陕西省咸阳市2023年高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数〃%+1）是偶函数，当时，函数“X）单调递减，设。=/（一小，。=/（3）,c=/（O）,

则a、b、c的大小关系为（）

A.h<a<cB.c<h<dC.b<c<aD.a<h<c

2.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

与

8(x)o12去

ooo年

总-O

同

策6000

8期

《(x)o

亿

4a»相

元6

比

增

》ooo4

(xx)长

(x)o2率

《

0求

南

宁

江

江

浙

河

辽

》

I-aa■与*

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

3.已知S“是等差数列｛4,｝的前〃项和，若S3+q=S2,%=6,则Ss=（）

A.5B.10C.15D.20

-z-i

4.设复数二满足——=i,则Z=()

z+i

A.1B.-1C.1-zD.l+z

5.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则下列结论正确的是（）

A.z-z=2-zB.复数二的共匏复数是l-2i

]

6.已知实数集R,集合A={x|l<x<3},集合8=,则Ac(C*)=()

y/x—2

A.{x\l<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x\2<x<3}D.{x|lvxv2}

，x+y-2WO

12x-y+320

7.设实数“满足条件Ix'y<0贝炉+V+/的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

f7t

8.已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与K轴的非负半轴重合，若点。（2,-1）在角a的终边上，则sin万-2。

()

4433

D.

555

9.如图，点E是正方体A8C0-451Goi的棱。的中点，点尸，M分别在线段AC,BDl（不包含端点）上运动,

A.在点尸的运动过程中，存在EF//BG

B.在点M的运动过程中，不存在

C.四面体EM4c的体积为定值

D.四面体丛1GB的体积不为定值

10.水平放置的ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的V49C,其中O'A'=O'B'=2,0匕=#）,则

A6C绕48所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）

A.8岳B.160万C.(86+3)"D.(166+12)万

11.1+%+/的展开式中二，2的系数是（）

（X

A.160B.240C.280D.320

171

12.“cos2a=——“是"a=A7Fd——，的（）

23

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系xOy中，曲线y=e'在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.

若点3（%,0）,凶48的面积为3,则％的值是.

14.设直线/过双曲线C的一个焦点，且与。的一条对称轴垂直，/与。交于A6两点，|.4|为。的实轴长的2倍，

则双曲线C的离心率为.

15.设P为有公共焦点看,工的椭圆G与双曲线G的一个交点，且「耳上尸鸟，椭圆G的离心率为6,双曲线的

离心率为e2,若e2=3q,则q=.

16.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题

小李都会的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（12分）已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆。交于A/,N两点.

4

（I）若线段MN的中点坐标为求直线/的方程；

（U）若直线/过点（4,0）,点2（天,。）满足即“+%”=0%,即'分别为直线PM,PN的斜率），求与的值.

2222

18.（12分）已知。＞匕＞0,如图，曲线「由曲线G：=+鼻=1（）40）和曲线。2：二一与=l（y＞0）组成，其

a~b~a~b~

中点耳,尸2为曲线G所在圆锥曲线的焦点，点瑞，尼为曲线G所在圆锥曲线的焦点.

(I)若6(2,0),居(—6,0),求曲线「的方程；

(H)如图，作直线/平行于曲线的渐近线，交曲线G于点AB,求证：弦A3的中点M必在曲线的另一条

渐近线上；

(ni)对于(I)中的曲线「，若直线4过点F」交曲线G于点C。，求AC。”面积的最大值.

19.(12分)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为4(0,1)、5(0,-1),焦距为2石.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点”、N,设。为直线AN上一点，且直线30、6例的斜率的积

为-证明：点。在x轴上.

4

20.(12分)已知函数/(幻=以2一q—inx,三。e[0,+8),使得对任意两个不等的正实数.马，都有

“6/仇)＜。恒成立.

王一赴

(1)求/(x)的解析式；

(2)若方程]-=/(x)+加有两个实根牛々，且王＜々，求证：X]+々＞1.

2x

21.(12分)已知三点P,。,4在抛物线「高=力，上.

(I)当点A的坐标为(2,1)时，若直线PQ过点7(—2,4),求此时直线AP与直线AQ的斜率之积

（U）当AP_LAQ,且|AP|=|AQ|时，求_APQ面积的最小值.

