七年级数学上册专题11 角（解析版）

/2022-2023学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编专题11角考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•新泰市期末）如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（）A．42° B．78° C．30° D．36°【思路引导】根据角平分线的定义，由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM＝，，推断出∠MON＝＝，从而求得∠AOM＝30°．【完整解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM＝，．∴∠MON＝＝．∴∠AOM＝∠AOD﹣∠DON﹣∠MON＝156°﹣48°﹣78°＝30°．故选：C．2．（2分）（2022春•新郑市期末）某镇要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东72°方向到B村，从B村沿北偏西28°方向到C村，为了保持与AB的方向相同，那么从C村修建的方向为北偏东（）A．108° B．80° C．72° D．62°【思路引导】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可．【完整解答】解：如图，由题意得，∠ABC＝180°﹣72°﹣28°＝80°，∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠BCE＝80°，∴∠GCE＝180°﹣80°＝100°，由平行线的性质可得，∠BCF＝∠GCN＝28°，∴∠NCE＝100°﹣28°＝72°，即从C村修建的方向为北偏东72°，故选：C．3．（2分）（2022•衢州一模）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．① B．② C．③ D．④【思路引导】根据角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质一一判断即可．【完整解答】解：如图①中，射线AD是角平分线．如图②中，根据SAS可以证明△ABN≌△ACM，推出∠ABD＝∠ACD，再根据AAS证明△BDM≌△CDN，推出DM＝DN，再根据SSS证明∠ADM≌△ADN，推出∠MAD＝∠NAD，推出射线AD是角平分线；如图④中，根据HL证明△DAF≌△DAE，推出∠DAF＝∠DAE，推出AD是角平分线．如图③中，无法证明AD是角平分线．故选：C．4．（2分）（2021秋•绵阳期末）在同一平面内，点O在直线AD上，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON＝α（0°＜α＜90°），则∠AOC＝（）A．90°﹣α B．90°+α C． D．90°±α【思路引导】分两种情况如图①所示，当∠AOC＜∠AOB时，根据角平分线的定义得∠AOM＝∠AOC，∠AON＝∠AOB，根据∠MON＝∠AON﹣∠AOM，得∠AOB﹣∠AOC＝2a，再根据已知条件∠AOC与∠AOB互补，得∠AOB＝180°﹣∠AOC，进而得∠AOC＝90°﹣a；如图②所示，当∠AOC＞∠AOB时，根据角平分线的定义得∠AOM＝∠AOC，∠AON＝∠AOB，根据∠MON＝∠AOM﹣∠AON，得∠AOC﹣∠AOB＝2a，再根据已知条件∠AOC与∠AOB互补，得∠AOB＝180°﹣∠AOC，进而得∠AOC＝90°+a．【完整解答】解：①如图①所示，当∠AOC＜∠AOB时，∵OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，∴∠AOM＝∠AOC，∠AON＝∠AOB，∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝（∠AOB﹣∠AOC），∴∠AOB﹣∠AOC＝2a，∵∠AOC与∠AOB互补，∴∠AOB＝180°﹣∠AOC，∴180°﹣∠AOC﹣∠AOC＝2a，∴∠AOC＝90°﹣a；②如图②所示，当∠AOC＞∠AOB时，∵OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，∴∠AOM＝∠AOC，∠AON＝∠AOB，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝（∠AOC﹣∠AOB），∴∠AOC﹣∠AOB＝2a，∵∠AOC与∠AOB互补，∴∠AOB＝180°﹣∠AOC，∴∠AOC﹣（180°﹣∠AOC）＝2a，∴∠AOC＝90°+a，综上所述：∠AOC＝90°+a或∠AOC＝90°﹣a，（0°＜α＜90°）；故选：D．5．（2分）（2021秋•郎溪县期末）下列说法正确的是（）A．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点 B．若，则射线OC为∠AOB平分线 C．若∠1+∠2+∠3＝180°，则这三个角互补 D．若∠α与∠β互余，则∠α的补角比∠β大90°【思路引导】A、点C为线段AB的中点，前提条件是点A、B、C在同一条直线上；B、射线OC为∠AOB平分线，前提条件是射线OC在∠AOB的内部；C、根据两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角判断；D、根据余角补角定义，表示∠β，∠α的补角，根据题意列算式．【完整解答】解：A、前提条件是点A、B、C在同一条直线上，∴不符合题意；B、前提条件是射线OC在∠AOB的内部，∴不符合题意；C、两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，而不是三个角，∴不符合题意；D、∵∠α+∠β＝90°，∴∠β＝90°﹣∠α，∵∠α的补角：180°﹣∠α，∴∠α的补角比∠β大：180°﹣∠α﹣（90°﹣∠α）＝90°，∴符合题意；故选：D．6．（2分）（2021春•东营区校级月考）借助一副三角尺不能画出的角是（）A．95° B．105° C．120° D．135°【思路引导】结合一副三角板的度数即可得答案．【完整解答】解：∵一副三角板的度数分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°，∴60°+45°＝105°，30°+90°＝120°，45°+90＝135°，因此可以拼出105°，120°，135°的角，故选：A．7．（2分）（2022春•环翠区期末）如图，点B，O，D在同一条直线上，若∠AOC＝90°，∠2＝115°，则∠1的度数为（）A．