云南省宾川县第四高级中学2023年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等比数列满足，，则的最大值为A．32 B．128 C．64 D．2562．若曲线在处的切线，也是的切线，则（）A． B．1 C．2 D．3．已知，则的最小值是A． B． C． D．4．若集合，，则()A． B．C． D．5．命题若，则，是的逆命题，则（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假6．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（）A．40 B．28 C．24 D．167．已知等比数列{an}中，，，则（）A．±2 B．－2 C．2 D．48．曲线和直线所围成图形的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．109．已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．10．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．11．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是（）A． B． C． D．12．不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）14．一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．15．已知，，则的值为_______________.16．已知函数，若，则实数的取值范围__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点．（1）证明：CE∥面PAD.（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．19．（12分）已知函数，是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点作曲线的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的最小值.20．（12分）为了了解学生的身体素质情况，现从某校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示，根据有关国家标准成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率.（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；（Ⅱ）从抽取的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列和数学期望.21．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示单位：，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高，此车是否能通过隧道？并说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先求出通项公式公式，再根据指数幂的运算性质和等差数列的求和公式，可得，令，根据复合函数的单调性即可求出．【详解】由，，可得，解得，，，，令，当或时，有最小值，即，的最大值为，故选C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式等差数列的求和公式，指数幂的运算性质和复合函数的单调性，属于中档题2、C【解析】

求出的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为（m，n），得的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．【详解】函数的导数为y＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1，则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x；函数的导数为y＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故选A．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．3、B【解析】

将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．【详解】因为，又，所以，当且仅当时取，故选B．【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．4、A【解析】分析：求出及，即可得到.详解：则.故选C.点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.5、C【解析】由题意，，所以，得，所以命题为假命题，又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.6、B【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.详解：分两种情况讨论，一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.7、C【解析】

根据等比数列性质得，，再根据等比数列性质求得.【详解】因为等比数列中，，所以，即以，因此=，因为，同号，所以选C.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.8、C【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线和直线的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线和直线所围成图形的面积是.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.9、A【解析】

先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小10、C【解析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11、D【解析】

根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．【详解】解：根据，，代入计算，可以排除；根据，，代入计算，可以排除、；将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意故选：．【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．12、C【解析】

原不等式可转化为，等同于，解得或故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性.14、【解析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为：ξ691215PE(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.15、【解析】

由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．【详解】由，即，则，又由，所以，又由．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16、【解析】

设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】设，因为，所以函数是奇函数，其函数的图像为函数在R上单调递增，由题得，所以,所以,所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）4【解析】

换元法，先换元再解不等式。令换元后参变分离，求最值。【详解】解：（1）设，则，∴，即，解得或，即或，∴或.∴的解集为.（2），令，则（当且仅当时，等号成立）．又，故可化为，即，又，（当且仅当，即时等号成立）．∴，即的最大值为4.【点睛】本题考查换元法、不等式、函数的恒成立问题，属于中档题。18、（1）见解析（2）【解析】

（1）取PA中点Q，连接QD，QE，可证四边形CDQE为平行四边形，从而CE∥QD，于是证得线面平行；（2）连接BD，取BD中点O，连接EO，CO，可证EO∥PD，从而得到直线CE与底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最终可得棱锥体积．【详解】解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE，则QE∥AB，且QE=AB∴QE∥CD，且QE=CD.即四边形CDQE为平行四边形，CE∥QD.又∵CE平面PAD，QD平面PAD，∴CE∥平面PAD.(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO则EO∥PD，且EO=PD.∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.则CO为CE在平面ABCD上的射影，即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=2PD=2E0=2，∴∴∴四棱锥P-ABCD的体积为.解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE则QE∥PA∵PA平面PAD，QE平面PAD∴QE∥平面PAD，又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，∴四边形AQCDカ平行四迹形，则CQ∥DA∵DA平面PAD，CQ平面PAD，∴CQ∥平面PAD，(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，∴平面CEQ∥平面PAD，又CE平面CQ，∴CE∥平面PAD.(2)同解法一.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积，考查直线与平面所成的角．涉及到直线与平面所成的角，必须先证垂直（或射影），然后才有直线与平面所成的角．19、（Ⅰ）即；（Ⅱ）0.【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，写出点斜式方程，把原点的坐标代入切线方程，可求出切点坐标，进而求出切线方程；（Ⅱ）不等式恒成立，可以转化为恒成立，构造新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，得到，再构造一个新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，由的单调性，可以求出的最小值.【详解】（I）设切点为，因为，所以，所以，得，因为，所以，故l的方程为即.（II）不等式恒成立，即恒成立，记，则，当时，令，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，则，记，则，令，得，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，则，得的最小值为，所以的最小值为1，因为是增函数，所以的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.20、（1）（2）的分布列见解析,期望【解析】试题分析：(1)由题意结合对立事件的概率公式可得至少有1人成绩是“优秀”的概率是；(2)的取值可能为0,1,2,3，结合超几何分布的概率公式可得函数的分布列，然后可求得X的数学期望为.试题解析：(1)由茎叶图知,抽取的10人中成绩是“优秀”的有6人，频率为，依题意,从我校学生中任选1人，成绩是“优秀”的概率为，记事件表示“在我校学生中任选3人，至少1人成绩是优良”,则(2)由题意可得，的取值可能为0,1,2,3,,,0123,∴的分布列为：期望点睛：(1)求解本题的关键在于：①从茎叶图中准确提取信息；②明确随机变量X服从超几何分布．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布