22.（10分）等差数列N*）中，a2,见分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数

不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行582

第二行4312

第三行1669

（1）请选择一个可能的｛4,外,%｝组合，并求数列｛4｝的通项公式；

（2）记（1）中您选择的｛4｝的前"项和为S"，判断是否存在正整数3使得%,4,S“2成等比数列，若有，请

求出女的值；若没有，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据/（%+1）图象关于轴对称可知/（X）关于X=1对称，从而得到“X）在（—8,1）上单调递增且/（3）=〃—1）;

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Q/（x+l）为偶函数.•./（x+1）图象关于）,轴对称

.•./（X）图象关于x=l对称

X€（l,+8）时，/（X）单调递减8,1）时，“X）单调递增

又/⑶=/（—1）且一1<一；<0.•./（—1）</[-£|</（0）,即〃<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

2.D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GOP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1+(1+3.3%)R4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

3.C

【解析】

利用等差通项，设出4和d,然后，直接求解Ss即可

【详解】

令,则++生

=q§x券-=%+q+d,q+3d=6,at=-3,d-3>

AS5=5X(-3)+10X3=15.

【点睛】

本题考查等差数列的求和问题，属于基础题

4.B

【解析】

利用复数的四则运算即可求解.

【详解】

z—i

由；=inz—i=i(z4-z)=>(1—i)z=i—l=>z=—1.

z+z

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.

5.D

【解析】

首先求得z=-l+2i,然后根据复数乘法运算、共轨复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确

选项.

【详解】

由题意知复数z=—l+2i,则zJ=(T+2i)"=-2-i,所以A选项不正确；复数二的共粗复数是—1—2i,所以B

选项不正确：|Z|=J(T)2+22=6,所以C选项不正确；三:土^=(_1+2')«一)」+当,所以D选

项正确.

故选：D

【点睛】

本小题考查复数的几何意义，共匏复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论

证能力，数形结合思想.

6.A

【解析】

7^2>0可得集合3,求出补集CRB，再求出AC(CRB)即可.

【详解】

由，x-2>0,得》>2,即B=(2,+co),

所以CM=(-oo,2],

所以4C(CRB)=(1,2].

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.

7.C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

z=x+y+1,gpv=-x+z-l,z表示直线在i轴的截距加上1,

xE--7

根据图像知，当x+y=2时，且,3'J时，z=x+y+/有最大值为3.

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

8.D

【解析】

由题知cosa=2v5，又5m[]-2“=852&=285%-1,代入计算可得.

【详解】

n/c.(7t-3

由题知cosa=1:又sin_2a=cos2a-2cos2a-1

55

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.

9.C

【解析】

采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.

【详解】

A错误

由Mu平面BCj/AD]

而AA与平面应■相交，

故可知BG与平面AEC相交，所以不存在EFUBCx

B错误，如图，作

又BD,BB«平面BBQQ,所以AC_L平面BBQQ

又々Mu平面BBQQ,所以

由OE//BD],所以耳

ACOE^O,AC,OEu平面A£C

所以片M_L平面AEC,又AEu平面A£C

所以4MLAE,所以存在

C正确

四面体EMAC的体积为VM_AEC=；-S^EC-h

其中〃为点M到平面AEC的距离，

由OE〃BD],OEu平面AEC,8D1(z平面A£C

所以BQ〃平面A£C,

则点用到平面AEC的距离即点3到平面AEC的距离,

所以〃为定值，故四面体EMAC的体积为定值

。错误

由AC〃AG，AGu平面ACf,AC.平面AG*6

所以AC〃平面,

则点F到平面4GB的距离力即为点A到平面AG5的距离，

所以％为定值

所以四面体FA^B的体积=gs^GB4为定值

故选：c

【点睛】

本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，

中档题.

10.B

【解析】

根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得AO=BO=2,OC=2瓜ABC绕AB所在

直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体

的表面积.

【详解】

根据“斜二测画法”可得AO=30=2,OC=25AB=AC=BC=4,

一/力…\一1

A3c绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,

它的表面积为S=2仃I=2%x2&x4=166万•

故选

【点睛】

本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法，难度较易.

11.c

【解析】

I（1\7

首先把一+X看作为一个整体，进而利用二项展开式求得F的系数，再求1+%的展开式中的系数，二者相乘

*U）

即可求解.

