线性代数第9讲课件

第四章向量组的线性相关性上页下页返回引例首页结束铃§1向量组及其线性组合§2向量组的线性相关性§3向量组的秩§4线性方程组的解的结构§5向量空间第四章向量组的线性相关性上页下页返回引例首页结束铃§1§4.1向量组及其线性组合或aT

(a1

a2

an)

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

其中a称为列向量(即列矩阵)

aT称为行向量(即行矩阵)

由数组a1

a2

an所组成的n维向量可记为上页下页铃结束返回补充例题首页§4.1向量组及其线性组合或aT(a1a2

(1)列向量用黑体小写字母a、b、

、

等表示

行向量则用aT、bT、

T、

T等表示

所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时

都当作列向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

其中a称为列向量(即列矩阵)

aT称为行向量(即行矩阵)

由数组a1

a2

an所组成的n维向量可记为说明下页(1)列向量用黑体小写字母a、b、、等表

(2)分量全为实数的向量称为实向量

分量为复数的向量称为复向量

或aT

(a1

a2

an)

向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

由数组a1

a2

an所组成的n维向量可记为说明

(3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算

其中a称为列向量(即列矩阵)

aT称为行向量(即行矩阵)

下页(2)分量全为实数的向量称为实向量分量为向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个m

n矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组

下页

向量向量组向量举例一个mn矩阵对应一个向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个m

n矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组

下页

向量向量组向量举例一个mn矩阵对应一个向量

n个有次序的数a1

a2

an所组成的数组称为n维向量

这n个数称为该向量的n个分量

第i个数ai称为第i个分量

向量组若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量举例

一个m

n矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组

下页今后

由列向量组A

a1

a2

am所构成的矩阵简记为A或(a1

a2

am)

向量向量组向量举例一个mn矩阵对应一个线性组合与线性表示设A

a1

a2

am是一向量组

表达式

k1a1

k2a2

kmam

称为向量组A的一个线性组合其中k1

k2

km是一组实数

称为这线性组合的系数

如果向量b是向量组A的线性组合b

1a1

2a2

mam

则称向量b能由向量组A线性表示

下页

问题:

如何判断向量b能否由向量组A线性表示？线性组合与线性表示如果向量b是向量组A的线性定理1

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是矩阵A

(a1

a2

am)与矩阵B

(a1

a2

am

b)的秩相等

即R(A)

R(B)

向量b能由向量组A

a1

a2

am线性表示线性方程组x1a1

x2a2

xmam=b有解R(A)=R(B)分析：定理1向量b能由向量组Aa1a2

例1

设a1

(1

1

2

2)T

a2

(1

2

1

3)T

a3

(1

1

4

0)T

b

(1

0

3

1)T

证明向量b能由向量组a1

a2

a3线性表示

并求出表示式

设A

(a1

a2

a3)

B

(A

b)

(a1

a2

a3

b)

因为所以R(A)

R(B)

因此向量b能由向量组a1

a2

a3线性表示

由上列行最简形

可得方程(a1

a2

a3)x

b的通解为从而得表示式

b

(a1

a2

a3)x

(

3c

2)a1

(2c

1)a2

ca3

其中c可任意取值

解

下页例1设a1(1122)T

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页问题:

如何判断向量组B能否由向量组A线性表示？等价？

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组B组能由向量组A线性表示

则存在矩阵K

(kij)

使若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页注

bj

k1ja1

k2ja1

kmjam(j

1

2

l)

矩阵K称为这一线性表示的系数矩阵

反之

若B

AK

则矩阵B的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示

>>>向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组B组能由向量组A线性表示

则存在矩阵K

(kij)

使若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页即B=AK.

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

(1)列向量组B组能由列向量组A线性表示

存在矩阵K,使得B=AK.若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页(2)行向量组B组能由行向量组A线性表示

存在矩阵K,使得B=KA.(3)列向量组A组和列向量组B等价

存在矩阵S,T,使得A=BS,B=AT.(4)行向量组A组和行向量组B等价

存在矩阵S,T,使得A=SB,B=TA.

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)

R(A

B)

下页分析:向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AX定理4

矩阵方程AX

B有解的充分必要件是R(A)

R(A

B)

回忆:

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)

R(A

B)

下页分析:R(A)=R(A,B)向量组B能由向量组A线性表示存在矩阵X,使得B=AX

向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

定理2

向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示的充分必要条件是R(A)

R(A

B)

推论向量组A

a1

a2

am与向量组B

b1

b2

bl等价的充分必要条件是R(A)

R(B)

R(A

B)

下页A能由B线性表示分析:R(B)

R(A

B)B能由A线性表示R(A)

R(A

B)R(A)=R(B)

R(A

B)

若矩阵A与B行等价

则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页分析:A与B行向量组等价矩阵A与B行等价?可逆阵P,使得B=PA

B=PA,A=P-1B

B=SA,A=TB

思考1:为什么不等价？

若矩阵A与B行等价

则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页分析:A与B行向量组等价矩阵A与B行等价?可逆阵P,使得B=PA

