弹性力学及有限元法

弹性力学及有限元法第1页，课件共71页，创作于2023年2月学习目标了解弹性力学的基本假设；掌握弹性力学的基本概念；掌握弹性力学问题的实质及其基本方程之间关系；掌握边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用；了解虚位移原理；掌握强度理论选用原则。2第2页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。基本假设的必要性3第3页，课件共71页，创作于2023年2月——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持这种连续性。根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。固体材料都是由微粒组成

工程材料内部的缺陷1.1弹性力学基本假设1.连续性假设4第4页，课件共71页，创作于2023年2月——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。——

物体的弹性性质处处都是相同的。根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。1.1弹性力学基本假设2.均匀性假设5第5页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设3.各向同性假设——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能是显示各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。6第6页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设4.完全弹性假设——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。这就是说，弹性力学问题研究在胡克定理成立的条件之下。完全弹性假设使研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。7第7页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设5.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。

8第8页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设6.无初应力假设——假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。9第9页，课件共71页，创作于2023年2月1.1弹性力学基本假设弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。10第10页，课件共71页，创作于2023年2月1.2弹性力学基本概念外力（Load)内力和应力（Stress)位移（Displacement）应变（Strain)主应力（principalstress）和主平面（principalplane)11第11页，课件共71页，创作于2023年2月1、外力(Load)外力分为：体力(BodyForce)

面力(SurfaceForce)体力是作用于物体内部各个质点上的力:例如物体的重力，惯性力，电磁力等等；面力是作用于物体表面的作用力:例如风力，静水压力，物体之间的接触力等；面力和体力大小用集度表示，即分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。12第12页，课件共71页，创作于2023年2月1.体力矢量大小和方向？2.体力分量？3.量纲？1、外力：体力一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。13第13页，课件共71页，创作于2023年2月1.面力矢量大小和方向？2.面力分量？3.量纲？1、外力：面力面力是表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。14第14页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。为物体在该截面上A点的应力。过M点取截面的一部分，面积为ΔS，作用于其上的内力为ΔF

，平均集度为ΔF/ΔS，其极限为15第15页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？应力矢量Pn的方向由内力矢量ΔF确定，同时受ΔS方位变化的影响。通常将应力沿截面的法线和切线方向分解为:正应力σn剪应力τn应力必须说明其坐标和作用面的方位。16第16页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？应力分量应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，称为张量。在任意坐标系都具有协变性的量就是张量取一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。xyzo17第17页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？应力符号第一下标表示所在的平面，第二下标表示沿坐标轴的方向。σyτyxτyzxyzo符号规定：正面：单元体面的外法线与坐标轴同向负面：单元体面的外法线与坐标轴反向在正面上，应力分量与坐标轴同向为正，反向为负。18第18页，课件共71页，创作于2023年2月图示单元体面为负面在法线为y的负面上，正应力记为

,沿y轴反向为正，剪应力τyx、τyz，沿x轴、z轴的反向为正。2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？

xyzo19第19页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？点的应力状态：一点所有截面的应力矢量的集合取一个微小的六面体：独立应力分量：xyzo20第20页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力例1矩形薄板，板上受面力时，；时，；试绘出面力的方向。例2矩形薄板，板受面力如图示，试写出边界条件。力的概念－举例21第21页，课件共71页，创作于2023年2月2、内力与应力例3已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。力的概念－举例22第22页，课件共71页，创作于2023年2月3、位移1.位移分量？物体内部各点空间位置发生变化

M(x,y,z)——>M’(x,y,z)

位移：刚体位移变形位移点的位移矢量:位移是点的坐标的单值连续函数23第23页，课件共71页，创作于2023年2月4、应变1.正应变？2.切应变？3.如何表示？应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关。棱边的伸长和缩短棱边之间夹角变化点的应变矢量:线应变剪应变点的应变状态也是坐标的单值连续函数24第24页，课件共71页，创作于2023年2月O点应力状态：斜截面的法线方向余弦：5.主应力与主平面1）任意斜截面上的应力设S为ΔABC的面积，则ΔOBC=lS

ΔOCA=mS

ΔOAB=nS设h为O点至斜面ABC的高，

ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为

：

n=li+mj+nk

25第25页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面1）任意斜截面上的应力微四面体在应力矢量和体积力作用下满足平衡条件，由x方向的平衡可得：

对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此同理26第26页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力1）切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。

2）主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。3）主平面上的正应力称为主应力。27第27页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主平面，其法线方向n的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量

Pn，即主应力的三个分量为px,py,pz。

根据主平面的定义，应力矢量Pn

的方向应与法线方向n一致，设Pn

为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为

px

=Pn

l,

py=Pn

m,

pz

=Pn

n

28第28页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力px

=pnl,

py

=pnm,

pz

=pnn

方程组有非零解的条件求解主应力29第29页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力特征方程应力张量元素构成的行列式主对角线元素之和