【详解】

(।/]\7

由二项展开式的通项公式可得（4+X+/1的第厂+1项为I”

C；-+xV"令厂=1,则[=C；一+xy2,

lxJ-1尤1

又j'+x]的第厂+1为7；+1=。；冉/=。；针-7,令r=3,贝!1《=35,所以/产的系数是35x8=280.

lxJ⑴

故选：C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

12.B

【解析】

先求出满足cos2c=-工的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

i27rTC]乃

由cos2a=—得2a=2左万土——,即—,ZeZ,因此“cos2a=—"是"a=Z»H—,ZeZ”的必要

23323

不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.In6

【解析】

对＞=6'求导，再根据点P的坐标可得切线方程，令＞=0,可得点A横坐标，由A/AB的面积为3,求解即得.

【详解】

由题，＞'=1,•,.切线斜率左=4,则切线方程为y-*=*（%一/），令y=o,解得/-1,又A/AB的

面积为3,.,.SAPAB=gxlxe~=3,解得.％=ln6.

故答案为：In6

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的切线，难度不大.

14.百

【解析】

022»2

不妨设双曲线c：「=1»焦点尸(一。,0),令二■一A=l,x=cny=±—由|A邳的长为实轴的二倍能够推

aa'b"a

导出。的离心率.

【详解】

22

不妨设双曲线c：=-4=19

a2b2

焦点厂(―c,0),对称轴y=0,

fv2b2

由题设知丁―r=l,x=cny=±—，

a2b2a

因为|AB|的长为实轴的二倍,

/.——=4a,b2—2a2>

a

c2—a2—2a2,c2—3a2,

e——=6,故答案为G♦

a

【点睛】

本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行

分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要

理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将。用有关的一些量表示出来，再利用其中的一

些关系构造出关于e的等式，从而求出e的值.

15.旦

3

【解析】

设AF}AF9=2。

根据椭圆的几何性质可得S&PFFLb-tan6=b-

q=—,a,=—=a；-c2=c24--1

4414)

*

根据双曲线的几何性质可得，S"PF\R=JJ=K

tan®

c

•/e2=—

11

b；=c22

C2

e2)

c24-ic2

旦

即—yH—=2，3q=/0]

e\e23

故答案为更

3

16.

2

【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.

【详解】

由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有C：=6种,

小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有第=3种,

C21

所以其概率为f=

Q2

故答案为：一

2

【点睛】

此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)x+2y-2=0(II)%=1

【解析】

(I)根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得;

（n）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据即M+%V=O,即可求得参数的值.

【详解】

r2

”%2=11,

⑴设N（x,y）,则<

222

两式相减，可得（尤/尤2）国+々）

+（弘一必）（乂+）'2）=。・（*）

4

因为线段MN的中点坐标为I1,J

,所以玉+Z=2,%+%=1•

代入（*）式，得（「二

”2>2+（y_%）=o.

4

.y一必1

所以直线/的斜率左=

所以直线/的方程为y_g=_g（x—l）,即x+2y-2=0.

x=my+4,

（II）设直线/：x=my+40）,联立

—+y=1.

14•

整理得（加2+4）y2+8冲+12=0.

所以八=64m2-4X12X（/??+4）>0,解得/川>12.

g、i8机12

所以X”中.

所以%+%=/一+一二晔R卢3

X.—尢、尤—-无八IY—YIIY.—XI

々X+3%—（弘+）‘2）工0_（冲2+4）X+（团%+4^2—（y+%）玉）

（x1-x0）（x2-x0）（内一天）（工2—玉））

2阳跖+（4—%）（乂+必）=0

（王一工0）（马一七）

所以2mxy2+（4-彳0）（凹+%）=8

所以2冲跖+（4_/）（乂+必）==”坐空=0.

m+4/篦+4m+4

因为/“RO,所以X。=1.

【点睛】

本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.

2222]AX

is.（I）土+2L=i（%o）和工_2L=i（y>o）.；（U）证明见解析；（in）

201620163

【解析】

/+/=36

（I油6（2,0）,居（一6,0）,可得22,解出即可；

a1-h-=4

（口）设点Aa，x），Ww，%）,M（Xo，%）,设直线/：y=2（x—M，与椭圆方程联立可得：

2》2-2〃a+（加2-“2）=0,利用/>o,根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；

（IR）由（I）知，曲线小卷=1（为0）,且工（6,0）,设直线4的方程为：x=〃y+6（〃>0）,与椭圆方程联立可得:

（5+4n2）/+48^+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，即可

求解.