15° B．25° C．26° D．65°【思路引导】根据互余的性质求出∠COB的度数，根据互补的概念求出∠2的度数．【完整解答】解：∵∠2＝115°，∠AOC＝90°，∴∠COB＝65°，∴∠1＝∠AOC﹣∠COB＝25°，故选：B．8．（2分）（2021秋•荔城区期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM，ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：①点E位于点O北偏西m°的方向上；②点F位于点O北偏东m°的方向上；③∠MON＝135°，其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【思路引导】观察方向图形，点O在正南正北方向上，本据方向角解答即可．【完整解答】解：①点E位于点O北偏西（90﹣m）°的方向上，错误，故不符合题意；②点F位于点O北偏东m°的方向上，正确，故符合题意；③∠MON＝135°，正确，故符合题意；其中正确的有2个．故选：B．9．（2分）（2021秋•硚口区期末）如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②图中有4对互为补角的角；③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15．其中正确的说法是（）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【思路引导】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最小，点F和E重合最大计算得出答案即可．【完整解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故②错误；③由∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝110°+110°+110°+40°＝370°，故③正确；④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝15，当F和E重合，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝12+0+5+8＝25，故④正确．故选：C．10．（2分）（2021秋•江汉区期末）已知∠α与∠β互补，下列说法：①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角；②若∠γ+∠α＝180°，则∠β＝∠γ；③若∠1＝∠α，∠2＝∠β，则∠1与∠2互余．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路引导】直接利用互为余角、补角的定义分别分析得出答案．【完整解答】解：①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角，故此选项符合题意；②若∠γ+∠α＝180°，则∠β＝∠γ，故此选项符合题意；③若∠1＝∠α，∠2＝∠β，则∠1与∠2互余，故此选项符合题意．其中正确的个数是3个．故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022•南山区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝5，CG＝2，则△ABG的周长为+．【思路引导】如图，如图，过点G作GH⊥AB于点H．设BG＝x，BH＝y．利用全等三角形证明AC＝AH＝5，GC＝GH＝2，再利用相似三角形的性质求出x，y，可得结论．【完整解答】解：如图，如图，过点G作GH⊥AB于点H．设BG＝x，BH＝y．由作图可知，∠GAC＝∠HAG，在△GAC和△GAH中，，∴△AGC≌△GAH（AAS），∴AC＝AH＝5，GC＝GH＝2，∵∠B＝∠B，∠BHG＝∠C＝90°，∴△BHG∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴x＝，y＝，经检验x＝，y＝都是分式方程的解，∵AG＝＝＝，AB＝5+＝，∴△ABC的周长＝++＝+．故答案为：+．12．（2分）（2021秋•濮阳期末）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．【思路引导】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．【完整解答】解：∵∠1＝20°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝70°，∵∠2+∠BOC＝180°，∴∠2＝110°．故答案为：110°．13．（2分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）平面内，∠AOB＝120°，C为∠AOB内部一点，射线OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，射线OD平分∠MON，当|∠AOC﹣2∠COD|＝30°时，∠AOC的度数是45°或15°．【思路引导】首先根据角平分线的定义可得∠MON＝60°，再设∠MOC＝x，用含x的代数式表示出∠AOC和∠COD，根据题意列出方程可得答案．【完整解答】解：当OD在∠MOC外部时，∵射线OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，∴∠MOC＝AOC，∠CON＝BOC，∴＝＝60°，∵射线OD平分∠MON，∴∠MOD＝30°，设∠MOC＝x，则∠AOC＝2x，∠COD＝30°﹣x，∴|2x﹣2（30°﹣x）|＝30°，解得x＝22.5°或7.5°，∴∠AOC＝2x＝45°或15°；当OD在∠MOC内部时，∵射线OM平分∠AOC，射找ON平分∠BOC，∴∠MOC＝AOC，∠CON＝BOC，∴＝＝60°，∵射线OD平分∠MON，∴∠MOD＝30°，设∠MOC＝x，则∠AOC＝2x，∠COD＝x﹣30°，∴|2x﹣2（x﹣30°）|＝30°，方程无解，此种情况不存在．综上，∠AOC＝2x＝45°或15°．故答案为：45°或15°．14．（2分）（2021秋•红河州期末）已知∠AOB＝80°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是5°或55°．【思路引导】先根据题意画出图形，再分OD在∠AOB内和OD在∠AOB外，根据角的和差关系和角平分线的定义可求∠EOF的度数．