应力张量第一不变量行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和应力张量第二不变量应力张量第三不变量30第30页，课件共71页，创作于2023年2月5.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力求解主应力说明：1、受外力处于平衡的结构内，任意点有三个主应力，且主平面相互垂直。２、主应力值和方向只取决于受力状态，与选取的坐标系无关。３、所有截面中，解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。31第31页，课件共71页，创作于2023年2月1.3弹性力学基本方程平衡微分方程几何方程变形协调方程物理方程32第32页，课件共71页，创作于2023年2月1.平衡微分方程外力和应力关系平衡物体整体平衡，内部任意部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。微分平行六面体单元33第33页，课件共71页，创作于2023年2月平衡微分方程解释微小六面体边长dx,dy,dz单元体的体力X,Y,Z应力是位置坐标的函数，所以34第34页，课件共71页，创作于2023年2月平衡微分方程示意图35第35页，课件共71页，创作于2023年2月平衡微分方程静力平衡条件

平衡微分方程Navier方程36第36页，课件共71页，创作于2023年2月2、几何方程应变和位移关系微六面体：MA=dxMB=dyMC=dz37第37页，课件共71页，创作于2023年2月2、几何方程应变和位移关系因此38第38页，课件共71页，创作于2023年2月2、几何方程应变和位移关系

切应变与位移：因此39第39页，课件共71页，创作于2023年2月2、几何方程应变和位移关系

空间几何方程：由几何方程可知，已知位移函数u,v,w，则该点应变分量确定。但是，应变分量确定，无法求出位移分量。40第40页，课件共71页，创作于2023年2月3、变形协调方程设ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。

解：41第41页，课件共71页，创作于2023年2月3、变形协调方程42第42页，课件共71页，创作于2023年2月变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。同一平面内的正应变与剪应变之间的关系（3个）：从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数，然后相加可得3、变形协调方程43第43页，课件共71页，创作于2023年2月不同平面内的正应变与剪应变之间的关系(3个）：将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则3、变形协调方程对x求一阶偏导数，则44第44页，课件共71页，创作于2023年2月3、变形协调方程变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足的关系。

45第45页，课件共71页，创作于2023年2月4、物理方程应变和应力关系应力应变关系属于材料性能称为物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定单向拉伸实验可以测出弹性模量E

薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G复杂应力状态难以直接通过实验确定46第46页，课件共71页，创作于2023年2月4、物理方程杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有

泊松比，也称横向变形系数。

应变和应力关系取一个单元体，在各正应力作用下，沿Ｘ轴方向的正应变：[])(E1

E

x321zyxzyxxxxEEssmssmsmseeee+-=--=++=47第47页，课件共71页，创作于2023年2月广义虎克定律

4、物理方程应变和应力关系剪应变：

48第48页，课件共71页，创作于2023年2月写成矩阵形式：

简记为其中，［Ｄ］为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。4、物理方程应变和应力关系49第49页，课件共71页，创作于2023年2月弹性力学问题总结

位移应变

和应力和一、基本力学量：50第50页，课件共71页，创作于2023年2月弹性力学问题总结二、基本方程和主要关系式：1.几何方程（空间弹性结构内任一点P的位移与应变的关系）直角坐标51第51页，课件共71页，创作于2023年2月弹性力学问题总结52第52页，课件共71页，创作于2023年2月弹性力学问题总结53第53页，课件共71页，创作于2023年2月1.4边界条件应力边界条件位移边界条件圣维南原理54第54页，课件共71页，创作于2023年2月边界条件应力边界条件：结构在边界上所受的面力与应力分量之间的关系。由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz

，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得

应力边界条件：55第55页，课件共71页，创作于2023年2月结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。边界条件

位移边界条件：混合边界条件：56第56页，课件共71页，创作于2023年2月圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以忽略不计。57第57页，课件共71页，创作于2023年2月圣维南原理圣维南局部影响原理也可以表述为：如果物体的任一部分作用一个平衡力系，则此平衡力系在物体内产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域比较远处，这种影响便急剧减少。58第58页，课件共71页，创作于2023年2月圣维南原理（例）59第59页，课件共71页，创作于2023年2月1.5虚位移原理（虚功原理）虚位移：假定的、在约束条允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形协调条件和几何边界条件。变形势能：弹性体受力变形后，弹性体内部应力在其应变上所做的功。虚位移原理：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做得虚功等于弹性体所具有的虚变形势能。60第60页，课件共71页，创作于2023年2月外力虚功：体力面力

弹性体的虚变形势能：

虚功方程：虚位移原理解释61第61页，课件共71页，创作于2023年2月1.7失效理论

一般应力状态下材料失效形式：屈服脆断材料力学中，常用强度条件为：

材料何时以何种形式失效，不仅与主应力的大小有关，而且与3个主应力的比值有密切关系。假定无论何种应力状态下，材料只要发生相同形式的失效，其原因便是相同的。利用单向拉伸的试验结果，即可建立一般应力状态下的失效判据。62第62页，课件共71页，创作于2023年2月失效理论关于断裂的强度理论：第一强度理论（最大拉应力理论）当一个单元体的三个主应力的最大拉应力到达材料的拉应力极限时，材料发生破坏。极限条件为：这个理论最大缺点是只考虑三个主应力中的一个，其它两个发生变化也不影响极限状态，因此，不够合理。实践证明，这个理论与脆性材料的拉断实验相符.63第63页，课件共71页，创作于2023年2月关于断裂的强度理论：第二强度理论（最大伸长线应变理论）该理论认为最大线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，破坏条件为：

由物理方程可得：此理论可适用于脆性材料在双向拉伸—