陕西省汉中2023年高考临考冲刺数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知尸为圆C：（x—5>+y2=36上任意一点，4—5,0）,若线段Q4的垂直平分线交直线PC于点。，则。点

的轨迹方程为（）

x2y2x2上1

A+±=1B.

~916~916

22

c.x—21=1(x<0)nx-21=1(x>0)

V16~916

2.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面

积为（）

1N

正视图Mntre

A.2B.5C.713D.您

3.已知数列｛为｝的前"项和为S“，a,=1,生=2且对于任意〃>1,〃€“满足可用+5,1=2（5“+1）,则（）

A.%=7B.516=240C.6r10=19D.520=381

4.在直角坐标平面上，点P（x,y）的坐标满足方程2x+y2=。，点。（a,。）的坐标满足方程

/+〃+6a—昉+24=0则二的取值范围是（）

x-a

-4-布-4+近.16-776+77

A.[-2,2]-3,--D.---,---

-3~~，-3-3J33

z.

5.已知复数Z1=l+ai(aeR),z2=l+2i（i为虚数单位），若」为纯虚数，则4=（）

Z2

11

A.B.2C.——D.-

22

6.已知双曲线土-1（。＞0）的渐近线方程为瓜土y=0,则Z?=（）

4

「V3

A.2GB.6Vx•------------D.473

2

7.已知函数/(x)=sin(0x+6),其中。＞(),,其图象关于直线x=£对称，对满足|/（%）-/（々）|=2

6

的王，/，有.=~＞将函数（）的图象向左平移?个单位长度得到函数）的图象，则函数（）的单

।।mIn2/X6g*gX

调递减区间是（）

,71,71

A.K7T------,k冗d---(ZeZ)k7i、k兀+%[k€Z)

62

,n.5万.71.7万

c.K7V-\——，攵乃+——(丘Z)K7T+—，攵乃+——(丘Z)

361212

若z=」一，则z-5=()

8.设i为数单位，N为z的共物复数,

3+i

11

B.—iC.-----D.----

To10100100

9.已知三棱锥尸一ABC中，AABC是等边三角形，AB=4y/3,PA=PC=2s/5,PA1BC,则三棱锥产一ABC的

外接球的表面积为（)

A.25万B.75%C.80%D.1004

10.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

11,设函数/（X）在R上可导，其导函数为了'（X）,若函数/（X）在尤=1处取得极大值,则函数y=-V'（x）的图象

12.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）

D.32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若。+力。（），则"+从+厂'的最小值为.

14.设函数/。）=-3/+6无在区间口,切上的值域是［-9,3］,则。一”的取值范围是.

15.抛物线y=4/的焦点/到准线/的距离为.

16.已知双曲线方=1的左、右焦点分别为耳，鸟，P为双曲线上任一点，且/¥；•"的最小值为-7,则该双

曲线的离心率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖

风景区等等.

（D为了解“五•一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000

人，制成了如图的频率分布直方图:

现从年龄在［42,52］内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄

在［47,52］内的人数为求P（J=3）；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型

游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将

每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

频数（年）244

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量

相互独立.

该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客

流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表:

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

A型游船最多使用量123

若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投

入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，y的

数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船

才能使其当日获得的总利润最大？

18.（12分）已知/（x）=|x-l|+|x+a|（aeR）.

（I）若。=1,求不等式/（x）>4的解集；

14

（口）VmG（0,l）,3xeR,-+-->/（/）,求实数。的取值范围.

0mi-m

22

19.（12分）设直线/与抛物线2y交于A8两点，与椭圆?+a=1交于C,。两点，设直线OA,O8,OC,8

（。为坐标原点）的斜率分别为勺，k2,%,kA,若。

（1）证明：直线/过定点，并求出该定点的坐标；

（2）是否存在常数X,满足4+&="%+%）？并说明理由.

20.（12分）若。>0/>0,且'+1=疝

ab

（1）求的最小值；

（2）是否存在。乃，使得2。+3/?=6?并说明理由.

21.（12分）已知椭圆C：2=1Ca>b>0）的左、右顶点分别为A、B,焦距为2,点P为椭圆上异于A、

3的点'且直线PA和依的斜率之积为-

（1）求。的方程；

\APi\AQ\

（2）设直线AP与y轴的交点为Q,过坐标原点。作。W〃AP交椭圆于点”，试探究是否为定值，若

|OM『

是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21

22.（10分）已知函数/（力=尹；二一111（》+1）->（））,且曲线y=/（x）在X=1处的切线方程为y=gx+尻

（1）求/（X）的极值点与极值.

