2023年人教版八年级上册数学考点预习：专题07 三角形的相关线段原卷+解析版

专题07三角形的相关线段新知预习（一）三角形的定义（1）不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。（2）组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。（3）三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.（二）三角形的三边关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

（三）三角形的相关线段（重点在于性质）（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（等积法、互余等量代换）（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（中线平分面积）（3）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（角度相等）（四）三角形的稳定性新知训练考点1：三角形的定义理解典例1：（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示．【变式1】（2020秋·八年级课时练习）如图所示，图中有____________个三角形；其中以AB为边的三角形有____________；含∠ACB的三角形有____________；在△BOC中，∠OCB的对角是____________，∠OCB的对边是____________．【变式2】（2022·全国·七年级假期作业）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是__________；在△ACD中∠C所对的边是__________；在△ABD中边AD所对的角是__________；在△ACD中边AD所对的角是__________．【变式3】（八年级单元测试）如图，∠A的对边是_________；∠B的对边是_______；边AC的对角是___________；边BD的对角是____________.考点2：三角形的个数问题典例2：（2022秋·全国·八年级专题练习）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有___________对．【变式1】（2022秋·湖南湘西·八年级校联考阶段练习）如图中三角形的个数共有_____个．【变式2】（八年级课时练习）如图，图1中共有3个三角形，图2中共有6个三角形，图3中共有10个三角形，…，以此类推，则图6中共有__________个三角形．【变式3】（2022秋·四川广元·八年级统考期中）如图，以点A为顶点的三角形有_____个，它们分别是_____．考点3：三角形的三边关系典例3：（2023春·全国·七年级专题练习）有4条线段的长度分别是4cm、7cm【变式1】（2022春·四川成都·七年级统考期末）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．【变式2】（2021秋·甘肃武威·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a−b−c|+|b−c−a|+|a+b−c|=________．【变式3】（陕西西安·七年级西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知a、b、c为ΔABC的三边长，且a、b满足a−2+b2−14b+49=0，考点4：求解第三边的取值范围典例4：（2023春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考阶段练习）在△ABC中，如果AB=5,BC=8，那么______<AC<______【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简a−2−【变式2】（2022秋·八年级课时练习）在△ABC中，若AB=4，BC=5，则△ABC的周长l的取值范围是___________．【变式3】（2021秋·安徽合肥·八年级统考阶段练习）如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，点B、F、C、E在一条直线上，AB＝4，EF＝6，求△ABC中AC边的取值范围．考点5：三角形三边关系的应用典例5：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>________，①PD+CD>________．②将不等式①，②的左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>________，③不等式③两边都减PD，得AB+AC>PB+PC．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）一个三角形三条边长分别为x，x+1,x+2，它的周长不超过39，则x的取值范围是_________．【变式2】（2021秋·河南周口·八年级统考期中）点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小：PB+PC______AB+AC（填＞，＝，＜）．【变式3】（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）已知△ABC的三边长a、b、c均是整数，且满足(a−3)2+|b−4|=0，则考点6：画三角形的高典例6：（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD=CD，∠BAE=∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．以AD为中线的三角形是_____；以AE为角平分线的三角形是_____；以AF【变式1】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图所示，△ABC中，AC边上的高线是线段___________．【变式2】（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面结论：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的AD边上的中线；③CH是△ACD的AD边上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．其中正确的有______（填序号）【变式3】（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，AD⊥BC，那么以AD为高的三角形有___________个．考点7：与三角形的高线有关的计算问题典例7：（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图已知，在△ABC中，AE⊥BC，BE=3，BE:CE=1:2，D为BC边上一点，BD=5，若S△ADE=4，则【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是______．【变式2】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，BC=12cm，则BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，则∠DAC=______；（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形．【变式3】（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为_____．考点8：与三角形中线有关的计算问题典例8：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则【变式1】（2023春·北京西城·七年级北京市第十三中学校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，且AB=5cm，AC=3cm，则△ABD和△ACD的周长之差为_________，△ABD和【变式2】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是BC,AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF，若S△BCF=2cm【变式3】（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2考点9：与三角形角平分线有关的计算问题典例9：（2020秋·贵州黔西·八年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，则∠CBE+∠BCE=______°.【变式1】（八年级统考假期作业）如图，ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，CD是中线，CE平分∠ACB，则DB＝_____，∠ACE＝______．【变式2】（2020秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是_____________【变式3】（2020春·江苏南通·七年级统考期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．考点10：三角形的稳定性典例10：（2023春·七年级课时练习）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______．【变式1】（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是________．【变式2】（2022秋·新疆阿克苏·八年级统考期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________．【变式3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图所示，建筑工人吊钢材时，为防止钢材坠落，通常会在钢材的两个不同位置拴上吊绳，然后再起吊，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？___________．新知检测一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市周南梅溪湖中学校考阶段练习）已知钝角三角形ABC，画BC边上的高，正确的画法是（）A． B．C． D．2．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．533．（2022秋·湖北鄂州·八年级阶段练习）△ABC的三条线高所在的直线相交于一点H，则点H在（）A．△ABC内部 B．△ABC边上C．△ABC的外部 D．以上都有可能4．（2023秋·安徽安庆·八年级校联考期末）一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，则这样的三角形周长的最大值是（

