山西省大同市铁路某中学2022-2023学年数学高一年级上册期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.设函数f(x)=asinx+bcosx,其中a,bGR,abWO,若f(x)(—)对一切xGR恒成立，则下列结论中正确

6

的是()

A陪卜。

B.点是函数f(x)的一个对称中心

C.f(x)在(0,胃上是增函数

D.存在直线经过点(a,b)且与函数f(x)的图象有无数多个交点

2.若用二分法逐次计算函数/(x)=lnx+x在区间［0.5,1］内的一个零点附近的函数值，所得数据如下:

X0.510.750.6250.5625

“X)-0.19310.4620.155-0.013

则方程lnx+x=O的一个近似根(精度为0.1)为()

A.0.56B.0.57

C.0.65D.0.8

3.如图：在正方体A8CD-中，设直线A内与平面4。。与所成角为耳，二面角4一。。一4的大小为

%,则4©为

A.45°,30°B.30°,45°

C.30°,60°D.60°,45°

7C

4.已知函数/(x)=2sinCOXd-----（其中0>0）的最小正周期为万,

B.-G

D.也

5.如图所示，已知全集。=1i,集合4={1,3,5,7},8={4,5,6,7,8},则图中阴影部分表示的集合为。

A.{1,3}B.{5,7}

C.{1,3,5)D.{1,3,7)

6.下列说法正确的有。

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④圆锥的轴截面是等腰三角形.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

7.sin210°的值为（）

A.—B.--

22

C.BD.一走

22

8.已知集合。={1,2,3,4,5},A={2,3,5},3={2,5},则（）

A.AqBB.Q/3={1,3,4}

C.AUB={2,5}D.ACB={3}

9.已知函数/（力=2'-《，则下列区间中含有/（x）的零点的是（）

A.（-1,O）

C.（l,2）D.（2,3）

10.已知角a的终边经过点（12,4）,贝hina等于（）

A.iB.i

5二

C.2D.J_

13~3

11.已知角a的终边过点P（4a,-3a）（a<0）,贝!]2sin（z+cosa的值是（）

22

A.--B.-

55

22

C.OD.-1或不

12.下列函数中既是偶函数，又在（0,+8）上单调递增的是（）

Ay=x3B.y=9-x2

c.y=ND.y=—

X

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13.函数/（x）=2sin（5+e）（A>0,6y>0,|*|<、）的部分图象如图所示.若尤|,々6（0,2万），且

/（占）=/（%2）=一百，贝口|+%2=

TT

14.把函数y=sinx的图像向右平移石后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得函数解析式是

O

15.在直三棱柱ABC-44G中，若/区4。=90。,43=4。=44],则异面直线8人与AQ所成的角等于

16.求值：21。号-（旦）《+电」一+（亚—1）&=

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.已知幕函数，(x)=(—2帆2+m+2)x'"M为偶函数

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数y=/(x)—2(a—l)x+l在区间(2,3)上为单调函数，求实数。的取值范围

JI

18.已知函数/(x)=2cosx-sin(x-§),XGR

(I)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(II)求f(x)在区间「上的最大值和最小值

63

19.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x

,1O

台机器人的总成本p(x)=---x"+x+150万兀.

600

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排，〃人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,

.Q

一7?/(60-m),1<m<30

经实验知，每台机器人的日平均分拣量式加)=15(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日

480,优>30

的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减

少多少？

20.如图，某公园摩天轮的半径为40m,圆心。距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天

轮上的点P的起始位置在距地面最近处.

(1)已知在，(min)时点p距离地面的高度为/«)=Asin3f+e)+“A>0,口>0」夕区会)，求r=2020时，点尸

距离地面的高度；

(2)当离地面(50+206)m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点尸处有多少时间可以看到公园的全貌.

21.如图所示，正四棱锥P-ABC。中，。为底面正方形的中心，侧棱Q4与底面A3CO所成的角的正切值为理

p

(D若E是心的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值

(2)在棱AO上是否存在一点使所，侧面PBC,若存在，试确定点尸的位置；若不存在，说明理由

22.已知集合4={划3349},集合3={x[(x+l)(x—5》。}.

(1)求集合B；

(2)求ADB

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、D

【解析】根据f(X)(I£T)对一切XCR恒成立，那么x=7T£取得最小值.结合周期判断各选项即可

66

【详解】函数f(x)=asinx+bcosx=+:sin(x+。)，sin(p=j,卜周期T=2?r

TT7TITJT7T/.TT

由题意x=一取得最小值，a,bWR,abHO,，f(一)=0不正确；x=一取得最小值，那么一+一=一就是相邻的对称

636623

中心，.•.点(学,0)不是函数f(x)的一个对称中心；因为x=；取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f(x)在[o,71

661

是减函数

故选D

【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力

2、B

【解析】利用零点存在性定理和精确度要求即可得解.