（2）当ZN；,xw[0,+oo）时，证明：f（x）<kx2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

如图所示：连接。A,根据垂直平分线知QA=QP,||QC|-|QA||=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接根据垂直平分线知QA=QP,

故||QC|—|Q4||=||QC|TQP||=|PC|=6<10,故轨迹为双曲线,

22

2a=6,a=3,c=5,故Z?=4,故轨迹方程为——=1.

916

故选：B.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

2.D

【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

S2

P-ABC.S^AC==V13,S"AC=后，^BC=＞故最大面的面积为夜.选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.

3.D

【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当〃..2时,Se+S“_\=2(5.+1)nSn+I-Sn=S„-S„_,+2nan+l=an+2.

二1

所以数列[4』从第2项起为等差数列，4=ccC，

[2n-2,n..2

所以，«4=6,ai0=18.

S„=«,+(♦+?(”-D=“(…+i,兀=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

4.B

【解析】

由点P（x,y）的坐标满足方程x2-2x+y2=o,可得「在圆（龙-叶+；/=1上，由。（他）坐标满足方程

/+〃+6。_8。+24=0,可得。在圆（x+3y+（y—4）2=1上，则三=%也求出两圆内公切线的斜率，利用数

形结合可得结果.

【详解】

V

点p（x,y）的坐标满足方程x2-2x+y2=Q,

.♦.P在圆+y2=1上，

Q（a,b）在坐标满足方程/++6。一&?+24=0,

••.Q在圆（x+3y+（y—4）2=1上,

则上女=&。作出两圆的图象如图，

x-a

设两圆内公切线为AB与8，

由图可知k^B—kpQ«kCD,

设两圆内公切线方程为丫="+加，

k+，同

I纥二|_旬八时=卜3n"一4|,

则〈

,J1+F1

圆心在内公切线两侧，，左+，〃=一（一3%+加一4）,

.\k+m\|2%+2|

可得左+2,・.—/—―/—1

1+k2\+k2

化为弘2+8左+3=0，3=14士",

3

pnL__4-5/7_-4+V7

即^AB-'kcD-2

一4_近，y_b,,_4+V7

*<-I-=kpQ<-'

3x-a3

-4+

-y-—b的,取值范围-一4-一、一—yfy,故选民

x-a133

【点睛】

本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形

之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着

奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数

形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.

5.C

【解析】

把Z|=l+ai(aeR),Zz=l+2i代入且，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可.

【详解】

,:Z]=1+ai(a£R),z2=1+2z,

.Z]_1+出_(1+c”)(l一2i)_1+2。a-2.

A~T+2?~(1+2/)(1-2i)-5

z.

•••,为纯虚数,

Z2

l+2a=0

，解得a=—・

a-2w02

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题.

6.A

【解析】

221_

根据双曲线方程?-5•=1(b>0),确定焦点位置，再根据渐近线方程百x土y=0得到==百求解.

【详解】

22

因为双曲线二一[=1（人＞0）,

4b2

所以。=2,又因为渐近线方程为Gx±y=0,

所以2=g,

a2

所以匕=26.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7.B

【解析】

根据已知得到函数/（X）两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得力的值，结合其对称轴，求得。的值，进而求得

/（X）解析式.根据图像变换的知识求得g（x）的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得g（x）的单调递减区

间.

【详解】

解：已知函数/（x）=sinM+e）,其中切＞0,0e（0,3其图像关于直线x=?对称，

对满足|/（普）—/（工2）|=2的西，x2,有ki-wlmin=]=；♦§，二0=2・

TTTTTT

再根据其图像关于直线x=j对称，可得2、二+夕=%万+二，kez.

662

二（9=看，二/（x）=sin（2x+?）

7T{7C71\

将函数/（X）的图像向左平移菅个单位长度得到函数g（x）=sin2x+y+-=cos2x的图像.

71

令2攵乃42]42攵4+不，求得左万＜1＜攵乃+一,

2

71

则函数g（x）的单调递减区间是k7T,k7v+-,keZ,

故选B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中

档题.

8.A

【解析】

由复数的除法求出z,然后计算丁丁

【详解】

z=_1_-___3-_z__—_3—_1,.

-3+厂(3+。(37)-1010'

._,3131.、/3、2/1、21

.•Z•Z—(------------/)(---1--Z)—(—)+(—)=—.

