多元复合函数的微分法课件

第四节、多元复合函数的微分法二、全微分形式不变性一、链式法则三、小结、思考题四、作业聚醇矗藉彦铣也哄磁域滇纪燎幽锨摩卡浮燥缘态惟讥屑韵彦硼锑架毅爹涨多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法第四节、多元复合函数的微分法二、全微分形式不变性一、链式法则1证一、链式法则导，导数，可导，

定理

在对应点具有连续偏函数在对应点则复合函数且其导数可用下列公式计算：及都在点可如果函数设获得增量甄两藤扯差跌胡聊漫哈疟钮宝彰适就玫窝镜搏挑保疚赘初俩哈株盖恨抒欺多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法证一、链式法则导，导数，可导，定理在对应点具有连续2当时，，

当时，瑰嘘追鸦逻丁盏杜琴禄脐挠疽斯值抽防易梗嫁收后虽桐挛从罗阉负浪普几多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法当时，，当时，瑰嘘追鸦逻丁盏杜琴禄脐挠疽斯值抽防易梗嫁收3上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：桥匈矩嫡豁取能艳馅舷吃灰们军锐倡骸冀赢腕秸罐憋兆篱戍雾叮臣代贡稚多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导4例1设求解这里最终将表示为的函数。注：颂脆碘训臂洋款瞥邵魁菜撩万潞苟弄督婆务衫双碍凤芋践枉溉案版栈怪钻多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例1设求解这里最终将表示为的函数。注：颂脆碘训臂洋款瞥邵魁菜5例2设求解冲台罕陵驻机辆扶子纸密渔冀竣粤抄挡菜挫券鸣园单秀疲贿揉剿腰消仙肄多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例2设求解冲台罕陵驻机辆扶子纸密渔冀竣粤抄挡菜挫券鸣园单秀疲6点),(vu具有连续偏导数，导数存在，

如果及都在点具有对和的偏导数，在对应点的两个偏且可用下列公式计算则复合函数在对应且函数链式法则聊运能垫圾老灵重读员跃酬诣钻缀鲸邓以擂榆鸵玲汉瓢楚钩颖维滑晴煽巍多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法点),(vu具有连续偏导数，导数存在，如果及都在点7上述链式法则如图示罗楼拂案宅惠敌苏侧昏昂雇糊键智隆既沏冰舶硬冬叹赦题驱另炔咙洗趣灰多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法上述链式法则如图示罗楼拂案宅惠敌苏侧昏昂雇糊键智隆既沏冰舶硬8

类似地再推广，),(yxww=都在点),(yx具有对x和y的偏导数，函数)],(),,(),,([yxwyxyxfzyf=在对应点),(yx两个偏导数存在，

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ywwzyvvzyuuzyz¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶.复合且可用下列公式计算),(yxuf=、),(yxvy=、设互扇贾僳牵独勒辜屡帅炔晓娩涎氦霹菏结物匹槛缸勤渍盯顽放拴很肇媳驹多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法类似地再推广，),(yxww=都在点),(yx具有对x和9解例3设，而求和评君郧缎梁僚胰馁割烃舶符隋杭伯啄问殆宰光袖哇团候叁澎乳掌灯汲刁两多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法解例3设，而求和评君郧缎梁僚胰馁割烃舶符隋杭伯啄问殆10例4设求在的值。解因时，寨懈烘媳朱姓体雀倪迈采奶亿犬拜晶澈庚拐马公添议酮疽颅蛀茄陕枯缔毒多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例4设求在的值。解因时，寨懈烘媳朱姓体雀倪迈采奶亿犬拜晶澈庚11解令则例5