）A．12 B．13 C．14 D．155．（2023秋·北京·八年级统考期中）若三角形的周长为18，且三边长都是整数，则满足条件的三角形有（

）个．A．6 B．7 C．8 D．96．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图,AD、BE、CF是△ABC三边的中线，若S△ABC=12，则图中的阴影部分的面积是(

)A．3 B．4 C．5 D．67．（2023春·七年级课时练习）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（

）A．3 B．185 C．928．（2023秋·广东肇庆·八年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（

）A．7cm、5cm、11cm B．4cm、3cm、7cm C．5cm、10cm、4cm D．2cm、3cm、1cm9．（2023春·七年级课时练习）如图，下列说法不正确的是（

）A．直线m，n相交于点P B．PA+PB>QA+QBC．PA+PB<QA+QB D．直线m不经过点Q10．（2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（）A．三角形的中线 B．三角形的高线 C．三角形的角平分线 D．三角形一边的垂线11．（2023·重庆·模拟预测）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（

）A．BC=2CD B．∠BAE=C．∠AFB=90° D．AE=CE12．（2022·全国·八年级统考假期作业）下列三条线段不能组成三角形的是()A．a＝b＝m，c＝2mB．a＝8，b＝10，c＝5C．a:b:c＝5:13:12D．a＝n＋1，b＝n＋2，c＝n＋313．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）已知等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，则它的周长等于（）A．9cm B．13cmC．14cm D．13cm或14cm14．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知一个三角形的两边分别为2和7，则这个三角形的第三边可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．1015．（2022·湖北随州·中考真题）如图，在ΔABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设ΔABC，ΔADF，ΔBEF的面积分别为SΔABC，SΔA．1 B．2 C．3 D．4二、填空题16．（2022秋·浙江台州·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，若AB：AC＝3：4，则S△ABD：S△ACD＝_____．17．（2023春·七年级单元测试）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的_________性．

18．（2022春·七年级统考课时练习）如果一个三角形两边长为2cm，7cm，且三角形的第三边为偶数，则三角形的周长是________cm．19．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则20．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________．21．（2023春·七年级单元测试）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是______．22．（2022秋·八年级课时练习）小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：①分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K，使K和B在AC的两侧；⑤所以BH就是所求作的高．正确的作图顺序应该是____________.23．（2022春·重庆·七年级重庆一中校考期中）如图，CD是△ABC的中线，延长CD至点E，使CE=54CD．连接AE并延长，交CB的延长线于点F，已知四边形BDEF24．（2022秋·山东滨州·九年级统考阶段练习）如图，在ΔABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，AE与BD相交于点F，设ΔABC、ΔADF、ΔBEF的面积分别为SΔABC、SΔADF、SΔBEF，且S25．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）如图，△ABC的面积为10，D，E分别是AC，AB上的点，且AD=CD,AE:BE=2:1．连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H．则四边形BEFH的面积为_________．三、解答题26．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2,BC=4．△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式．）27．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：规格12345678价格/（元/根）1015202530354045小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为2m和7(1)有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？(2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？28．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：A(0,1),B(2,0),C(4,3)(1)在如图坐标纸中描出各点，画出△ABC并求出它的面积；(2)设点P在x轴上，且△ABP的面积为4，求出点P的坐标．29．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．30．（2022秋·九年级课时练习）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）求△ABC的面积（2）求CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．32．（2020秋·八年级课时练习）如图,网格小正方形的边长都为1,在△ABC中,试分别画出三条边上的中线,然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系,你发现了什么有趣的结论?33．（2023春·福建福州·七年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，将点A−1,0向右平移4个单位得到点B，将线段AB向上平移m个单位，再向右平移1个单位得到线段CD（点A与点D对应，点B与点C对应），且四边形ABCD(1)求点B，C的坐标；(2)连接AC与y轴交于点E，求DEOE(3)若点P从O点出发，以每秒t个单位的速度向上平移运动，同时点Q从B点出发，以每秒2t个单位的速度向左平移运动，当点P到达点D后停止运动，若射线CQ交y轴于点F，设△CFP与△OFQ的面积差为S，问：S是否定值？如果S是定值，请求出它的值：如果S不是定值，请说明理由．34．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则(2)若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是(3)若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则△OA35．（2023秋·湖北宜昌·七年级校联考期末）已知点A、O、B在一条直线上,将射线OC绕O点顺时针方向旋转90°后,得到射线OD,在旋转过程中,射线OC始终在直线AB上方,且OE平分∠AOD．约定,无论∠AOD大小如何,OE都看作是由OA、OD两边形成的最小角的平分线.(1)如图,当∠AOC=30°时,∠BOD=_________°；(2)若射线OF平分∠BOC,求∠EOF的度数.专题07三角形的相关线段新知预习（一）三角形的定义（1）不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。（2）组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。（3）三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.（二）三角形的三边关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b