【完整解答】解：如图1，OD在∠AOB内，∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，∴∠BOC＝60°，∵射线OE平分∠BOC，∴∠EOC＝30°，∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，∴∠FOC＝25°，∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝5°；如图2，OD在∠AOB外，∵∠AOB＝80°，∠AOC＝20°，∴∠BOC＝60°，∵射线OE平分∠BOC，∴∠EOC＝30°，∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，∴∠FOC＝25°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝30°+25°＝55°．则∠EOF的度数是5°或55°．故答案为：5°或55°．15．（2分）（2022春•铜仁市期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG＝45°；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACF﹣∠BCG＝45°．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号①②④．【思路引导】根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择．【完整解答】解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD＝∠ACD，∠DCH＝∠HCB＝∠DCB，∠BCG＝∠ECG＝∠BCE，∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°∴∠ACF+∠BCH＝90°，故①②正确，∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，∴∠ECF+∠DCH＝180°，∵∠HCG≠∠DCH，∴∠ECF与∠GCH不互补，故③错误，∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，∴∠ACF﹣∠BCG＝45°．故④正确．故答案为：①②④．16．（2分）（2021秋•金牛区期末）如图，长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．∠FEG＝20°，则∠MEN＝100°或80°．【思路引导】分两种情形：当点G在点F的右侧；当点G在点F的左侧，根据∠MEN＝∠NEF+∠MEG+∠FEG或∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．【完整解答】解：当点G在点F的右侧，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB−∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°−20°）＝80°，∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝80°+20°＝100°；当点G在点F的左侧，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG，∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB+∠FEG），∵∠AEB＝180°，∠FEG＝20°，∴∠NEF+∠MEG＝（180°+20°）＝100°，∴∠MEN＝∠NEF+∠MEG﹣∠FEG＝100°﹣20°＝80°，综上，∠MEN的度数为100°或80°，故答案为：100°或80°．17．（2分）（2021春•奉化区校级期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝105度．【思路引导】根据角平分线的意义，以及角的和与差，分别表示出∠MON，然后利用两个图形分别计算α、β即可．【完整解答】解：如图1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°+∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°+∠BOD），∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD＝（45°+60°），如图2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°﹣∠BOD），∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°﹣∠BOD），∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD＝（45°+60°），∴α+β＝45°+60°＝105°，故答案为：105．18．（2分）（2019秋•句容市期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝（）°．（用含n的代数式表示）【思路引导】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可．【完整解答】解：设∠BOE＝x°，∵∠BOE＝∠BOC，∴∠BOC＝nx，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx，∵∠BOD＝∠AOB＝（60°+nx）＝+x，∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝+x﹣x＝＝（）°，故答案为：（）．19．（2分）1时10分时，钟表上时针与分针间的夹角为锐角；3时时，时针与分针间的夹角为直角；2时35分时，时针与分针间的夹角为钝角（填“锐”、“直”或“钝”）．【思路引导】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【完整解答】解：∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴1时10分，时针与分针之间是×30°＝25°，是锐角；3时，时针与分针之间是3×30°＝90°，是直角；2时35分，时针与分针之间是（4+）×30°＝132.5°，是钝角．故答案为：锐，直，钝．20．