B=PA,A=P-1B

B=SA,A=TB

思考1:为什么不等价？

若矩阵A与B行等价

则这两个矩阵的行向量组等价

矩阵等价与向量组等价的关系向量组的等价

若向量组B

b1

b2

bl中的每个向量都能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则称向量组B能由向量组A线性表示

若向量组A与B能相互表示

则称这两个向量组等价

下页

定理3

设向量组B

b1

b2

bl能由向量组A

a1

a2

am线性表示

则R(b1

b2

bl)

R(a1

a2

am)

证明记A

(a1

a2

am)

B

(b1

b2

bl)

按定理的条件

根据定理2有R(A)

R(A

B)

而R(B)

R(A

B)

因此R(B)

R(A)

结束

非齐次线性方程组有解或Ax

b

矩阵的秩R(A)

R(A

b)向量的线性表示b

x1a1

x2a2

xnan方程观点矩阵观点向量观点非齐次线性方程组有解或Axb矩阵的秩R(A)R(A矩阵方程

AX

B

有解矩阵的秩R(A)

R(A

B)向量组的线性表示B

b1

b2

bl能由A

a1

a2

am线性表示方程观点矩阵观点向量观点矩阵方程AXB有解矩阵的秩R(A)R(AB)向矩阵方程

AX

B,BY=A

有解矩阵的秩R(A)

R(B)

R(A

B)向量组的线性表示B

b1

b2

bl能由A

a1

a2

am等价方程观点矩阵观点向量观点矩阵方程AXB,BY=A有解矩阵的秩R(A)R(小结概念：向量，线性组合，线性表示，向量组，向量组的线性表示，向量组的等价.性质：定理1

b能由向量组A

a1

a2

am线性表示

R(A)

R(B)

定理2

向量组B能由向量组A

线性表示

R(A)

R(A

B)

定理3

向量组B能由向量组A线性表示

R(B)

R(A)

推论向量组A与向量组B等价

R(A)

R(B)

R(A

B)

性质1

向量组B能由向量组A

线性表示

存在矩阵K，使得B

AK

性质2

向量组A与向量组B

等价

存在矩阵S,T使得A

BS,B=AT

小结概念：向量，线性组合，线性表示，向量组，向量组的线性表示§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

给定向量组A

a1

a2

am

如果不存在不全为零的数k1

k2

km

使

k1a1

k2a2

kmam

0.则称向量组A是线性无关的.

§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

换言之,

给定向量组A

a1

a2

am

若

k1a1

k2a2

kmam

0,

必有k1=k2==

km=0,则称向量组A是线性无关的.

§4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

显然有

(1)含零向量的向量组必线性相关

(2)一个向量a线性相关

a

0

(3)两个非零向量a1

a2线性相关

a1

ka2(即对应分量成比例)下页向量组的线性相关与线性无关显然有下页

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

向量组A

a1

a2

am(m

2)线性相关

向量组A中至少有一个向量能由其余m

1个向量线性表示

这是因为

:

如果向量组A线性相关

则有k1a1

k2a2

kmam

0

其中k1

k2

km不全为0

不妨设k1

0

于是

a1

(1/k1)(k2a2

kmam)

即a1能由a2

am线性表示

下页向量组的线性相关与线性无关向量组Aa1

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

向量组A

a1

a2

am(m

2)线性相关

向量组A中至少有一个向量能由其余m

1个向量线性表示

这是因为

:如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m

1个向量线性表示

即有

1

2

m

1

使am

1a1

2a2

m

1am

1

于是

1a1

2a2

m

1am

1

(

1)am

0

因为

1

2

m

1

1不全为0

所以向量组A线性相关

下页向量组的线性相关与线性无关向量组Aa1

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

下页问题:

如何判断向量组A是否线性表相关？向量组的线性相关与线性无关下页问题:如何判断向量组A是否线

向量组的线性相关与线性无关给定向量组A

a1

a2

am

如果存在不全为零的数k1

k2

km

使k1a1

k2a2

kmam

0

则称向量组A是线性相关的

否则称它线性无关

定理1

向量组A:a1

a2

am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A

(a1

a2

am)的秩小于向量个数m

向量组线性无关的充分必要条件是R(A)

m

这是因为

向量组A

a1

a2

am线性相关

x1a1

x2a2

xmam

0即Ax

0有非零解

R(A)

m

下页向量组的线性相关与线性无关定理1这是因为（i)(定义)若k1a1

k2a2

kmam

0,必有k1=k2==

km=0；给定向量组A

a1

a2

am线性无关的等价条件：（ii)(方程组)Ax

0仅有零解；（iii)(矩阵)R(A)=m.给定向量组A

a1

a2

am线性相关的等价条件：（i)(定义)存在不全为零的k1,k2,

km使得k1a1

k2a2

kmam

0（ii)(方程组)Ax

0有非零解；（iii)(矩阵)R(A)<m.（i)(定义)若k1a1k2a2kmam矩阵的秩R(A)<n向量的线性相关性a1,a2

,an线性相关齐次线性方程组有非零解或Ax

0

方程观点矩阵观点向量观点矩阵的秩R(A)<n向量的线性相关性a1,a2,an矩阵的秩R(A)=n向量的线性相关性a1,a2

,an线性无关齐次线性方程组仅有零解或Ax

0

方程观点矩阵观点向量观点三个角度各有长短，取长补短，灵活运用，举一反三,挥洒自如,游刃有余。矩阵的秩R(A)=n向量的线性相关性a1,a2,an庖丁解牛《庄子·养生主》