10101010101010

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘除法运算，考查共甄复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键.

9.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取8c中点M，可证明3C,平面从而即可证明三棱锥P-ABC为

正三棱锥.取底面等边A48C的重心为。，可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性

质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设M为BC中点,AABC是等边三角形，

所以

又因为A4J.BC,且Q4AM^A,

所以平面24”,则3CLPA/,

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥。一ABC为正三棱锥，Afi=473,PA=PB=PC=2底

设底面等边AABC的重心为O',

可得A<7=§AM=§X6=4,po7P霜—AO?=.20-16=2,

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示：

由球的性质可知，尸。1平面ABC,且尸,0,0在同一直线上，设球的半径为R,

在RfAAO。中，AO2=A0,2+00'2>

即晨=i6+(H—2产，

解得R=5,

所以三棱锥P-ABC的外接球表面积为S=4兀R?=4〃x25=100%，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，

属于中档题.

10.D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得s=o+，+/+M+g=j|.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

11.B

【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间(—,0),(0,1),。,+，。)和x=0,x=l处函数的特征即可

确定函数图像.

【详解】

函数/(x)在R上可导，其导函数为了'(X),且函数/(X)在x=l处取得极大值，

，当X>1时，/'(x)<0；当x=l时，r(x)=O；当X<1时，/'(x)>0.

;.x<()时，y=-#,(x)>0,0<x<l时，y=—V'(x)<0,

当x=0或x=l时，>=-矿(%)=0；当x>l时，-V(x)>0.

故选：B

【点睛】

根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断

图像问题常见方法，有一定难度.

12.A

【解析】

1132

几何体为一个三棱锥，高为4,底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4,所以体积是—x4x—x4?=二，选A.

323

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V2

【解析】

由基本不等式，可得到/+/=("-+〃)+(/+〃)2、+3+2ab=9+b『，然后利用

222

a2+b2+―二2"吆匚+―L—>7-,可得到最小值，要注意等号取得的条件。

【详解】

由题意，宜+/=(2+及)+上+及)N£+/+2而△”b¥,当且仅当a=8时等号成立，

222

所以/+/+_二2—妒+―J》2口=拒,当且仅当=-1-r时取等号,

(a+b)22(a+b)2\22(a+b)-

所以当〃一〃［时，/+从+二二取得最小值及.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件。

14.[2,4].

【解析】

/(x)=-3d+6x配方求出顶点，作出图像，求出/(乃=-9对应的自变量，结合函数图像，即可求解.

【详解】

f(x)=-3炉+6x=-3(x-l)2+3,顶点为(1,3)

因为函数的值域是-9,3],

令-3%2+6X=-9，可得X=-1或X=3.

又因为函数/(无)=-3/+6》图象的对称轴为％=1,

且/⑴=3,所以人一。的取值范围为[2,4].

故答案为:[2,4].

本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.

15.1

8

【解析】

试题分析：由题意得，因为抛物线y=4f,即/即焦点F到准线/的距离为

考点：抛物线的性质.

4

16.-

3

【解析】

根据双曲线方程，设耳(一c,0),鸟(c,0)及将打〃2,〃)代入双曲线方程并化简可得病=91+,由

题意P"•尸鸟的最小值为-7,结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得c的值，进而求得离心率即可.

【详解】

设点耳(-c,0),7%(c,0),(c>0),P(〃z,〃),

22(2\

吟告“即加9卜旬，

VPFX=(-c—m,-n),PF2={c-m,-n),

(2\

2c1〃7

PFPF=m1-c2+n2=〃~+91+--C

i2Ib2)

=n21+1

当〃=()时，等号成立,

A9-c2=-7,

••c=4,

.c4

••€————・

a3

4

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17.(1)P(^=3)=—；(2)投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大

【解析】

(1)首先计算出在［42,47),［47,52］内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出。偌=31

(2)分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.

【详解】

(1)年龄在［42,47)内的游客人数为150,年龄在［47,52］内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人,

则年龄在［42,47)内的人数为6人，年龄在［47,52］内的人数为4人.

可得%=3）=泠喋4.

CI0

（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1,则E（y）=3（万元）.

②当投入2艘A型游船时，

若1<X<3,则丫=3-0.5=2.5,此时P（y=|）=P（l<X<3）=焉=（；

4

若XN3,则Y=3x2=6,此时P（y=6）=P（3<X«5）+P（X>5）=1；

此时y的分布列如下表：

Y2.56

24

P

55

14

此时E（y）=2.5xg+6x-=5.3（万元）.