（2分）（2021秋•市中区期末）点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，将射线OB绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC、OD、OM、OM，使得∠BOC＝90°，∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON＝α时，则α＝20°．【思路引导】由平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，由已知条件可得∠CON＝，∠COM＝30°﹣，利用∠COM＝∠MON+∠CON，即可求得α．【完整解答】解：由题意可得：∠AOC＝180°﹣∠BOC﹣α＝90°﹣α，∵∠COD＝2α，∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠COD，∴∠CON＝，∠COM＝（90°﹣α）＝30°﹣，∵∠COM＝∠MON+∠CON，∠MON＝α∴30°﹣＝α+，解得：α＝20°．故答案为：20°．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022春•泾阳县期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【思路引导】根据要求作出图形即可．【完整解答】解：如图，点P即为所求．22．（5分）（2022春•陈仓区期中）如图，点O在直线AB上，射线OC在直线AB的上方，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．（1）若∠BOC＝50°，求∠DOE的度数；（2）若∠BOC＝α°，求∠DOE的度数；（3）当射线OC绕点O旋转时，∠DOE的度数会发生变化吗？如果不变，请写出理由．【思路引导】（1）利用平角、角平分线计算即可；（2）利用平角、角平分线计算即可；（3）利用平角、角平分线计算即可．【完整解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝130°，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC＝＝65°，∠COE＝∠BOC＝25°，∴∠DOC+∠BOC＝65°+25°＝90°，即∠DOE＝90°；（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝α°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝（180﹣α）°，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC＝＝，∠COE＝∠BOC＝°，∴∠DOC+∠BOC＝+°＝＝90°，即∠DOE＝90°；（3）不变化，不妨设∠BOC＝α°∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝（180﹣α）°，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠DOC＝＝，∠COE＝∠BOC＝°，∴∠DOC+∠BOC＝+°＝＝90°，即∠DOE＝90°．23．（8分）（2021秋•寻乌县期末）图1是木工常用的“曲尺”，∠MON＝90°；现将曲尺顶点O放在直线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图2）．（1）如图2，当曲尺边OM恰好是∠BOC的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分∠AOC，试说明其理由．（2）如图3，若OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a．①∠CON＝a（用含a的代数式表示）；②当∠AOC＝∠BON，求∠AOM的度数．【思路引导】（1）反向延长射线ON得射线OG，由OM是∠BOC的平分线，得∠COM＝∠BOM，又∠MON＝90°，即得∠BOM+∠BON＝90°，∠COM+∠COG＝90°，故∠BON＝∠COG，而∠BON＝∠AOG，可知∠COG＝∠AOG，曲尺边ON所在的直线平分∠AOC；（2）①由∠AOM＝a，得∠BOM＝180°﹣a，又OC是∠MOB的平分线，可得∠COM＝∠BOM＝90°﹣a，根据∠MON＝90°，即得∠CON＝90°﹣∠COM＝a；②根据OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a，得∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝∠AOM+∠BOM＝90°+a，又∠MON＝90°，得∠BON＝90°﹣∠MOB＝90°﹣（180°﹣∠AOM）＝a﹣90°，由∠AOC＝∠BON，有90°+a＝（a﹣90°），解得∠AOM＝a＝130°．【完整解答】解：（1）曲尺边ON所在的直线平分∠AOC，理由如下：反向延长射线ON得射线OG，如图：∵OM是∠BOC的平分线，∴∠COM＝∠BOM，∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠BON＝90°，∠COM+∠COG＝90°，∴∠BON＝∠COG，∵∠BON＝∠AOG，∴∠COG＝∠AOG，∴曲尺边ON所在的直线平分∠AOC；（2）①∵∠AOM＝a，∴∠BOM＝180°﹣a，∵OC是∠MOB的平分线，∴∠COM＝∠BOM＝90°﹣a，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝90°﹣∠COM＝a；故答案为：a；②∵OC是∠MOB的平分线，∠AOM＝a，∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝∠AOM+∠BOM＝a+（90°﹣a）＝90°+a，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝90°﹣∠MOB＝90°﹣（180°﹣∠AOM）＝90°﹣（180°﹣a）＝a﹣90°，∵∠AOC＝∠BON，∴∠AOC＝（a﹣90°），∴90°+a＝（a﹣90°），解得a＝130°，∴∠AOM＝a＝130°．24．（8分）（2021秋•东至县期末）已知∠AOB＝60°，（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝30°；（2）如图2，当OC转到∠AOB的外部时，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的度数．