6,c.已知

5=150°.

(1)若a=6c,b=2y/l,求△/3C的面积；

(2)若siM+VJsinC=^^,求C

2

【答案】(1)百；(2)15。.

【分析】(1)已知角B和b边，结合出。关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出。，。，利用面积公式，

即可得出结论；

(2)方法一：将4=30。-。代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关。角的三角函

数值，结合。的范围，即可求解.

【详解】(1)由余弦定理可得"=28="+C2-2〃LCOS150O=7c2,

c=2,a=2瓜:.4ABC的面积S=；acsin8二百；

(2)[方法一]:多角换一角

-A+C=30°,

sin力+GsinC=sin(30°-C)+>/3sinC

=gcosC+^sinC=sin(C+30°)=¥，

v0°<C<30o,.-.30o<C+30°<60°,

.•.C+30o=45o,.\C=15°.

|方法二卜正弦角化边

由正弦定理及8=150。得nfeh故Siti/=£ci,Sil!C=三c.

sinAsinCsinB2b2b

由sin/+6sinC=——，得a+6c=V5b.

2

又由余弦定理得从=/+。2_2".cos8=42+c?+&c，所以(a+=2(a2+c2+^ac),解得a=J

所以C=15。.

【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，

属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进

而求角.

2.(2022年全国新高考II卷数学试题)记“8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c

为边长的三个正三角形的面积依次为LS2,S3,已知B—S?+易=5-,sin5=-.

(1)求△4BC的面积；

(2)若sin4sinC=,求b.

3

【答案】⑴4

O

(呜

【分析】⑴先表示出相33,再由Sf+SL*求得

=2,结合余弦定理及平方关系求得碇,

再由面积公式求解即可；

(2)由正弦定理得一耳一=--------即可求解.

sir?8sinJsinC

【详解】(1)由题意得.3=3-2s逅/，邑=3c2,

则

12242434

aQ一百“2行/上百/一百

S.-+S-,——CI----uH----c——,

1234442

即/+02一/=2,由余弦定理得cos8=上士上，整理得accos」

3=1,贝I]cosB>0，又sin8=一，

2ac3

贝(1cos8=J1=2近，ac=---=五,贝!JsiBC=—acsinB-_V2.

丫⑴3cos54皿28,

3遮

(2)由正弦定理得：4=号=一彳，则一名=，7，方=