西藏林芝第二高级中学2023年数学高二下期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是两个非零向量，且，则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．在中，内角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为（）A． B． C． D．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A．512 B．12 C．74．在三棱锥中，，点为所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且，则等于（）．A． B． C．或 D．或7．下列关于曲线的结论正确的是（）A．曲线是椭圆 B．关于直线成轴对称C．关于原点成中心对称 D．曲线所围成的封闭图形面积小于48．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）A． B． C． D．9．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（）A． B． C． D．10．某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．12011．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A．-4 B．-1 C．1 D．412．已知函数的定义域为，若对于，分别为某三角形的三边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：①②③④.其中为“三角形函数”的个数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则在处的切线方程为_______________.14．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________.15．已知随机变量，且，则______.16．某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（其中）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）已知，函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若在内有解，求的取值范围.19．（12分）已知函数，，若且对任意实数均有成立．（1）求表达式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围．20．（12分）某大学综合评价面试测试中，共设置两类考题：类题有4个不同的小题，类题有3个不同的小题.某考生从中任抽取3个不同的小题解答.（1）求该考生至少抽取到2个类题的概率；（2）设所抽取的3个小题中类题的个数为，求随机变量的分布列与均值.21．（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，有两个不同的零点，求证：.22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

画出图像：根据计算夹角为，再通过夹角公式计算与的夹角.【详解】形成一个等边三角形，如图形成一个菱形.与的夹角为故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减和夹角，通过图形可以简化运算.2、B【解析】

本题考察的是解三角形公式的运用，可以化简得出角C的大小以及的最大值，然后得出结果．【详解】，C=，解得所以【点睛】在解三角形过程中，要对一些特定的式子有着熟练度，比如说、等等，根据这些式子就要联系到我们的解三角形的公式当中去．3、C【解析】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含AB、AB、AB，又P(A)=12，考点：相互独立事件概率的计算．4、B【解析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任一点，则，由题与所成角为定值，，则则，化简得，故动点的轨迹是椭圆.选B【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.5、A【解析】

由已知可得对任意的恒成立，设则当时在上恒成立，在上单调递增，又在上不合题意；当时，可知在单调递减，在单调递增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上单调递增，在上单调递减，又，故选A.6、D【解析】由，可得，又由题意得双曲线的渐近线方程为，∴∴，根据双曲线的定义可得，∴或．经检验知或都满足题意．选．点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为，到右焦点的最小距离为．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是，到左焦点的最小距离是．7、C【解析】

根据椭圆的方程判断曲线不是椭圆；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于直线对称；把曲线中的，同时换成，，判断曲线是否关于原点对称；根据，，判断曲线所围成的封闭面积是否小于1．【详解】曲线，不是椭圆方程，曲线不是椭圆，错误；把曲线中的，同时换成，，方程变为，曲线不关于直线对称，错误；把曲线中的，同时换成，，方程不变，曲线关于原点对称，正确；，，曲线所围成的封闭面积小于，令，所以曲线上的四点围成的矩形面积为，所以选项D错误.故选：．【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．8、A【解析】试题分析：由题意得，因此，选A.考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a，b，c的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a，b，c的不等式求解，正确把握c2＝a2＋b2的应用及e＞1是求解的关键．9、A【解析】

三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．【详解】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．即概率都为【点睛】本题考查排位概率，属于基础题．10、B【解析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．11、C【解析】

先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【详解】由题意，，，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.12、B【解析】

根据构成三角形条件，可知函数需满足，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立.【详解】根据题意，对于，分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足：对于①，，如当时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，，则，满足，所以②是“三角形函数”；对于③，，则，当时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，，由指数函数性质可得，满足，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④，故选：B.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程。【详解】；；又；在处的切线方程为，即；故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题。14、【解析】每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为.故答案为：.15、0.9【解析】

根据正态分布性质计算概率．【详解】由正态分布密度曲线知，又，所以，所以.【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若，则，．16、160【解析】

每位同学共选4门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类.【详解】（1）当选2门的为A类，N1（2）当选2门的为B类，N2（3）当选2门的为C类，N3∴选法共有N1【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）.【解析】

（1）当时，对分成三段，讨论绝对值内数的正负；（2）不等式恒成立问题，转化成解不等式问题.【详解】（1）当时，即．①当时，得：，解得：；②当时，得：，不成立，此时；③当时，得：成立，此时．综上所述，不等式的解集为或．（2）∵，由题意，即：或，解得：或，即：的取值范围是．【点睛】考查用零点分段法解绝对值不等式、三角不等式求绝对值函数的最小值.18、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）计算函数的导函数，得到对应方程的根为，讨论三种情况得到答案.（2）计算的导数，根据单调性计算函数的最小值，根据解得范围.【详解】（1），令，解得.当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时，即时，函数在定义域上单调递增；当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.（2）若在内有解，则由（1）可知，当，即时，∵，∴，函数在上单调递增，，解得；当，即时，∵，∴在时，，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，∴令，函数在上单调递增.∴恒成立，∴.当，即时，∵，∴，函数在上单调递减，不成立.综上所述：.【点睛】本题考查了函数的单调性的讨论，存在性问题，将存在性问题转化为函数的最小值是解题的关键，也可以用参数分离的方法求解.19、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据可以得到与的关系，将中代换成表示，再根据对任意实数均有成立，列出关于的不等式，求解得到的值，进而得到的值，即可求得的表达式；（2）为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于的不等关系，求解即可得到实数的取值范围.试题解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，从而，∴．(2）．∵在上是单调函数，∴或，解得，或．∴的取值范围为．点睛：本题考查了求导公式求函数的导函数，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法，数形结合法解决，同时考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，试题有一定的综合性，属于中档试题.20、（1）；（2）分布列见解析，【解析】

（1）利用古典概率与互斥事件概率计算公式即可得出．（2）设所抽取的1个小题中类题的个数为，则的取值为0，1，2，1．利用超几何分布列计算公式即可得出．【详解】（1）该考生至少抽取到2个类题的概率．（2）设所抽取的1个小题中类题的个数为，则的取值为0，1，2，1．，，，，随机变量的分布列为：0121均值．【点睛】本题考查古典概率与互斥事件概率计算公式、超几何分布列计算公式及其数学期望计算公式，考查推理能力与计算能力．21、（1）1；（2）证明见解析【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，根据函数单调性得到，解得答案.（2）要证明，只需要证明，设，求导得到单调性，得到，得到证明.【详解】（1）由已知得函数的定义域为，且，当时，，在上单调递增，且当时，，不合题意；当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，也是最小值，由题意，恒成立，令，，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.（2），且在处取到极小值1，又时，，时，，故且，要证明：，只需证明，又，故只需证明：，即证：，即证：，即证：