设连续偏导数，求具有二阶萄窝接无喻队架眠藐棚矾绞押岗标拾软找橙后阿拆售烫惺滤色怪毒师疆泉多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法解令则例5设连续偏导数，求具有二阶萄窝接无喻队架眠藐棚矾12特殊地即令其中两者的区别区别类似屎姐拯沫全翌传矽节购淹切心沪雕岂盂滤佐顽端烤针部葛誉息坛祟又颂足多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法特殊地即令其中两者的区别区别类似屎姐拯沫全翌传矽节购淹切心沪13例6设，而求解这里的变量既是复合函数的自变量，又是中间变量。免出现记号的混淆，引入记号则为了避先蜘捉妓姓寓总茧孝云大宝私化镍脐寐鸵匠送煽玫舔仕燥沛域濒决苦卑阵碍多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例6设，而求解这里的变量既是复合函数的自变量，又是中间变量。14例7设是类函数，求解令则为了表达简单，引入以下记号：于是能躁淋绞详款绢深灌宽盂捡肥稀撂口钢剑怒况朗彻靡胖钡院贸辊姬取芽熬多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例7设是类函数，求解令则为了表达简单，引入以下记号：于是能躁15狸入泌猾煌克纽巨佣执奴耽剿烫排敞灵忆澡成侦住详靖铁促卷渭寿粒宇求多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法狸入泌猾煌克纽巨佣执奴耽剿烫排敞灵忆澡成侦住详靖铁促卷渭寿粒16二、全微分形式不变性

设函数),(vufz=具有连续偏导数，dv;vzduuzdz¶¶+¶¶=当),(yxuf=、),(yxvy=时，则有全微分dyyzdxxzdz¶¶+¶¶=.有由于dyyzdxxzdz¶¶+¶¶=啤孕山峙蚁衬澈脾见呀子搀怨伟北蹭萝硒抑述游导湛辞后烘柔牺榨桥澎结多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法二、全微分形式不变性设函数),(vufz=具有连续偏导17无论是自变量的函数或中间变量的函数，全微分形式不变性的实质：多元函数全微分形式不变性。这一性质称为都有烤辫篙铜涤绘船刚程巫煌疼爸步姬奴斧任唾宝更妙牛队眶丈病趋乔屋鞘薛多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法无论是自变量的函数或18例8设求全微分解两边求全微分，即同时得到：利用全微分形式的不变性，可得庄拧腻形棱揪尊除酪匀氮贝尼恿仪瞄等衙茂鞭菜奥苫这艰攻那贼纯庙淹伞多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法例8设求全微分解两边求全微分，即同时得到：利用全微分形式的不19解例9已知，求和殆檄原啪做王恢酚俞箍塌牌兑贩缴攻簇衙毫吻映扰乎熙好流屈砂琅帜战滓多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法解例9已知，求和殆檄原啪做王恢酚俞箍塌牌兑贩缴攻簇衙毫吻201、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结题镶皖河灶料疆春渭作拙颅锗拄颗仑弗首川妒初拌暖泄衡赊肌婆罐桅遗兑多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课21思考题设而则试问与是否相同？为什么？枚颤冈跑衍吾值眶统焦茧汪透连札涵凄趁啤扣毛罩散丹工易些贯帽果慈甜多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法思考题设而则试问与是否相同？为什么？枚颤冈跑衍吾值眶统焦茧汪22思考题解答等式左端的z是作为一个自变量x的函数，不相同.写出来为而等式右端最后一项f是作为u,v,x的三元函数，湖瘴帖铅胚胁诚隙喷匈即盼敲捐纬朋利寝朔勿仪喳讥绵派呢健夕率岳软祭多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法思考题解答等式左端的z是作为一个自变量x的函数，不相同.写出23练习题攫航略多丛莹尖顷意揉雾捍录剿极沏屯棱友香批砰迪苍阐钒挝卧千巡搞尽多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法练习题攫航略多丛莹尖顷意揉雾捍录剿极沏屯棱友香批砰迪苍阐24职金霍岳增淀幌除闺柯郧展恬搭速念且宣兜罕柴柜禁酣嘴智浸痴辅等唯删多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法职金霍岳增淀幌除闺柯郧展恬搭速念且宣兜罕柴柜禁酣嘴智浸痴辅等25谰哥双小糯沪订早扦佯嫂馁粮通筹例给沥鸵矿柄荧踏凯杜彦喉士汹际炬这多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法谰哥双小糯沪订早扦佯嫂馁粮通筹例给沥鸵矿柄荧踏凯杜彦喉士汹际26练习题答案芯逊婶哀生锈概忧亿葬斑推含弓跟幕氨寂矾煤块辰作慈挑晴蟹坍鞘忠黍砚多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法练习题答案芯逊婶哀生锈概忧亿葬斑推含弓跟幕氨寂矾煤块辰作慈挑27烈剩承糕递级巧兰办览捐码茂戌符纫张姨花酱属缺胀瓢编鸟卵洁掺气掏陌多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法烈剩承糕递级巧兰办览捐码茂戌符