（三）三角形的相关线段（重点在于性质）（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.（等积法、互余等量代换）（2）中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（中线平分面积）（3）角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（角度相等）（四）三角形的稳定性新知训练考点1：三角形的定义理解典例1：（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________，读作___________．其中，顶点A所对的边为___________还可用___________表示；顶点B所对的边为___________还可用___________表示；顶点C所对的边为___________还可用___________表示．【答案】△ABC三角形ABCBCaACbABc【分析】根据三角形的概念进行求解即可．【详解】解：如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC．其中，顶点A所对的边为BC还可用a表示；顶点B所对的边为AC还可用b表示；顶点C所对的边为AB还可用c表示．故答案为：△ABC；三角形ABC；BC；a；AC；b；AB；c．【点睛】本题主要考查了三角形的概念，解题的关键在于能够熟记概念．【变式1】（2020秋·八年级课时练习）如图所示，图中有____________个三角形；其中以AB为边的三角形有____________；含∠ACB的三角形有____________；在△BOC中，∠OCB的对角是____________，∠OCB的对边是____________．【答案】8△ABO,△ABC,△ABD△BOC,△ABC∠OBCOB【分析】根据三角形的定义和角的定义判断即可；【详解】由题可得，图中的三角形有△AOD，△AOB，△BOC，△DOC，△BAD，△ABC，△BCD，△ADC，共8个；以AB为边三角形有△ABO,△ABC,△ABD；含∠ACB的三角形有△BOC,△ABC；在△BOC中，∠OCB的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB；故答案是：8；△ABO,△ABC,△ABD；△BOC,△ABC；OB；【点睛】本题主要考查了三角形的概念应用，准确理解是解题的关键．【变式2】（2022·全国·七年级假期作业）如图，点D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是__________；在△ACD中∠C所对的边是__________；在△ABD中边AD所对的角是__________；在△ACD中边AD所对的角是__________．【答案】ABAD∠B∠C【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．【详解】在△ABC中∠C所对的边是AB；在△ACD中∠C所对的边是AD；在△ABD中边AD所对的角是∠B；在△ACD中边AD所对的角是∠C；故答案为：AB；AD；∠B；∠C．【点睛】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．【变式3】（八年级单元测试）如图，∠A的对边是_________；∠B的对边是_______；边AC的对角是___________；边BD的对角是____________.【答案】OC；OD；∠AOC；∠BOD.【分析】根据组成三角形的线段叫做三角形的边可得∠A、∠B的对边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角可得边AC、BD所对的角．【详解】∵∠A、∠B分别在△AOC和△BOD中，∴∠A、∠B所对的边分别是OC，OD∵边AC、边BD分别在△AOC和△BOD中，∴边AC的对角是∠AOC；边BD的对角是∠BOD.故答案是：OC，OD，∠AOC，∠BOD.【点睛】考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念．考点2：三角形的个数问题典例2：（2022秋·全国·八年级专题练习）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有___________对．【答案】3【分析】找到以BC为边的三角形，即可得解．【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共3对．故答案为：3．【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键．【变式1】（2022秋·湖南湘西·八年级校联考阶段练习）如图中三角形的个数共有_____个．【答案】6【分析】根据三角形的定义进行求解即可．【详解】解：由题意得，图中的三角形有△ABD，∴一共有6个三角形，故答案为；6．【点睛】本题主要考查了三角形的个数，熟知三角形的定义是解题的关键．【变式2】（八年级课时练习）如图，图1中共有3个三角形，图2中共有6个三角形，图3中共有10个三角形，…，以此类推，则图6中共有__________个三角形．【答案】28【详解】解:由已知通过观察得:图1有:1+11+2图2有:2+12+2图3有:3+13+2所以图6中共有:6+16+2故答案为28.【变式3】（2022秋·四川广元·八年级统考期中）如图，以点A为顶点的三角形有_____个，它们分别是_____．【答案】4△ABC，△ADC，△ABE，△ADE【分析】根据三角形的定义得出答案即可．【详解】解：以点A为顶点的三角形有4个，它们分别是ΔABC，ΔADC，ΔABE故答案为：4，ΔABC，ΔADC，ΔABE【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．考点3：三角形的三边关系典例3：（2023春·全国·七年级专题练习）有4条线段的长度分别是4cm、7cm【答案】3【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案．【详解】解：（1）当取4cm、7cm、8cm三条线段时，∵4+7（2）当取4cm、7cm、11cm（3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时，∵4+8（4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时，∵7+8综上所述，可作3个不同的三角形．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键．【变式1】（2022春·四川成都·七年级统考期末）三角形的三边长分别是2，5，m，则|m﹣3|＋|m﹣7|等于___．【答案】4【分析】根据构成三角形的条件可得出m的取值范围，再根据m的取值范围化简绝对值即可求解．【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴|m﹣3|+|m﹣7|＝m﹣3+7﹣m＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了构成三角形的条件及化简绝对值，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键．【变式2】（2021秋·甘肃武威·八年级校考阶段练习）若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a−b−c|+|b−c−a|+|a+b−c|=________．【答案】a+b+c【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】∵a，b，c是ΔABC的三边，∴a<b+c，b<c+a，c<a+b，∴a−b−c<0，b−c−a<0，a+b−c>0，∴a−b−c=b+c−a+c+a−b+a+b−c=a+b+c．故答案为：a+b+c．【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．【变式3】（陕西西安·七年级西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知a、b、c为ΔABC的三边长，且a、b满足a−2+b2−14b+49=0，【答案】16【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．【详解】∵a−2+∴a−2+（b-7）2=0，∴a=2，b=7，∵a、b、c为三角形的三边，∴5＜c＜9，∵第三边c为奇数，∴c=7，∴a+b+c=2+7+7=16.故答案为16．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及非负数的性质，解题的关键是求出a和b的值，此题难度不大．考点4：求解第三边的取值范围典例4：（2023春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考阶段练习）在△ABC中，如果AB=5,BC=8，那么______<AC<______【答案】313【分析】根据三角形三条边的关系求解即可．【详解】∵AB=5,BC=8，∴8−5<AC<8+5，∴3<AC<13．故答案为：3，13．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简a−2−【答案】7−a/−a+7【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．【详解】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，∴5−3<a<5+3，解得：2<a<8，故a−2−=a−2−=a−2−a+1−a+8=7−a．故答案为：7−a．【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算的应用，三角形的三边关系的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）在△ABC中，若AB=4，BC=5，则△ABC的周长l的取值范围是___________．【答案】10<l<18【分析】根据三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边解答即可．【详解】解：∵△ABC中，AB=4，BC=5，∴5-4＜AC＜5+4，即1＜AC＜9，∴10<l<18故答案为：10<l<18．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式3】（2021秋·安徽合肥·八年级统考阶段练习）如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，点B、F、C、E在一条直线上，AB＝4，EF＝6，求△ABC中AC边的取值范围．