【详解】由表格知在区间(0.5625,().625)两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1,符合精度要求,

因此，近似值可取此区间上任一数

故选：B

3、B

【解析】连结BG,交BC于O,连结AiO,

•.,在正方体ABCD-AiBiGDi中，BCi±BiC,BCi±DC,

平面AiDCB”...NBAiO是直线AiB与平面AIDCBI所成角

VBO=—AiB,/.01=30°；

2

VBC±DC,BiC±DC,

ZBCBi是二面角Ai-DC-A的大小02,

VBBi=BC,且BB」BC,A02=45°

故答案选：B

4、D

【解析】根据正弦型函数的最小正周期求处从而可求了［7］的值.

27r

【详解】由题可知，一二"=勿=2,

CD

:./f->|=2sinf2x-+->|=2cos-=2x—=73.

UJI46)62

故选：D.

5、A

【解析】根据文氏图表示的集合求得正确答案.

【详解】文氏图表示集合为

所以An(em={i,3}.

故选：A

6^A

【解析】对于①：利用棱台的定义进行判断；

对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；

对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可判断;

对于④：利用圆锥的性质直接判断.

【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形

的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；

对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；

对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；

对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.

故选：A

7、B

【解析】由诱导公式可得sin2100=-si〃30°=-L故选B.

2

8、B

【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.

【详解】由题故A错；

•••u={123,4,5},8={2,5},.•.Q,B={1,3,4},B正确；

AUB={2,3,5},C错；

Ac5={2,5},D错；

故选:B

9、C

【解析】分析函数/(力的单调性，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】由于函数y=2'为增函数，函数)，=-1在(—8,0)和(0,+8)上均为增函数，

所以，函数./'(可=2"-：在(F,0)和(0,+8)上均为增函数.

对于A选项，当xe(—1,0)时，才>0，-1>0,此时，,f(x)>0,

所以，函数/(x)在(一1,0)上无零点；

53

对于BCD选项，当x>0时，/(1)=-3<0,/(2)=4--=->0,

由零点存在定理可知，函数/(x)的零点在区间(1,2)内.

故选：C.

10、D

【解析】由任意角三角函数的定义可得结果.

【详解】依题意得'in.-「名-2.

sia-Jg-3-~3

故选：D.

11、B

【解析】根据三角函数的定义进行求解即可.

【详解】因为角a的终边过点P(4a,-3a)(a<0),

4a4a^a4

所以co,而时1

.—3a—3ci—3ci3

sg标RFW"丁

342

2sin«+cos«=2x------=—,

555

故选：B

12、C

【解析】

根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A,y=V,奇函数，不符合题意；

对于5,y=9-胃，为偶函数，在(0,+8)上单调递减，不符合题意；

-fx,x>0

对于c,y=x=<八，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递增，符合题意;

1|-x,x<0

对于。，y=1为奇函数，不符合题意；

X

故选：C.

【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

8乃旱

13>##—71

33

\\

71

【解析】根据函数y=/(x)的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点玉%+—

6”

兀

%2+(，/(%+()］关于直线X3对am称,进而得出内+々・

2

31\JCJi3TC

【详解】由图象可知，-T=-------=—，即7=2〃,

4632

2/r

则刃=T

此时，/(x)=2sin(x+0),

由于/(?J=2sin[0+"J=2,,,71

l^l<-

所以3=2，即/(x)=2sin

6

内,工2w(0,2乃)，且/(xj=/(X2)=-V3,

iHI~一入冗兀〜37r-

由图象可知，x(H--FxH—=2x—=37r,

6262

8i

则%,+x

2T

故答案为：y

14>y=

【解析】利用三角函数图像变换规律直接求解

【详解】解：把函数y=sinx的图像向右平移£后，得到y=sin

8

再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin(1-?),

故答案为：y-sin(x--JTT)

28

15、60°

【解析】如图以点A为坐标原点，分别以AC,A8,A4,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】解：因为三棱柱A8C-为直三棱柱，且NB4C=90。，

所以以点A为坐标原点，分别以ACA8,44,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设AB=AC=AAj=1,则

A(o,0,0),5(0,1,0),4(0,0,1),G(1，0,1),

所以区<=(0,—1,1),AC,=(1,0,1),

所以3网,南”氤尚=Oxl-lxO+lxl

2

因为异面直线所成的角在(0°,90°],

所以异面直线B4与ACt所成的角等于60°,

故答案为：60°

【点睛】此题考查异面直线所成角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.

16、-3

【解析】利用对数、指数的性质和运算法则求解

【详解】解：2“叼一(2)行+坨诉+(V2-D|R,

42/丁1UU

17?

