数列通项an与前n项和Sn的关系（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分】2023年高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练(新高考通用)

专题09数列通项册与前〃项和Sn的关系

目录一览

一、梳理必备知识

二、基础知识过关

三、典型例题讲解

四、解题技巧实战

五、跟踪训练达标

六、高考真题衔接

一、梳理必备知识

1.数列中明与s“之间的关系:

S1,(n=1)

注意通项能否合并。

2.等差数列

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即%,(论2,

"GN+),那么这个数列就叫做等差数列。

(2)等差中项：若三数a、/、力成等差数列0/=

(3)通项公式：=q+(〃-l)d=《“+(〃一机)d

或%=p〃+q(p、q是常数).

n(〃T)dM/+%)

(4)前〃项和公式:S,=叫+一

22

（5）常用性质

①若加+〃=p+q[m,n,p,qeN+）,贝!1%,+。“+4；

②下标为等差数列的项（2,即+,“,%+2”,，…），仍组成等差数列；

③数列｛川,+瓜（4乃为常数）仍为等差数列；

④若｛““｝、｛〃｝是等差数列，则依%｝、｛kan+pbn]（左、P是非零常数）、｛4+,“｝（P，qGN*）、，…也成

等差数列。

⑤若等差数列｛凡｝的前〃项和S“，则S^-Sk、S3k-S2k...是等差数列。

3.等比数列

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

比数列。

（2）等比中项：若三数a、G、b成等比数列=G2=",（仍同号），反之不一定成立。

（3）通项公式：4=&q-=%阕1"

（4）前〃项和公式：S=5■（匕

\-q\—q

（5）常用性质

①若m+n=p+q（m,n,p,q&N+）,则am-an=ap-aq-

②%"+”,，%+2m，…为等比数列，公比为qm（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）

③数列｛2。,｝（4为不等于零的常数）仍是公比为4的等比数列；

④若等比数列｛%｝的前〃项和S“，则S.、S2k-SkySik-S2k...是等比数列.

二、基础知识过关

一、单选题

I.已知数列｛4“｝的前〃项和S,,=〃2,则出=（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据%,E,关系解决即可.

【详解】由题知，数列｛%｝的前〃项和S,,=〃2,

所以的=邑-$产4-1=3,

故选：C

2.已知数列｛凡｝的前〃项和S.=〃2+",那么它的通项公式““=()

A.nB.2nC.2n+1D.n+1

【答案】B

【分析】根据卜、，即可求凡.

【详解】《=£=1+1=2,

%=(«2+«)-[(«-1)2+(«-1)]=2/?,(«>2),

当〃=1时，2〃=2=%,

•*.=2〃.

故选:B.

3.若｛q｝的前〃项和5〃=〃3一2〃2,则〃5+%=()

A.86B.112C.156D.84

【答案】B

【分析】解法一：通过前〃项和的表达式求出通项公式，计算出内，4即可；

方法二：利用S〃求出S6，S，相减即可得答案.

【详解】S“=——2〃3nq=一1

法一：当〃22时，

4=S〃-S—=/一2/—(〃-1)3+2(〃一1『

=7?3-2n2-/+3〃2-3〃+1+2/一4〃+2

=3/?2-7〃+3,

a5=43,R=69,

:.%+&=112.

法二：yr,

32

.-.S6=6-2X6=144,邑=43-2x4?=32,

as+a6=S6-S4=112,

故选：B.

4.已知数列｛4“｝的前〃项和S,=〃2-2〃+1,则%=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据的=S3-S2计算可得.

【详解】解：因为数列｛《,｝的前〃项和S,,=/-2〃+l,

所以《=53-邑=（3?-2X3+1）-02-2x2+1）=3.

故选：B

5.设数列｛对｝的前〃项和S,=2"-3,则处的值为（）

A.13B.16C.29D.32

【答案】B

（分析】根据公式a5=S5-S4计算得到答案.

54

【详解】a5=S5-S4=（2-3）-（2-3）=I6.

故选：B

6.已知数列｛为｝的前〃项和为S”.若q=2,%u=S“，则$8=（）

A.512B.510C.256D.254

【答案】C

【分析】根据色与％的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】由。用=S“nS川-S,,=S,,nS田=2号，

所以数列｛S“｝是以2为首项，2为公式的等比数列，于是$8=2-27=256,

故选：C

7.已知数列｛4｝的前〃项和S,,满足S“=2%-3,则%=（）

A.72B.96C.108D.126

【答案】B

[S.,w=1，、

【分析】根据得到数列｛见｝是以3为首项，2为公比的等比数列，从而求出通项公式,

得到。6的值.