【答案】2＜AC＜10【分析】由BF＝CE得到BC=EF=6，再根据三角形三边关系求解即可．【详解】解：∵BF=CE，点B、F、C、E在一条直线上，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF=6，∵AB＝4，∴6－4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，∴AC边的取值范围为2＜AC＜10．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．考点5：三角形三边关系的应用典例5：（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>________，①PD+CD>________．②将不等式①，②的左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>________，③不等式③两边都减PD，得AB+AC>PB+PC．【答案】BD/DBPC/CPBD+PC【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答即可．【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>BD，PD+CD>PC．将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD>BD+PC，即AB+AC>PB+PC．故答案是：BD；PC；BD+PC．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）一个三角形三条边长分别为x，x+1,x+2，它的周长不超过39，则x的取值范围是_________．【答案】1<x≤12【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵一个三角形的3边长分别是x，x+1,x+2，它的周长不超过39，∴x+x+1解得1<x≤12．故答案为：1<x≤12．【点睛】本题主要考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．【变式2】（2021秋·河南周口·八年级统考期中）点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小：PB+PC______AB+AC（填＞，＝，＜）．【答案】＜【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，两式相加即可得：AB+AC＞PB+PC．【详解】解：如图，延长BP交AC于点D．在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC，即PB+PC＜AB+AC．故答案为：＜．【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是作辅助线，将所求线段联系起来．【变式3】（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）已知△ABC的三边长a、b、c均是整数，且满足(a−3)2+|b−4|=0，则【答案】13【分析】根据非负数的和是0，可以得到两个数一定都是0，就可以求得两边的长．进而根据三边关系定理就可确定第三边，从而求得周长．【详解】解：由(a−3)2+|b−4|=0知，(a−3)=0，|b−4|=0，∴a=3，b=4．∴三角形第三边要满足不大于3+4=7，只能为6．∴△ABC周长的最大值是3+4+6=13，故答案为13．【点睛】本题考查非负数性质与三角形三边关系的综合应用，熟练掌握非负数的性质和三角形中两边之和大于第三边的性质是解题关键．考点6：画三角形的高典例6：（2022秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD=CD，∠BAE=∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．以AD为中线的三角形是_____；以AE为角平分线的三角形是_____；以AF【答案】△ABC△ABD10【分析】根据三角形直线的定义得出以AD为中线的三角形是△ABC，根据三角形角平分线的定义得出以AE为角平分线的三角形是△ABD，根据三角形高的定义数出三角形的个数即可求解．【详解】解：∵BD=CD，∴以AD为中线的三角形是△ABC；∵∠∴以AE为角平分线的三角形是△ABD；∵AF⊥BC，∴以AF为高线的三角形有△ABE、△ABD、△ABF、△ABC、△AED、△AEF、△AEC、△ADF、△ADC、△AFC，共10个，故答案为：△ABC；△ABD；10．【点睛】本题考查了三角形中线的定义，三角形角平分线的定义，三角形高的定义，掌握以上知识是解题的关键．【变式1】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图所示，△ABC中，AC边上的高线是线段___________．【答案】BH/HB【分析】根据三角形中高线的概念即可作答．【详解】由题意可得：△ABC中，AC边上的高是BH，故答案为：BH．【点睛】本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．【变式2】（2023春·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面结论：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的AD边上的中线；③CH是△ACD的AD边上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．其中正确的有______（填序号）【答案】③④/④③【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角平分线和对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高．【详解】解：对于①，由∠BAD=∠CAD，可知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，由三角形角平分线的概念，故①错误；对于②，BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，由三角形中线的概念，故②错误；对于③，由于CH⊥AD于H，由三角形高线的概念可知CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；对于④，由AH平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是△ACF的角平分线；又因为AH⊥CF，所以AH也是△ACF的高，故④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查三角形的角平分线、三角形的高、三角形的中线的概念，需要注意三角形的角平分线、中线以及高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段，解题的关键在于对概念的准确理解．【变式3】（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，AD⊥BC，那么以AD为高的三角形有___________个．【答案】6【分析】根据三角形高的定义进行求解即可．【详解】解：∵AD⊥BC，∴AD是△ACE，故答案为：6【点睛】本题主要考查三角形高的定义，熟知三角形高的定义是解题的关键．考点7：与三角形的高线有关的计算问题典例7：（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图已知，在△ABC中，AE⊥BC，BE=3，BE:CE=1:2，D为BC边上一点，BD=5，若S△ADE=4，则【答案】8【分析】根据题意得出DC=4,ED=2，根据三角形面积公式进行计算即可得出S△ADC【详解】解：∵BE=3，BD=5，∴ED=BD−BE=5−3=2，∵BE:CE=1:2，∴CE=2BE=6，∴DC=EC−ED=6−2=4,∵AE⊥BC，则S∴S∵S△ADE∴S△ADC=故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形高的定义，三角形面积公式，掌握三角形高的定义是解题的关键．【变式1】（2023春·七年级单元测试）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是______．【答案】24【分析】根据垂线段最短，得到当PC⊥AB时，PC的值最小，利用等积法进行计算即可。【详解】∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当PC⊥AB时，PC的值最小，在Rt△ABC∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，∴12AB⋅PC=1∴PC=24故答案为245【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．【变式2】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，（1）若AM是△ABC的中线，BC=12cm，则BM=CM=______cm；（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC=______；若∠BAC=106°，则∠DAC=______；（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是______三角形．【答案】612∠BAC【分析】（1）根据三角形的中线是三角形的一个顶点与它对边的中点所连的线段求解即可；（2）根据三角形的角平分线平分它对应的内角求解即可；（3）根据三角形的高线定义得到∠AHB=90°，再根据直角三角形的定义即可判断；【详解】解：（1）∵AM是△ABC的中线，BC=12cm，∴BM=CM=12BC=6cm故答案为：6；（2）∵若AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC∵∠BAC=106°，∴∠DAC=53°，故答案为：12∠BAC（3）∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∴△AHB直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查三角形的角平分线、中线和高线，熟知三角形的角平分线、中线和高线的定义是解答的关键．【变式3】（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）若AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，则∠BAC的度数为_____．