内蒙古喀喇沁旗锦山蒙古族中学2022-2023学年高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点P是曲线C：x=3+cosθ，y=3+sinθ，（θA．[10，13+1] B．[2．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．3．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（）A．18B．24C．30D．364．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是（）A．除两点外的圆 B．除两点外的椭圆C．除两点外的双曲线 D．除两点外的抛物线5．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（）A． B．C． D．6．若,则()A． B． C． D．7．已知，则的值为（）A． B． C． D．8．已知函数在区间上是增函数，且.若，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增10．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A．72 B．90 C．101 D．11011．函数的最大值为（）A． B．1 C． D．12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______．14．随机变量，变量，是__________．15．已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．16．命题“”的否定为____________________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足（其中，为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？18．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．19．（12分）现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中到校所需时间的范围是,样本数据分组为.(1)求直方图中的值；(2)如果学生到校所需时间不少于1小时,则可申请在学校住宿.若该校录取1200名新生,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3)以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生,用表示所选4名学生中“到校所需时间少于40分钟”的人数,求的分布列和数学期望．20．（12分）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．21．（12分）已知函数.（1）若是的一个极值点，判断的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：.22．（10分）已知函数，.（I）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上是减函数，即在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

将曲线C的参数方程化为普通方程，可知曲线C是圆x-32+y-3【详解】曲线C表示半圆：x-32+所以PQ≤取A2，3，AQ=2+12【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。2、A【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.3、C【解析】解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是C4把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有A3而红球和蓝球恰好放在同一个盒子里有A3∴编号为红球和蓝球不放到同一个盒子里的种数是C424、D【解析】

根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.5、B【解析】

由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．【详解】由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，选项A，C不能说明糖水变得更甜，糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；选项D等价于，不成立，故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6、D【解析】

由于两个对数值均为正，故m和n一定都小于1，再利用对数换底公式，将不等式等价变形为以10为底的对数不等式，利用对数函数的单调性比较m、n的大小即可【详解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0⇔lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴lgn﹣lgm<0即lgn<lgm⇔n<m∴1＞m＞n＞0故选D．【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质，对数的运算法则及其换底公式的应用，利用图象和性质比较大小的方法7、B【解析】

直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【详解】解：因为，则.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.8、C【解析】

由，得到为偶函数，再由是上的增函数，得到是上的减函数，根据，转化为，即可求解.【详解】由题意，因为，所以为偶函数，又因为是上的增函数，所以是上的减函数，又因为，所以，所以，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9、D【解析】

根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：横坐标伸长到原来的倍得：最大值为，可知错误；最小正周期为，可知错误；时，，则不是的对称轴，可知错误；当时，，此时单调递增，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.10、B【解析】输入参数第一次循环，，满足，继续循环第二次循环，，满足，继续循环第三次循环，，满足，继续循环第四次循环，，满足，继续循环第五次循环，，满足，继续循环第六次循环，，满足，继续循环第七次循环，，满足，继续循环第八次循环，，满足，继续循环第九次循环，，不满足，跳出循环，输出故选B点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．11、A【解析】

由题意求得导数，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案.【详解】由题意，可得，当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，所以函数的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、C【解析】

根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的中点是球心,如图:依题意设,则正四棱柱的体积为:,解得,所以外接球的直径,所以外接球的半径,则这个球的表面积是.故选C.【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先根据公式，，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．【详解】由，，可得点的直角坐标为∵直线与极轴平行

∴在直角坐标系下直线的斜率为0

∴直线直角坐标方程为y=1

∴直线的极坐标方程是

故答案为．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，解答的关键是利用基本公式，，注意转化思想，属于基础题．14、40【解析】分析：先根据二项分布得,再根据，得详解：因为，所以，因为，所以点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.15、【解析】

首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.【详解】当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.故答案为【点睛】解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16、【解析】特称命题的否定为全称，所以“”的否定为“”.点睛：命题的否定和否命题要做好区别：（1）否命题是指将命题的条件和结论都否定，而且与原命题的真假无关；（2）否命题是只否结论，特别的全称命题的否定为特称，特称命题的否定为全称.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当时，利润最大值为17万元，当时，最大利润万元【解析】

（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本；（2）可有对勾函数的的单调性求得最大值．【详解】（1），将代入（2）令，在单减，单增∴当时，利润最大值为17万元当时，最大利润万元【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等．18、【解析】

分别用体积表示其面积，再比较大小。【详解】解：设球的半径为R、正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,则:V=,．,．【点睛】分别用体积表示其面积，再比较大小。19、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1求出x的值；（2）根据上学时间不少于1小时的频率估计住校人数；（3）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望.详解：(1)由直方图可得,∴.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为:,,∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住.(3)的可能取值为,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为,,,,,,则的分布列为01234的数学期望.点睛：本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.20、(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）两边同时乘以，利用公式，代入得到曲线的普通方程；（Ⅱ）直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，转化为的二次方程，根据公式计算.试题解析：解：（Ⅰ）由，得，即曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将直线的方程代入，并整理得，，，.所以.21、（1）在单调递减，在单调递增.（2）见解析【解析】

（1）求出导函数，由极值点