《微分方程数值方法》课程教学大纲

PAGE1PAGE3微分方程数值方法课程教学大纲NumericalMethodsforDifferentialEquations学时数：32其中：实验学时：0课外学时：0学分数：2适用专业：信息与计算科学一、课程的性质、目的和任务微分方程数值解是数学及其相关专业的必修课程。主要介绍现代科学计算中常用的微分方程数值计算方法及其基本原理。其内容新颖，起点较高，适合于有比较扎实的数学理论基础和学过计算方法的学生学习。另外，特别加强了微分方程数值实验环节，力求使学生掌握并应用数值计算方法解决实际微分方程问题。二、课程教学的基本要求（一）了解常微初值问题在工程技术中的应用，了解三类偏微分方程（描述稳定状态的椭圆型偏微分方程，描述扩散状态的抛物型偏微分方程，描述波动状态的双曲型偏微分方程）在工程技术中的广泛应用；了解微分方程数学模型中各项数学描述的物理含义；了解建立微分方程数学模型的一般方法。

（二）学习常微分方程数值求解格式的构造及其稳定性分析方法。

（三）学习数值求解二阶椭圆型偏微分方程的有限元方法

（四）学习数值求解扩散偏微分方程的差分方法

（五）学习数值求解波动方程的差分方法三、课程的教学内容、重点和难点第一章常微分方程的数值解法掌握Euler方法的构造过程以及理论基础了解Talor级数法和线性差分方程的求解思路掌握Runge-Kutta公式以及稳定性与收敛性的分析了解常微分方程边值问题的数值解法的基本思想重点：线性多步法的稳定性与收敛性分析。难点：Runge-Kutta法的稳定域的求解。第二章边值问题的变分形式通过对二次函数极值问题的讨论，掌握两点边值问题的求解方法了解Sobolev空间的定义及其性质掌握极小位能原理和虚功原理的思想了解二阶椭圆型边值问题的求解方法及Ritz-Galerkin原理重点：极小位能原理和虚功原理的的应用。难点：Ritz-Galerkin的应用。第三章椭圆和抛物型方程的有限元法从求解一维问题的线性元法及其误差估计出发，掌握一维高次元法、二维矩形元法和三角元法理解有限元方程的形成和计算过程掌握抛物型方程的有限元法的求解思路和过程。格，分配格，有界格，有补格和布尔代数等概念。格的基本定律重点：Hermite型的矩形元与三角形元。难点：有限元的思想和具体求解问题的基本思路第四章椭圆型方程的有限差分法掌握一维和矩形网的差分格式了解三角网的差分格式掌握最简差分格式及其稳定性与收敛性的证明了解Fourier差分方程法重点：矩形网差分格式的边值条件问题。难点：五点格式的收敛性分析。四、课程各教学环节要求本课程采用课堂教学、课堂讨论与实践等多种形式教学，其中课堂讲授24课时，习题课8学时。各教学环节的重点都是在于培养学生的计算能力，尽可能让学生自己动手，从而培养学社的综合素质和创新能力。考核形式为开卷考试和平时综合练习。五、学时分配章节主要内容各教学环节学时分配作业题量备注讲授实验讨论习题课外其它小计一常微分方程的数值解法6288二边值问题的变分形式6288三椭圆和抛物型方程的有限元法6288四椭圆型方程的有限差分法6288合计2483232六、课程与其它课程的联系微分方程数值解法课程是沟通数学与计算机之间联系的一门重要基础课程，是人们利用数学方法并借助计算机解决实际问题的必经之途径。是数学专业学生的一门专业必修课程。通过本课程的学习，务求使学生掌握近似计算的基本方法，熟悉利用数学理论、借助计算机解决实际问题的基本方法和能力。它需要数学分析、高等代数、常微分方程等课程作为先修课程。七、教材与教学参考书教材李荣华等编，微分方程数值解法，北京：高等教育出版社，1996年，第三版。（二）教学参考书[1]徐绪海，朱方生编著，刚性微分方程的数值方法，武汉：武汉大学出版社,1997年