【答案】90°或50°【分析】分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．【详解】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°，综上所述，∠BAC的度数为90°或50°．故答案为：90°或50°．【点睛】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．考点8：与三角形中线有关的计算问题典例8：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则【答案】13【分析】由AD是△ABC的中线得到BD=DC，由△ABD的周长为16cm得AB+AD+DC=16cm，再由AB比AC长3cm【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵△ABD的周长为16cm∴AB+AD+BD=16cm∴AB+AD+DC=16cm∵AB比AC长3cm∴AB=AC+3cm∴AC+3cm∴AC+AD+DC=13cm∴△ACD的周长=AC+AD+DC=13cm故答案为：13【点睛】此题考查了三角形中线的定义和三角形的周长，熟练掌握三角形的中线平分边长是解题的关键．【变式1】（2023春·北京西城·七年级北京市第十三中学校考阶段练习）如图，已知AD是△ABC的中线，且AB=5cm，AC=3cm，则△ABD和△ACD的周长之差为_________，△ABD和【答案】2cm【分析】根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD与△ACD的周长之差=AB−AC．面积之差等于0．【详解】解：∵AD为中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差=AB+AD+BD∵AB=5cm，AC=3∴△ABD与△ACD的周长之差=5−3=2cm又S∴S△ABD−S△ACD=0，即故答案为：2cm：0cm【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．【变式2】（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D，E分别是BC,AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF，若S△BCF=2cm【答案】12【分析】根据三角形的面积公式，利用EF=2BF得到SΔCEF=2SΔBCF=4，进而得到SΔBCE=6，再利用D是BC的中点，可得S△BDE【详解】解：∵EF=2BF，S∴SΔ∴SΔ∵D是BC的中点，∴S△BDE=1∵点E是AD的中点，∴SΔ∴S△ABC故答案为：12．【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SΔ【变式3】（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2【答案】1【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．【详解】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=∴S∴S∵点F是CE的中点，∴S故答案为：1．【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．考点9：与三角形角平分线有关的计算问题典例9：（2020秋·贵州黔西·八年级校考阶段练习）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，则∠CBE+∠BCE=______°.【答案】90【分析】先根据平行线性质得出∠ABC+∠DCB=180°，再根据角平分线定义进行求解即可.【详解】∵AB∥CD∴∠ABC+∠DCB=180°∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD∴∠ABE=∠CBE,∠DCE=∠BCE∴∠CBE+∠BCE=故填：90.【点睛】本题考查平行线性质和角平分线定义，熟练掌握性质是关键.【变式1】（八年级统考假期作业）如图，ΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，CD是中线，CE平分∠ACB，则DB＝_____，∠ACE＝______．【答案】2.5cm，45°.【分析】根据三角形的中线的定义和角平分线的定义解答．【详解】解：∵CD为中线，∴BD＝12AB＝1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝1故答案为2.5；45°【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的角平分线的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．【变式2】（2020秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是_____________【答案】∠O+∠I=180°【分析】根据交平分线性质，可推出∠OBI=∠OCI=90°，然后在四边形OBIC中，利用内角和可得出∠O与∠I的数量关系.【详解】∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=12∵BI平分∠CBD，∴∠CBI=1∴∠即∠OBI=90°同理可得∠OCI=90°，在四边形OBIC中，∠∴∠O+∠I=180°【点睛】本题考查角平分线和四边形内角和，熟练掌握内角和是解题的关键.【变式3】（2020春·江苏南通·七年级统考期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____．【答案】20°或60°．【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．【详解】如图所示，当∠BFD=90°时，∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；如图，当∠BDF=90°时，同理可得∠BAD=30°．∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，∴∠BFD=∠BCE=50°，∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．故答案为：20°或60°．【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键考点10：三角形的稳定性典例10：（2023春·七年级课时练习）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：______．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性即可求解．【详解】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．【变式1】（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是________．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．【变式2】（2022秋·新疆阿克苏·八年级统考期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________．【答案】三角形的稳定性【分析】根据三角形的的稳定性，可以达到保持门框的稳定性．【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性．故填：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．【变式3】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图所示，建筑工人吊钢材时，为防止钢材坠落，通常会在钢材的两个不同位置拴上吊绳，然后再起吊，你能用所学的数学知识解释其中的道理吗？___________．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【详解】解：其中的道理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．新知检测一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市周南梅溪湖中学校考阶段练习）已知钝角三角形ABC，画BC边上的高，正确的画法是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角形高线的画法可直接进行排除选项．【详解】画BC边上的高，正确的画法为故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的高线，熟练掌握三角形的高线是解题的关键．2．（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则xA．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，可得{x+(3x−3)>x+2∴{x>∴53故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系和解不等式组，根据条件列出不等式组求解是解题的关键．3．（2022秋·湖北鄂州·八年级阶段练习）△ABC的三条线高所在的直线相交于一点H，则点H在（）A．△ABC内部 B．△ABC边上C．△ABC的外部 D．以上都有可能【答案】D【详解】试题分析：根据三角形的高的定义可知，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．解：如果△ABC的三条高线所在的直线相交于一点H，则点H可以在△ABC内部，可以在△ABC的边上，还可以在△ABC的外部．故选D．考点：三角形的角平分线、中线和高．4．（2023秋·安徽安庆·八年级校联考期末）一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，则这样的三角形周长的最大值是（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】本题要先确定三角形的第三条边的长度，根据三角形的三边关系的定理可以确定．【详解】设第三边的长为x，则.4-3＜x＜4+3，.所以1＜x＜7．.又x为整数，.所以x可取2，3，4，5，6．.所以这个三角形的周长的最大值为13．.故选B．【点睛】考查了三角形的三边关系．5．（2023秋·北京·八年级统考期中）若三角形的周长为18，且三边长都是整数，则满足条件的三角形有（

