肇庆市重点中学2022-2023学年数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量服从正态分布,且,则()A． B． C． D．2．的展开式中，的系数是（）A．30 B．40 C．-10 D．-203．已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）A．30个 B．42个 C．36个 D．35个5．以下说法中正确个数是（）①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；②欲证不等式成立，只需证；③用数学归纳法证明（，，在验证成立时，左边所得项为；④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.A． B． C． D．6．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.847．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率服从正态分布，且，则（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.998．已知函数的图象关于原点中心对称，则A．1 B． C． D．29．已知两个正态分布密度函数的图象如图所示，则（）A． B．C． D．10．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则()A． B． C． D．11．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)12．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<1)的值为()A．p B．1－p C．1－2p D．－p二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________14．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种15．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为________．16．设随机变量，且，则实数的值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）将函数的图象向右平移1个单位得到的图象.(1)若，求函数的值域；(2)若在区间上单调递减，求实数的取值范围.18．（12分）已知实数a＞0且a≠1．设命题p：函数f（x）＝logax在定义域内单调递减；命题q：函数g（x）＝x2﹣2ax+1在（，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数（为常数）与函数在处的切线互相平行．（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）求证：函数的图象总在函数图象的上方．20．（12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足.(1)求(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．21．（12分）莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了程度，结果如下：阅读过莫言的作品数（篇）0～2526～5051～7576～100101～130男生36111812女生48131510

（1）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率.（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有的把握认为“对莫言作品的非常了解”与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计注：K2＝P(K2≥k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.02422．（10分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17（I）分别求两名选手射击环数的期望；（II）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案．【详解】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．2、B【解析】

通过对括号展开，找到含有的项即可得到的系数.【详解】的展开式中含有的项为：，故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理系数的计算，难度不大.3、B【解析】

先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.【详解】由题得切线的斜率为2，所以因为,所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件.故答案为B4、C【解析】

解：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选C5、B【解析】

①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。③令代入左式即可判断。④整数并不属于大前提中的“有些有理数”【详解】命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错欲证不等式成立，因为，故只需证，②错（，，当时，左边所得项为；③正确命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确综上所述：①②错③④正确故选B【点睛】本题考查推理论证，属于基础题。6、A【解析】

利用正态分布曲线关于对称进行求解.【详解】，正态分布曲线关于对称，，，.【点睛】本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.7、D【解析】

根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率.【详解】由于，故，故选D.【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.8、B【解析】

由函数的图象关于原点对称可得函数是奇函数，由恒成立可得，从而可得结果．【详解】函数图象关于原点对称，函数是奇函数，则得，即，即，得，故选B．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.9、A【解析】

正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有越小图象越瘦高，得到正确的结果．【详解】正态曲线是关于对称，且在处取得峰值，由图易得，故的图象更“瘦高”，的图象更“矮胖”，则.故选A.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10、D【解析】

求出，根据条件概率公式即可得解.【详解】由题：，.故选：D【点睛】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.11、A【解析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．12、D【解析】

由，得正态分布概率密度曲线关于对称，又由，根据对称性，可得，进而可得，即可求解．【详解】由随机变量，可知随机变量服从正态分布，其中是图象的对称轴，又由，所以，又因为，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以，故选D．【点睛】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、7【解析】

求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为1416=7故答案为：78【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．14、15【解析】

将编号为的三个盒子中分别放入个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果.【详解】编号为的三个盒子中分别放入个小球，则还剩个小球则问题可变为求个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数由隔板法可知共有：种方法本题正确结果：【点睛】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.15、4860【解析】由题意可知,即二项式为，所以，所以的系数为4860，填4860。16、【解析】

随机变量的正态曲线关于对称，即0与关于对称，解出即可。【详解】根据题意有故填9【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的几何意义，属于基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式，令，换元后讨论可得函数的值域是；(2)结合函数的单调性得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.试题解析：(1)令，，则，∴∴，即的值域为.(2)∵,∴在和上为减函数又在上是减函数,∴在上恒正,且在上是增函数,即,∴18、【解析】

先分别求得p，q为真时的a的范围，再将问题转化为p，q一真一假时，分类讨论可得答案．【详解】∵函数f（x）＝logax在定义域内单调递减，∴0＜a＜1．即：p：{a|0＜a＜1}．∵a＞0且a≠1，∴￢p：{a|a＞1}，∵g（x）＝x2﹣2ax+1在（，+∞）上为增函数，∴a．又∵a＞0且a≠1，即q：{a|0＜a}．∴￢q：{a|a且a≠1}．又∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴“p真q假”或“p假q真”．①当p真q假时，{a|0＜a＜1}∩{a|a且a≠1}＝{a|a＜1}．．②当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|0＜a}＝∅，综上所述：实数a的取值范围是：{a|a＜1}．【点睛】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别求得命题p，q为真时的参数的范围是解决本题的关键，考查分类讨论的思想，比较基础．19、（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函数，利用导数求得函数的单调性，进而求得最大值与最小值；（2）令，则只须证恒成立即可，由导数求解函数的单调性和最值，即可作出证明．详解：（1），，由已知有，解得．当时，．令，解得．∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，，．∴最小值为，最大值为．（2）令，则只须证恒成立即可．∵．显然，单调递增（也可再次求导证明之），且．∴时，，单调递减；时，，单调递增；∴恒成立，所以得证．点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．20、(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不