③当投入3艘A型游船时，

21

若1<X<3,则y=3—1=2,此时P（y=2）=尸（1<乂<3）=布=W；

2

若3WXW5,则y=3x2—0.5=5.5,此时P（Y=5.5）=P（3VXW5）=g；

2

若X>5,则y=3x3=9,此时P（y=9）=P（X>5）=g；

此时Y的分布列如下表：

Y25.59

1_22

P

5

122

此时E（y）=2xg+5.5xg+9xm=6.2（万元）.

由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题

的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

18.（I）（f,一2）1（2,叱）；（II）（-10,8）.

【解析】

（I）利用零点分段讨论法把函数/（x）改写成分段函数的形式，分xNl,-l<x<l,x4-l三种情况分别解不等式，然

后取并集即可;

(H)利用绝对值三角不等式求出/(x)的最小值,利用均值不等式求出,+」一的最小值，结合题意，只需

ml-m

/(x).<即可,解不等式即可求解.

J\/mm

1—加入in

【详解】

2x,x>1

(I)当4=1时，/(x)=|x-l|+|x+l|=<2,-1<X<1

—2x,x4—1

x>l—1<x<1x<-l

/(x)>4o«V或，

2x>42>—2.x〉4

=x>2,或x<一2

所以不等式/(幻>4的解集为(YO,-2)(2,一)；

(II)因为/(%)=|尤―1|+卜+4闫(％+4)_(%_1)|=卜+1|

V/ne(0,l),又-!-+^-=(-!-+^—升m+(1—，〃)]

ml-mml-m

「4m1-m

=5+----+----

\-mm

N5+21X•亘=9(当，”时等号成立)，

V1—机加3

14

依题意，V/?:G(0,1),3xG/?,有一+---->f(x),

0ml-m0

贝!||a+l|<9,解之得-10<a<8,

故实数”的取值范围是(-10,8).

【点睛】

本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值;

考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.

19.(1)证明见解析(0,2)；(2)存在，理由见解析

【解析】

(1)设直线/的方程为尸丘+b代入抛物线的方程，利用求出心即可知直线过定点(2)由斜率公式分别

求出匕+&,k3+k4,联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得玉+々，玉*2，七+光…尤3》4代入匕+左2,

&+勺，化简即可求解.

【详解】

（1）证明：由题知，直线/的斜率存在且不过原点,

故设/:丁=依+。3R0),A(X],y),B(x2M

y=kx+b

由〈丁c可得/一2"一加=0，

x=2y

：.玉+工2=2k,xix2=-2b.

OAJ.OB,..OAOB=0，

(xx2)"

X\X2+y%=XW-1------=0'

故b=2

所以直线/的方程为>=履+2

故直线/恒过定点(0,2).

(2)由(1)知％+无2=2k,xtx2=-4

:.k、+k,=工+必

-X]x2

_Ax1+2+5+2

%12

c,22

2k+——+——

不々

〜2(工1+%)

2女+-^~」=k

x}x2

设。（%3，%），。（%4，乂）

y=Ax+2

由＜*2y2可得(1+2公卜2+8履+4=0,

---1---=1

42

8k4

%+%4=—+—

工3%4

如+2区4+2

=2女+2«+%)

%3犬4

=-2k

.•・K+《=-g(占+勺)，即存在常数2=-;满足题意.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

20.(1)4>/2：(2)不存在.

【解析】

(1)由已知,+,=而，利用基本不等式的和积转化可求而22,利用基本不等式可将转化为出,，由不

ab

等式的传递性，可求/+)3的最小值；(2)由基本不等式可求2a+3》的最小值为46，而4月〉6,故不存在.

【详解】

(1)由J石=一+72-7=亍，得必22,且当a=b=拒时取等号.

abyjab

故a，+匕'之2*\/a%3>4>/2,且当a=b=时取等号。

所以a3+/?的最小值为4a；

(2)由(1)知，2a+3b22遥必24百.

由于45/5〉6,从而不存在。力，使得为+38=6成立.

【考点定位】

基本不等式.

22

21.(1)—+^-=1(2)是定值，且定值为2

43

【解析】

(1)设出P点坐标并代入椭圆方程，根据心."研=一3列方程，求得《的值，结合2c=2求得的值，进而求

4a

得椭圆C的方程.

(2)设出直线AROM的方程，联立直线AP的方程和椭圆方程，求得尸点的横坐标，联立直线O