【详解】

(I)由题意："(2,0),玛(-6,0),

a2+b2=36a2=20

解得

a2-b2=4b2=16

2222

则曲线厂的方程为：三+工=1（%,0）和上—匕=l（y>0）.

20162016

（II）证明：由题意曲线C,的渐近线为：y^+-x,

a

设直线/:y=±b（x-m）,

a

则联立22得212―2mx+(加2_Q-)=0,

[x滔+*y-

「•△=4〃广—8(相~一矿)>0,解得：-\[2a<m<\!2a>

又由数形结合知%"?<缶.

设点A&,%）,3（孙％），M（%，%），

,m2-a"o

则玉+工2=根，xx.=----------,

2

mbm

勺2。2a

bb

*0-y=—玉），即点M在直线y=—x上.

0aa

22

（III）由（I）知，曲线G：土+匕=1（为0）,点）（6,0）,

设直线4的方程为：x=〃y+6(〃>0),

x=ny+6

二联立fv2，得:（5+4〃2）/+48〃），+64=（）,

—+^-=1

12016

A=（48炉—4x64x（5+4/?2）>0=/>],

设。（不，%）,。（%4，乂），

48〃64

亦，行’

|-|=J（%+>4）2-4%%=I'%，〃2T，

J+4H

A。。6面积S=J耳闻上一％|=、8）<后x

21121134121656+04〃/：-1=645+4一/;,

令，=J几2_]>（）,」+1,

64阪_64后166

^^二口“丁

t

当且仅当「=』，即〃=Y电时等号成立，所以AC。/7；面积的最大值为由5.

223

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不

等式的性质，考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.

2

19.(1)—+/=1；(2)见解析.

4-

【解析】

(1)由已知条件得出。、c的值，进而可得出a的值，由此可求得椭圆C的方程；

(2)设点可得N(—石,相)，且求出直线8〃的斜率，进而可求得直线8D与AN的

方程，将直线直线8。与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.

【详解】

[h=l

(1)由题设，得一百，所以/=/+。2=4,即a=2.

2

故椭圆C的方程为'+y2=i；

4

(2)设则N(f,根)，玉工0,-1<m<1.

根一(-1)加+1

所以直线BM的斜率为一一=——，

F-0xx

1x.

因为直线80、加的斜率的积为-所以直线BD的斜率为一E.

1-m[x1

直线AN的方程为"丁》1,直线6。的方程为,=一而]包尤—「

1

联立人I,解得点。的纵坐标为加二号A----------.

无1y1221

V=——-rX-l---X：-1

4(m+l)4

2

因为点”在椭圆C上，所以互+加2=1,则加=0,所以点。在X轴上.

4

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

20.(1)/(x)=-lnx；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意，/(X)在(0,+8)上单调递减，求导得/'。)=2"一二=一(x〉0),分类讨论了(X)的单调性，

XX

结合题意，得出/(X)的解析式；

(2)由西，9为方程丁=/(x)+〃?的两个实根，得出In内+77="2,In^+T；-=机，两式相减，分别算出花和超，

利用换元法令f=%和构造函数〃Q)=t—2hn,0<，<l,根据导数研究单调性，求出〃。)<〃(1)=0,即可证出

x2t

结论.

【详解】

(1)根据题意，f(x)对任意两个不等的正实数与々，都有'"幺入<o恒成立.

X]—x2

则/(X)在(0,+8)上单调递减，

因为/(x)=2ax--=^^----(x>0).

xx

当。=0时，f\x)<0,/(x)在(0,+oo)内单调递减.，

当<7>0时，由/'(x)=0,有x=七—，

,2a

时，/'(x)<0,/(x)单调递减,

/'(x)>0,/(x)单调递增，

综上，a=0,所以/(x)=-lnx.

(2)由马传为方程，-=/(x)+m的两个实根,

2x

得In%+」一=加,In%+」-=加，

2%~2X2

两式相减，可得1呻-]鹏+卷-2=°'

五-11_&

X,

因此玉---

21n五21n五

令，二」，由王〈工2，得0<，<1，

X2

则…

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