=--[<y)3l-i_2+(V2-1)0

19~

=------2+1

44

=-3

故答案为-3

【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的

合理运用

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17、(1)f(x)=x12;(2)aW3或a»4.

【解析】⑴由/(x)为嘉函数知-2根2+m+2=1,得m=1或，〃==

2

又因为函数为偶函数，所以函数/(©=/不符合舍去

当加=1时,f(x)=x2,符合题意；

f(x)=X2.

⑵由(1)得y=x?一2(。-l)x+l,

即函数的对称轴为x=a—1,

由题意知卜=/一2(。一1)》+1在(2,3)上为单调函数，

所以。一142或。一123,

即a43或。24.

18、(I)最小正周期是万，单调递增区间是法乃—五Jr次乃+=57]r(〃eZ).

(II)最大值为0,最小值为一1一巫.

【解析】详解】试题分析:

(I)将函数解析式化为“X)=sin―,可得最小正周期为乃；将2%-工代入正弦函数的增区间可得函

23

数的单调递增区间是k7v--.kjr+——(ZwZ).(II)由xw可得2不一工£,故

_1212」|_o3J3|_33_

sin(2x—：)e一1岑，从而可得函数/(》)在区间一亲。上的最大值为0，最小值为-1-4

试题解析:

(I)/(x)=2cosx-sinx----=2cosx—siar----cosx

=—sin2x-5/3COS2X

22

所以函数/(x)的最小正周期是乃，

由2k7r---42x---<2kjiH—,kwZ,

232

得女"一土<X<k7T+—,k€Z,

1212

jr'4

所以/(x)的单调递增区间是k兀一五★兀+q(Arez).

,7171,

(II)当~~­时,

63

2>(2万71

T57

所以sin（2x-g卜

所以“X）在区间-崇。上的最大值为0,最小值为一1一日.

点睛：解决三角函数综合题

(1)将/U)化为/(x)=o«>w+bcosx的形式:

b

2a)

构造fM=\la+b-(sin?c-+cos?v・r

yla2+b2

（3）逆用和（差）角公式得到f（x）=^la2+h2sm?x+（p（其中9为辅助角）；

（4）利用/*）=$?+/sin?x+e,将x+。看做一个整体，并结合函数y=sinx的有

关知识研究三角函数的性质

19、（1）300台；（2）90人.

【解析】Q）每台机器人的平均成本为y=e区,化简后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引进300台

X

机器人，并根据分段函数求300台机器人日分拣量的最大值，根据最大值求若人工分拣，所需人数，再与30作差求解.

【详解】（1）由总成本p（x）=—L/+X+150,

600

x2+x4-150

可得每台机器人的平均成本）,=p（x）=60Q1150「

=——x+——+1

xX600x

因为"-U+空1、一x150,~

+1N21-----x-----+1=2.

600x600x

当且仅当上=空，即x=300时，等号成立.

600x

,若使每台机器人的平均成本最低，则应买300台.

（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量为:

当1VmV30时，300台机器人的日平均分拣量为160皿60—m)=-160m2+9600m

，当机=30时，日平均分拣量有最大值144000.

当相＞3()时，日平均分拣量为480x3(X)=144(XX)

•••300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.

若传统人工分拣144000件，则需要人数为詈1=120(人).

•••日平均分拣量达最大值时，

用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120-30=90(人).

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，根据实际问题抽象出函数关系，并会求最值，本题最关键的一点时会

求30(%(加)的最大值.

20、(1)70m；(2)0.5min.

【解析】(1)根据题意，确定了⑴=加皿&+⑼+”的表达式，代入「=2020运算即可；(2)要求/Q)〉50+20石，

BPcos—f<-—>解不等式即可.

32

【详解】(1)依题意，A=4(),h=50,T=3,

由四=3得0=生，所以/(f)=40sin[M，+9]+50.

co3\3j

因为/(0)=10,所以Sin9=—1,又Ie区2,所以0=-2.

22

所以f(t)=40sin(争一9+50(?>0),

所以/(2020)=40sin(杏x2020-^+50=70.

即t=2020时点P距离地面的高度为70m.

八(2乃乃、2兀

(2)由(1)知/⑺=40而[彳一万)+5。=50—408$5，«20).

令/Q)>50+20G，即cos二/<一正，

32

.।__.5TL2^^_.77C/,__MS\

从而2攵TTH---<—t<2k兀H---(Z£N)

636v79

,3攵+?V,v3攵+：(攵£N)

•.•3k+（—（3A:+j）=g=0.5（A:eN"）,

二转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.

【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出

正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题

21、（1）2叵；（2）/为四等分