河北省唐山市玉田县第一中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析

河北省唐山市玉田县第一中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，则集合A∩B的真子集的个数为（）A.32个

B.

16个

C.

8个

D.7个参考答案：略2.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C略3.已知锐角△ABC外接圆的半径为2，，则△ABC周长的最大值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值．【详解】∵锐角外接圆的半径为2，，∴即，∴，又为锐角，∴，由正弦定理得，∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2cosB+24sin（B）+2，∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．故选：B．【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，正弦定理解三角形，属于中档题．4.已知等差数列{an}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{an}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（

）A.2 B.3 C.4 D.1参考答案：B【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.6.已知数列为等差数列，且，，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.下列不等式中，正确的是

①

②

③A．①③ B．①② C．②③ D．①②③参考答案：A9.在中，，．若点满足，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略10.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是（

）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为

参考答案：[-3,1]略12.在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角α的集合是．参考答案：{α|α=，n∈Z}【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】分别写出终边在x轴上的角的集合、终边在y轴上的角的集合，进而可得到终边在坐标轴上的角的集合．【解答】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+，k∈Z}，故合在一起即为{α|α=，n∈Z}故答案为：{α|α=，n∈Z}【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．13.圆心为点，且经过原点的圆的方程为

参考答案：14.已知函f（x）=，则f（f（））=．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．15.数列…的前

项和为最大？参考答案：10略16.（4分）Sn=1+2+3+…+n，则sn=

．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用分组求和法进行求解即可．解答：Sn=1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n）+（++…+）=+=，故答案为：点评：本题主要考查数列求和的计算，利用分组求和法将数列转化为等比数列和等差数列是解决本题的关键．17.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的表面积为

。参考答案：3π

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点。（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD

参考答案：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE

G为AD中点，F为BD中点，GF，

同理EH，

ABCD为矩形，ABCD，GFEH，EFGH为平行四边形

EF∥GH，又∥面PAD.

（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD为矩形，

CD⊥AD，CD⊥面PAD

又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.略19.已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（﹣1，﹣2），C（﹣3，4），求（Ⅰ）BC边上的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）△ABC的面积．参考答案：【考点】直线的一般式方程；点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）求出中点D的坐标，用两点式求出中线AD所在直线的方程，并化为一般式．（Ⅱ）求出线段BC的长度，求出直线BC的方程和点A到直线BC的距离，即可求得，∴△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得BC中点D的坐标为D（﹣2，1），∴中线AD所在直线的方程是，即

x﹣2y+4=0．（Ⅱ）∵，直线BC的方程是

，即3x+y+5=0，点A到直线BC的距离是，∴△ABC的面积是．【点评】本题考查用两点式求直线方程的方法，点到直线的距离公式的应用，求点A到直线BC的距离是解题的难点．20.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．（Ⅰ）证明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，由三角形中位线定理可得NF∥PD，，在结合已知得四边形NFCE为平行四边形，得到NE∥AC．再由PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，从而证得NE⊥PD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，则BC⊥平面PDCE．然后利用等积法把三棱锥E﹣PBC的体积转化为B﹣PEC的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且，又EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，即NE∥AC．又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，∵NE∥AC，∴NE⊥PD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PDCE．三棱锥E﹣PBC的体积=．21.已知函数，其中为实常数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当变化时，讨论关于的不等式的解集.参考答案：解（1）当时，由，得，即.

（2分）

∴不等式的解集是，

（4分）

（2）由，得，即.