2023年黄冈中学自主招生考试数学试卷

第第10页〔共22页〕2023年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷15分〕方程组的解是．一、填空题〔15分〕方程组的解是．35 分〕设﹣1≤x2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+235 分〕设﹣1≤x2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差445分〕两个反比例函数= = 在第一象限内的图象如以下图．点P1P2，P、…、P32023在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x、x、x、…、x ，123P、…、P32023在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x、x、x、…、x ，1232023y=的图象交点依次为Q〔xyQ〔xy…Q〔x ，1 111 222 202320232023，则20232023

Q |= ．55分〕如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1A是底面圆周上一点，从点动身绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是 ．65分〕有一张矩形纸片D9，将纸片折叠使AC两点重合，那么折痕长是 ．75分〕3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程2﹣x+0的两个根，则这五个数据的标准差是 ．85分假设抛物线2﹣+p+1中不管p取何值时都通过定点则定点坐标为 ．二、选择题〔每题540分〕95分〕CDECDE21M在边上交于则等于〔 〕A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：10A．B．D．0〔5分〕假设始终角三角形的斜边长为A．B．D．A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤21〔5A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤22〔5分〕33.154824.21件共需〔〕A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元A．B．C．D．4〔5分〕D1，和都是以1为半径的圆弧，则3〔5分〕设关于xa2〔a+2A．B．C．D．4〔5分〕D1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两局部的面积之差是〔 〕A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣A．1＜x＜B．C．D．A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣A．1＜x＜B．C．D．6〔5分〕x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了〔 〕A%B．1+% 〔1+〕% D〔2+〕三、解答题〔共40分〕〔7分m是不小于1x2+〔m﹣2m2﹣m+x1、x2，〔1〕x2+x2=6m值；〔2〔2〕求的最大值．OC的长及的值；8〔7分〕如图，开口向下的抛物线2﹣+axAB两点，抛COC的长及的值；BCyPCBPBP和抛物线的解析式．9〔7分〕某家电生产企业依据市场调查分析，打算调整产品生产方案，预备每周〔按120个工时计算〕生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：工 时家电名称工 时

空调 彩电 冰箱4 3 2〔以千元为单位〕0〔9分〕3个孩子，求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；求这个家庭至少有一个男孩的概率．1〔0分〕O和⊙、BA的切线交B作两圆的割线分别交⊙OEP．〔2〕求证：；〔1〔2〕求证：；PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．2023年湖北省黄冈中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析15分〕方程组的解是和．15分〕方程组的解是和．x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，【分析】依据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为ax+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形〔 + 〕2﹣3 =13，﹣3=9，a+b=26，所以解这个方程组得或，于是〔1〕 ，解得；〔2〕 ，解得．故答案为 和．解题的关键，需要同学们认真把握．25分假设对任意实数x不等式a＞b都成立那么ab的取值范围为b＜0 ．【分析】a=0，a≠0两种状况分析．a≠0a0xax＞b都成立是不行能的，ax=0，∴b＜0确定成立，a=0，b＜0．此题是利用了反证法的思想．35分设1≤≤则|﹣2|﹣|35分设1≤≤则|﹣2|﹣||+|+2|的最大值与最小值之差为1 ．|x|+|x+2|=2|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，14545分〕两个反比例函数= = 在第一象限内的图象如以下图．点P1P2，P、…、P32023在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x、x、x、…、x ，123P、…、P32023在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x、x、x、…、x ，1232023y=的图象交点依次为Q〔xyQ〔xy…Q〔x ，1 111 222 2023，则|Q |=2023．【分析】要求出|P Q