【思路引导】（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质并结合∠MON＝∠COM﹣∠CON解答即可；（3）根据题意得到∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，再利用∠COM﹣∠BON计算，即可解答．【完整解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．故答案为：30°；（2）不变，当OC旋转到∠AOB的外部时，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，∴∠MOC＝∠AOC，∴∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝×60°＝30°．∴∠MON的度数不会发生变化；（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．25．（8分）（2022春•南岗区期末）已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．（1）一个角的平分线是这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）（2）如图，∠MPN＝60°．①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为20°或30°或40°度；②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？【思路引导】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．【完整解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；故答案为：是．（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，故答案为：20°或30°或40°；②依题意有，3°45′＝3.75°，当3.75t＝60+×60时，解得t＝24；当3.75t＝2×60时，解得t＝32；当10t＝60+2×60时，解得t＝48．故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；26．（9分）（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝40°；（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）【思路引导】（1）根据新定义直接可得答案；（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝40°，即可解得答案；②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝∠AOD，即2t＝（180°﹣3t），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝（180°﹣3t），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好点∠COD＝∠AOC，即3t+2t﹣180°＝×2t，（Ⅳ）OD是OA的友好点，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t＝×2t，分别解方程即可．【完整解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，∴∠AOM＝∠AOB＝40°，故答案为：40°；（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t﹣2t＝40°，∴t＝28；在OC、OD相遇后，3t+2t﹣180°＝40°，∴t＝44，综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；②相遇之前，（Ⅰ）如图：OC是OA的友好线时，∠AOC＝∠AOD，即2t＝（180°﹣3t），∴t＝20；（Ⅱ）如图：OC是OD的友好线时，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t﹣2t＝（180°﹣3t），∴t＝30；相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好点∠COD＝∠AOC，即3t+2t﹣180°＝×2t，∴t＝，（Ⅳ）OD是OA的友好点，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t＝×2t，∴t＝，综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．27．（8分）（2021秋•孟村县期末）以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线OC，使∠BOC＝50°，将一个直角三角板DOE的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°，且直角三角板DOE在直线AB的上方．（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE在射线OA上，则∠COD＝40°；（2）如图2，直角三角板DOE的边OD在∠BOC的内部．①若OE恰好平分∠AOC，求∠COE和∠BOD的度数；②请直接写出∠COE与∠BOD之间的数量关系；（3）若，求此时∠BOD的度数．【思路引导】（1）根据两个角互为余角，求出∠COD的度数；（2）①根据平角定义先求出∠AOC，根据角平分线的定义得，进而求出∠BOD；②根据角的和差关系求出∠COE与∠BOD之间的数量关系；（3）分两种情况分别论述：第一种情况，如图②，当∠COD在∠BOC的内部时，第二种情况，如图③，当∠COD在∠BOC的外部时，分别计算．【完整解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∴∠DOB＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠COD＝40°，故答案为：40°；（2）如图②①∵∠BOC＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50