）个．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】试题解析：∵三角形周长为18，∴三角形最长边的取值范围6≤最长边<9，又∵三边长都是整数，∴这样的三角形有8、8、2，8、7、3，8、6、4，8、5、5，7、7、4，7、6、5，6、6、6．故选B.6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图,AD、BE、CF是△ABC三边的中线，若S△ABC=12，则图中的阴影部分的面积是(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先根据三角形中线的定义可得S△BCF=12S△ABC=6，S△BCE=12S△ABC=6，S△ABD【详解】解：∵CF是△ABC三边的中线，且S△ABC∴S同理可得：S△BCE=1S△BDG=S设S△AFG=S∴S△BDG=∵S∴a+a+3−1解得a=2，则图中的阴影部分的面积是S△BFG故选：B．【点睛】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线与三角形面积的关系是解题关键．7．（2023春·七年级课时练习）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（

）A．3 B．185 C．92【答案】A【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【详解】解：∵S△ABC∴S△ABC∵AE=CE=12AC，S∴S△AEB∴S△AEF同理，∵BD=2CD，BD+CD=∴BD=23∴S△ABD∴S△BDF由①-②得：S△BDF故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．8．（2023秋·广东肇庆·八年级校考阶段练习）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（

）A．7cm、5cm、11cm B．4cm、3cm、7cm C．5cm、10cm、4cm D．2cm、3cm、1cm【答案】A【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：①∵7+5>11，∴能围成三角形，②∵3+4=7，∴不能围成三角形，③∵4+5<10，∴不能围成三角形，④∵1+2=3，∴不能围成三角形．能围成三角形的是①，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2023春·七年级课时练习）如图，下列说法不正确的是（

