《实变函数》课程教学大纲

实变函数课程教学大纲RealAnalysis学时数：32其中：实验学时：0课外学时：0学分：2适用专业：信息与计算科学一、课程的性质、目的和任务实变函数是一门重要的学科基础课程.它的任务是使学生掌握近代抽象分析的基本思想，加深对数学分析有关内容的理解，通过本课程的学习，可逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，为进一步学习打下良好的基础.二、课程教学的基本要求（一）理解集合的概念，掌握集合的运算,理解映射、集的对等、可列集的概念,熟练掌握一维开集、闭集的概念及其性质,掌握开集的构造（二）了解测度概念产生的背景,熟练掌握点集的外测度及可测集的概念,熟练掌握可测集的性质,掌握高维空间测度与低维空间测度的联系，了解不可测集的例，熟练掌握可测函数的的概念与基本性质，熟练掌握可测函数与简单函数的联系，掌握可测函数的构造。（三）了解Lebesgue积分产生的背景，熟练掌握非负简单函数的积分与性质，熟练掌握非负可测函数的积分与性质，Fatou引理，熟练掌握可测函数积分的性质,勒贝格控制收敛定理,了解勒贝格积分与黎曼积分的联系,掌握Fubini定理.三、课程的教学内容、重点和难点第一章集合（一）集合概念（二）集合的运算（三）对等与基数（四）可数集合（五）不可数集合重点：集合运算的性质，基数，可数集。难点：集合的基数。第二章点集（一）度量空间，n维欧氏空间（一）聚点、内点、界点（二）开集、闭集、完备集（三）直线上的开集、闭集及完备集的构造重点：聚点，内点，BOLZANO-WEIERSTRASS定理难点：聚点，一维开集、闭集的构造第三章测度论（一）外测度（二）可测集（三）可测集类（四）不可测集类重点：外测度，可测集，开集的可测性。难点：可测集，开集的可测性。第四章可测函数（一）可测函数的定义及其性质（二）EGOROFF定理（三）可测函数的结构（四）依测度收敛重点：可测函数的定义及其性质，EGOROFF定理，可测函数的结构。难点：EGOROFF定理，可测函数的结构，依测度收敛与几乎处处收敛的联系。第五章积分论（一）黎曼积分（二）勒贝格积分的定义（三）勒贝格积分的性质（四）一般可积函数（五）积分的极限理论（六）勒贝格积分的几何意义，富比尼定理重点：可测函数的定义及其性质，EGOROFF定理，FUBINI定理。难点：单调收敛定理，Fatou引理,Riemann积分与Lebesgue积分的联系,FUBINI定理第六章微分与不定积分（一）维它利定理（二）单调函数的可微行（三）有界变差函数（四）不定积分（五）斯蒂尔切斯积分（六）勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分重点：维它利定理，单调函数的可微行，不定积分，斯蒂尔切斯积分难点：维它利定理，单调函数的可微行四、课程各教学环节要求（一）本课程以课堂教学为主，其中新内容讲授26课时，习题课6课时。作业量48左右。（二）考试采取闭卷考试方式。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一集合3148二点集3148三测度论5168四可测函数5168五积分论51610六微分与不定积分5166合计2663248六、课程与其它课程的联系实变函数是数学分析课的后续课程，是信息与计算科学专业的选修专业课程.它将为后续课程建立必要基础.同时实变函数与泛函分析是近代抽象分析的主要基本内容，对于加深理解和认识数学分析、高等代数等课程知识具有十分重要的指导作用。七、教材与教学参考书（一）教材程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》北京:高等教育出版社，2003年.（二）教学参考书[1]H.L.Royden.《REALANALYSIS》.NewYork:Macmilan,1985年.[2]周民强编.《实变函数论》.北京:北京大学出版社，1