|的值，由于纵坐标分2023 2023

2023

2023的坐标是〔Px2023，3P上，1，3的坐标是〔Px2023，3P上，y= 的值那么|P2023Q |=y= 的值那么|P2023Q |=|Qy ﹣Py202320232023在y= 上，∴Px2023=．Qx2023即在y= 上，∴Px2023=．Qx2023即Px 〕在y=2023，所以Qy =2023==，2023∴|P2023Q |=|Py20232023﹣Qy |=|∴|P2023Q |=|Py20232023﹣Qy |=|4013﹣2023|=．故答案为：．A点的最短的路线长是3．55分〕如图，圆锥的母线长是3A点的最短的路线长是3．∴折线长=2EF=∴折线长=2EF=．故答案为．2π2π=A2π2π=2×3sin60°=32×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面开放图与原来的扇形之间的关系是解决此题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．那么折痕长是．65分〕有一张矩形纸片D9，将纸片折叠使AC那么折痕长是．EF的长．AC=15ACEFGABF〔，5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴== ．∴EF=．∴== ．∴EF=．此题综合考察了矩形的性质，勾股定理，相像，全等等学问点．75分〕3，a，4，b，5a，b2﹣x+0的两个根，则这五个数据的标准差是．个根，则这五个数据的标准差是．x2﹣3x+2=01，2a=1，b=2其平均数〔3+1+4+2+5〕其平均数〔3+1+4+2+5〕=3方差S2= [〔3﹣3〕2+〔1﹣3〕2+〔4﹣3〕2+〔2﹣3〕2+〔5﹣3〕2]=2故五个数据的标准差是S==故此题答案为：．故五个数据的标准差是S==故此题答案为：．〔1〕计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；标准差即方差的算术平方根；留意标准差和方差一样都是非负数．85分假设抛物线2﹣+p+1中不管p取何值时都通过定点则定点坐标为〔4，33〕 ．0p取何值抛物线都通过x、y的对应值，确定定点坐标．y=2x2﹣p〔x﹣4〕+1，x=4时，y=33p的取值无关；p取何值时都通过定点〔4，3．简函数式，提出未知的常数，化简后再依据具体状况推断．二、选择题〔每题540分〕95分〕CDECDE21M在边上交于则等于〔 〕A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：10从而不难得到答案．CE：CD=CM：CA=1：3AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴AH=〔3﹣〕ME，∴HD：ME=BD：BE=3：5∴AH=〔3﹣〕ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5∴BH=K，∵BH：HM=3：∴BH=K，∴BH：HG∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10此题主要考察相像三角形的性质的理解及运用．A．B．D．0〔5分〕假设始终角三角形的斜边长为A．B．D．b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则【分析】b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则的比是．ar+〔r+2的比是．S=，a，bS=，又∵r=，a+b=2r+c又∵r=，a+b=2r+cS=r〔r+．∴它们的比是．πr2∴它们的比是．B．此题要生疏直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的题的关键．1〔5分〕21，2，1，2围成的正方形有公共点，a的取值范围是〔〕A．A．≤a≤1B．≤a≤2C．≤a≤1D．≤a≤2解：由右图知：1221再依据抛物线的性质，|a|越大开口越小，得得a= ，a的范围介于这两点之间，故≤aa的范围介于这两点之间，故≤a≤2．结合．2〔5分〕33.154824.21件共需〔〕A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三x+y+z的值．依据题意得，x，y，z依据题意得，②﹣①++z=1.05〔元．解答此题的关键是依据题意列出方程组，同时还要有整体思想．A．B．C．D．3〔5分〕设关于x的方程a2〔a+2+0，有两个不相等的实数根12，A．B．C．D．【分析】1、依据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出1a1＜1＜2，即〔x﹣1〔2﹣1〕＜0，12﹣〔1+2〕+11＜0a的取值范围．y=ax2+〔a+2〕x+9ax1左右两侧，x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．a≠0且△＞0，解得﹣＜a＜，由〔a+2〕2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x∵x1+x2=﹣，x1x2=9，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么1﹣1〔2﹣1〕＜0，9++1＜0，解得＜a＜0，∴x1x9++1＜0，解得＜a＜0，最终a的取值范围为：最终a的取值范围为：＜a＜0．y=ax2+〔a+2〕x+9a，11，两侧，时，x=1时，y＜0，∴a＜﹣〔不符合题意，舍去，∴a+〔a+2∴a＜﹣〔不符合题意，舍去，时，x=1时，y＞0，∴a＞﹣，∴a+〔a+2〕+9a∴a＞﹣，∴﹣＜a＜∴﹣＜a＜0，【点评】总结：1、一元二次方程根的状况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；2、根与系数的关系为：x1+2、根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1x2=．44〔5分〕D1，和都是以1为半径的圆弧，则A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣的面积之差，即﹣1=．A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣的面积之差，即﹣1=．解：如图：②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．3 1 正方形的面积=S1+S2+S②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．3 1 A．出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．A．1＜x＜B．C．D．5〔5分锐角三角形的边长是2A．1＜x＜B．C．D．【分析】依据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．【解答】1＜x＜5下面求该三角形为直角三角形的边长状况〔此为临界状况2的边对应的角必为锐角〔2＜3，短边对小角〕3x为斜边的状况．1＜x＜√53为最大边的钝角三角形；x为最大边的钝角三角形．综上可知，当√5＜x＜√13时，原三角形为锐角三角形．B．此题考察了锐角三角形的三边关系定理，勾股定理，有确定的难度．6〔5分〕x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了〔 〕A%B．1+% 〔1+〕% D〔2+〕【分析】1x%，则其次季度的1×〔1+1×〔1+〕×〔1+，化简即可．x%．D．值增长关系．三、解答题〔共40分〕〔7分m是不小于1x2+〔m﹣2m2﹣m+x1、x2，〔1〕x2+x2=6m值；〔2〔2〕求的最大值．〔1〕m的取值范围，利用根与系数的关系，m的值．〔2〕把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4〔m﹣2〕2﹣4〔m2﹣3m+3〕=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．〔1〕∵x2+x2=〔x+x〕2﹣2xx=4〔m﹣2〕2﹣2〔m2﹣3m+3〕=2m2﹣10m+10=6∴，1 2 1 2 1∴，∴；∵﹣1≤m＜1∴；〔2〕==〔﹣1≤m＜〔2〕==〔﹣1≤m＜1．别式△=b2别式△=b2﹣4ac来求出mx1+x=2x=12来化简代数式的值．OC的长及的值；8〔7分〕如图，开口向下的抛物线2﹣+axAB两点，抛COC的长及的值；BCyPCBPBP和抛物线的解析式．A、BOA、OBOCOA、OBCOCABCAC的比例关系．OBPOC=BC，OCBCxC点BPC点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．解：a＜0，∴∴抛物线解析式为：．又点在抛物线上∴得，x2﹣8x+12=0原式可化为﹣2〔﹣6〕x1=2，x∴∴抛物线解析式为：．又点在抛物线上∴于是OA=2，OB=6而=== ，故CBP的中点又∴C又∴〔6，0，，则有〔6，0，，则有∴∴等学问点．9〔7分〕某家电生产企业依据市场调查分析，打算调整产品生产方案，预备每周〔按120个工时计算〕生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：工 时家电名称工 时

空调 彩电 冰箱4 3 2〔以千元为单位〕【分析】x台、y台、z台，建立A=4x+3y+2z60台，即z≥60x+y≤300360台，故有x≥30台，x，y，z的值．，x台、y台、z台，则有，3x+y=360，∵z≥60，∴x+y≤300，∴x+360﹣3x≤300，∴x≥30，∴A≤1050，千元〕【点评】此题的实质是考察三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”“二元”转化为“一元”未知”转化为“”和把简洁问题转化为简洁问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．0〔9分〕3个孩子，求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；求这个家庭至少有一个男孩的概率．21个女孩的结果数和至少有一