）A．直线m，n相交于点P B．PA+PB>QA+QBC．PA+PB<QA+QB D．直线m不经过点Q【答案】B【分析】根据三角形的三边关系，结合图形判断即可．【详解】解：A.直线m，n相交于点P，本选项说法正确，不符合题意；B.在△ABQ中，AB<QA+QB，故PA+PB<QA+QB，本选项说法不正确，符合题意；C.在△ABQ中，AB<QA+QB，故PA+PB<QA+QB，本选项说法正确，不符合题意；D.直线m不经过点Q，本选项说法正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系、三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边．10．（2023秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（）A．三角形的中线 B．三角形的高线 C．三角形的角平分线 D．三角形一边的垂线【答案】A【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【详解】∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，∴分成的两三角形的面积相等．故选A．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟知三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键.11．（2023·重庆·模拟预测）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（

）A．BC=2CD B．∠BAE=C．∠AFB=90° D．AE=CE【答案】D【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．12．（2022·全国·八年级统考假期作业）下列三条线段不能组成三角形的是()A．a＝b＝m，c＝2mB．a＝8，b＝10，c＝5C．a:b:c＝5:13:12D．a＝n＋1，b＝n＋2，c＝n＋3【答案】A【分析】根据三角形的三边关系定理，只要两条交短的边的和大于最大的边即可构成三角形．【详解】解：A、因为a+b=2m，不大于c，所以不能组成三角形．B、5+8＞10，故能构成三角形；C、5+12＞13，故能构成三角形；D、a+b=n+1+n+2=2n+3＞n+3，故能构成三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要说明三条线段不能组成三角形，只须说明其中某两条线段的和不大于第三条线段，不必检查任意两线段的和是否大于第三条线段．13．（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）已知等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，则它的周长等于（）A．9cm B．13cmC．14cm D．13cm或14cm【答案】C【分析】因为等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，可得其周长.【详解】解：∵等腰三角形的腰和底边长分别为5cm和4cm，∴它的周长＝5+5+4＝14cm，故选：C．【点睛】本题的考点是等腰三角形的性质和三角形三边关系.方法是先定一条边为底，再让另一条为等腰三角形的腰进行计算.14．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知一个三角形的两边分别为2和7，则这个三角形的第三边可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】C【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．【详解】设第三边为x，则7−2＜x＜故答案为：C．【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．15．（2022·湖北随州·中考真题）如图，在ΔABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设ΔABC，ΔADF，ΔBEF的面积分别为SΔABC，SΔA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题需先分别求出SΔABD，SΔ【详解】解：∵SEC=2BE，点D是AC的中点，∴SSΔ∴S=S=6−4，=2．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算，解题的关键是在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．二、填空题16．（2022秋·浙江台州·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，若AB：AC＝3：4，则S△ABD：S△ACD＝_____．【答案】1：1．【分析】根据中线的定义得到DB=CD，然后根据等底等高的三角形的面积相等即可得到S△ABD=S△ACD．【详解】解：在△ABC中，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，∴S△ABD：S△ACD=1：1．故答案为1：1．【点睛】本题考查三角形中线的定义与性质，熟练掌握中线的性质是解题关键．17．（2023春·七年级单元测试）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的_________性．