庖丁为文惠君解牛。手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于《桑林》之舞，乃中《经首》之会。

文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”

庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大？乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志；善刀而藏之。”

文惠君曰：“善哉！吾闻庖丁之言，得养生焉。”

庖丁解牛《庄子·养生主》学习线性代数不仅是会做题目，更重要的学习线性代数提供的思想和方法，用这些方法指导你做事。过十年，二十年后，也许题目你忘记怎么做了，但你学习到的思想和方法在你头脑中根深蒂固，为你提供强大的思想武器，使你终生受益。

注意：这些思想方法不通过勤奋学习，苦思冥想是不可能变为己有的。学习线性代数不仅是会做题目，更重要的学习设有x1

x2

x3使

x1b1

x2b2

x3b3

0

即

x1(a1

a2)

x2(a2

a3)

x3(a3

a1)

0

亦即(x1

x3)a1

(x1

x2)a2

(x2

x3)a3

0

因为a1

a2

a3线性无关

故有

例1

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法一（定义）

由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1

x2

x3

0

所以向量组b1

b2

b3线性无关

下页设有x1x2x3使例把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

例1

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法二（线性方程组）

因为矩阵A的列向量组线性无关

所以可推知Kx

0

又因|K|

2

0

知方程Kx

0只有零解x

0

所以矩阵B的列向量组b1

b2

b3线性无关

记作B

AK

设Bx

0

以B

AK代入得A(Kx)

0

下页把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

例1

已知向量组a1

a2

a3线性无关

b1

a1

a2

b2

a2

a3

b3

a3

a1

试证向量组b1

b2

b3线性无关

证法三（矩阵的秩）因为A的列向量组线性无关

所以R(A)

3

从而R(B)

3

因此b1

b2

b3线性无关

因为|K|

2

0

知K可逆

所以R(B)

R(A)

把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作B

AK

下页例1已知向量组a1a2a3线性无例2

设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a2,…as线性表示为（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K为s

r矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)＝r.

证明

向量组B线性无关设Bx

0

A(Kx)

0

把(b1,…,br)=(a1,..,as)K记作B

AK

充分性：A线性无关

Kx

0R(K)＝r

x

0例2设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a例2

设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a2,…as线性表示为（b1,…,br)=(a1,..,as)K,其中K为s

r矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)＝r.

证明

B

AK

R(K)

R(B)

把b1,…,br)=(a1,..,as)K记作B

AK

必要性：B线性无关

r

R(K)

R(K)＝r

R(B)=r

R(K)r例2设向量组B：b1,b2,…,br能由向量组A：a1,a

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关

则向量组B

a1

a2

am

am

1也线性相关

反之

若向量组B线性无关

则向量组A也线性无关

这是因为

记A

(a1

a2

am)

B

(a1

a2

am

am

1)

有R(B)

R(A)

1

若向量组A线性相关

则有R(A)

m

从而R(B)

R(A)

1

m

1

因此向量组B线性相关

下页定理2这是因为记A(a1a2

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关

则向量组B

a1

a2

am

am

1也线性相关

反之

若向量组B线性无关

则向量组A也线性无关

这个结论可一般地叙述为

一个向量组若有线性相关的部分组

则该向量组线性相关

一个向量组若线性无关

则它的任何部分组都线性无关

特别地

含零向量的向量组必线性相关

下页定理2这个结论可一般地叙述为一个向量

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关

则向量组B

a1

a2

am

am

1也线性相关

反之

若向量组B线性无关

则向量组A也线性无关

(2)m个n维向量组成的向量组

当维数n小于向量个数m时一定线性相关

特别地

n

1个n维向量一定线性相关

这是因为

m个n维向量a1

a2

am构成矩阵An

m

(a1

a2

am)

有R(A)

n

若n

m

则R(A)

n

m

故m个向量a1

a2

am线性相关

下页定理2(2)m个n维向量组成的向量组

定理2(1)若向量组A

a1

a2

am线性相关

则向量组B

a1

a2

am

am

1也线性相关

反之

若向量组B线性无关

则向量组A也线性无关

(2)m个n维向量组成的向量组

当维数n小于向量个数m时一定线性相关

特别地

n

1个n维向量一定线性相关

(3)设向量组A

a1

a2

am线性无关

而向量组B

a1

a2

am

b线性相关

则向量b必能由向量组A线性表示

且表示式是唯一的

这是因为

记A

(a1

a2

am)

B

(a1

a2

am

b)

有即向量b能由向量组A线性表