【答案】稳定【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案．【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性，故答案为稳定．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大．18．（2022春·七年级统考课时练习）如果一个三角形两边长为2cm，7cm，且三角形的第三边为偶数，则三角形的周长是________cm．【答案】15或17．【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得7−2<x<7+2，再解不等式可得x的取值范围，然后再确定x的值，进而求得周长．【详解】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得：7−2<x<7+2即5<x<9∵三角形的第三边为偶数∴x1当x=6时，三角形周长为：2+7+6=15cm当x=8时，三角形周长为：2+7+8=17cm故答案为：15或17．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．19．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC=12，则【答案】64【分析】由AD为BC边上的中线可得△ABD的面积是△ABC面积的一半，可知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【详解】解：∵AD为中线，∴S△ABD=12∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE=S△AGE=13S△ACF，S△BGF=S△BGD=13S△∵S△ACF=S△BCF=12S△ABC=1∴S△CGE=13S△ACF=13×6=2，S△BGF=13S△BCF∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．故答案为：6；4．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．20．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了_______，而活动挂架则用了四边形的________．【答案】三角形的稳定性

不稳定性【详解】试题解析：造房子时，屋顶常用三角形结构，从数学角度来看，是应用了三角形的稳定性，而活动挂架则用了四边形的不稳定性.故答案为三角形的稳定性，不稳定性.21．（2023春·七年级单元测试）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是______．【答案】24【分析】根据垂线段最短，得到当PC⊥AB时，PC的值最小，利用等积法进行计算即可。【详解】∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当PC⊥AB时，PC的值最小，在Rt△ABC∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10，∴12AB⋅PC=1∴PC=24故答案为245【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．22．（2022秋·八年级课时练习）小明用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：①分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K，使K和B在AC的两侧；⑤所以BH就是所求作的高．正确的作图顺序应该是____________.【答案】④③①②⑤【分析】取一点K，使K和B在AC的两侧，以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；接下来作线段DE的垂直平分线，与DE交于点H，则BH就是所求作的高，据此即可完成本题.【详解】解：分析题中作图步骤，可知用尺规作图作△ABC的边AC上的高BH，作法如下：取一点K，使K和B在AC的两侧；以B为圆心，BK的长为半径作弧，交直线AC于点D和E；分别以点D、E为圆心，大于DE的一半的长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BF，交边AC于点H；所以BH就是所求作的高，所以正确的作图顺序应该是：④③①②⑤，故答案为④③①②⑤.【点睛】本题考查的是尺规作图以及三角形高线的定义，明确用尺规作图作三角形高线的方法是解题关键.23．（2022春·重庆·七年级重庆一中校考期中）如图，CD是△ABC的中线，延长CD至点E，使CE=54CD．连接AE并延长，交CB的延长线于点F，已知四边形BDEF【答案】80【分析】由同高的三角形的面积比等于底边的面积比，同底等高的三角形面积相等，可得到各个三角形面积的关系，进而求得各三角形的面积，进而可得到答案．【详解】解：如图，连接DF，∵CE=∴DE=∴S△ADE=1∵点D为AB中点∴S△ADF=又S△ADF=∴5又∵S∴S△DEF=∴S∴S∴S△AFC【点睛】本题考查三角形中线有关面积问题，从中线或边的比求得三角形面积比是解题的关键．24．（2022秋·山东滨州·九年级统考阶段练习）如图，在ΔABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，AE与BD相交于点F，设ΔABC、ΔADF、ΔBEF的面积分别为SΔABC、SΔADF、SΔBEF，且S【答案】2【分析】根据SΔADF−SΔBEF=【详解】SΔADF−SΔBEF=SΔABD−SΔABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可.因为EC=2BE，点D是故答案是2.【点睛】本题主要考查三角形的面积计算,关键在于等量替换的应用.25．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）如图，△ABC的面积为10，D，E分别是AC，AB上的点，且AD=CD,AE:BE=2:1．连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H．则四边形BEFH的面积为_________．【答案】53/【分析】根据三角形中线的性质得出S△AFD=S△CFD，S△ABD=S△DBC，继而得出S△FBC=S△FBA，设S△AFD【详解】解：∵AD=DC，则S△AFD=S∴S△FBC设S△AFD∵AE:BE=2:1，∴S△AECS△BEC∴2S+S∴S△BCF=S，则∴BF=FD，∴S△ABC∵AF=AF,FH=FH（等底的三角形的面积比等于高的比），∴S△AFB即S2S∴S△BHF∵△ABC的面积为10，∴S=5∴四边形BEFH的面积为S△BEF故答案为：53【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．三、解答题26．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2,BC=4．△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式．）【答案】1:2【分析】利用△ABC的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：S△ABC∵AB=2,BC=4，∴4AD=2CE所以AD与CE的比是1:2．【点睛】本题考查了三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列出方程是解题的关键．27．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：规格12345678价格/（元/根）1015202530354045小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，