【详解】当〃=1时，£=4=为「3,解得：《=3,

由题意可得S,=2a“-3,①

当〃22时，*T=2%-3,②

①-②得，«„=S”-Si=2%-2%,即an=2a„.],

故数列｛""｝是以3为首项，2为公比的等比数列,

所以%=3x2”、

故4=3x2’-96.

故选：B.

8.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,且S.+l=%s，%=2,则$2阳的值为()

A.3-22023-1B.3.22022-1

C.3.22023-2D.3-22021-1

【答案】B

【分析】根据条件，利用S”与的关系求出通项公式，然后根据等比数列求和公式即得.

【详解】由条件an+l=S,+1,〃22时，/=S„_,+1,两式相减得a„+l-a„=S„-S„_,=%,

an+l=2%，又q=2,/=E+1=q+1=3,

所以｛叫从第二项项开始为公比为2的等比数列，“22时，〃“=3X2”2,

1_92022

22022022

S2023=2+3X(1+2+2+---+2')=2+3X~=3x2-1；

故选：B.

二、填空题

9.设数列｛%｝的前"项和为S"=〃2,则%=_.

【答案】9

【分析】由数列的前n项和公式求出5,邑的值，则。5=SS-S4,求出答案.

【详解】在数列｛%｝中，由S,,="2得：SS=52=25,$4=42=16,

a5=S5-S4=25-16=9,

故答案为：9.

10.已知数列｛%｝的前〃项和S,=〃2-2n+l,则%=.

【答案】5

【分析】根据数列前〃项和与项的关系计算.

22

【详解】a4=S4-S3=(4-2x4+l)-(3-2x3+l)=5,

故答案为：5.

11.若数列｛《,｝的前〃项和S.=3"-1，则它的通项公式/=.

【答案】2x31

【分析】先求出首项,再根据q,=S“-S〃T,求出通项公式，检验首项是否符合，写出通项公式即可.

【详解】解油题知S“=3"-l,(〃eN*),

当”=1时=q=2,

当〃22时,%=S„-S„.,=3"-1-(3--'-1)=2x3-',

将〃=1代入,满足《=2,

所以4=2x3。

故答案为:2X3"T

12.在数列｛6｝中，S,是其前〃项和，且5,,=24+1,则数列的通项公式。“=.

【答案】a„=-2"-',"wN'.

[Sn=1

【分析】利用:]9一，求解数列的通项公式.

电-Sci，”22

【详解】当"=1时，E=%=2%+1,解得：6=一1,

令〃=2时，S2=2a,+1,即q+%=2%+1，解得：a2=at-\=-2,

当"22时，a„=Sn-5n_|=2a„+1-2a„,,-1=2a„-2a„,,,

故见=2《i，

所以〃22时，加“｝为公比为2的等比数歹（],

所以a,,=&gi=-2x2i=-2'i,

显然”=1时，4=-1满足。“=-2"-1

综上：％=-2"T,n>\.

故答案为：M€N,.

四、解题技巧实战

1.数列｛对｝的前〃项和为S,=-2/+〃（”€N）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】（1）4,=-4〃+3（〃wN"）

【分析】（1）利用。.与S”的关系进行求解；

（1）解：当〃=1时，勾=，=-1；

当〃22时，a„=S”-S"_]=（-2/z2+n）-[-2（M-l）3+（〃-1）]=-4〃+3；

当”=1时，％=-1也满足上式；

所以通项公式为%=-4〃+3（〃eN）

2.已知数列｛”“｝的前〃项和S„=32n-n2+l,

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

【答案】（l）a“=〈c、°（2）前16项的和最大

[33-2n,n>2

【分析】⑴利用〃N2时,a“=S"-S,T可求得通项公式；

【详解】解：（1）当〃=1时，4=5=32-1+1=32；当〃22时,

%=S「S-=(32〃-/+i)—02(〃一1)—(〃-1)2+1]=33-2〃；

~132/=1

所以：an-\

\33-2n.n>2

3.已知数列｛叫的前〃项和为且5.=1-；.

(1)求数列｛。,｝的通项公式；

【答案】(l)%=3"T,”eN*

【分析】(1)利用数列的递推关系求出数列｛““｝是公比为3的等比数列，即可求出数列｛与｝的通项公式，

31

a

⑴当”=1时，a]~~\得q=i,

3、

当〃22时，S,-S,i=a“=5(a,-a,i)，得勺=3。“_|,

，数列｛与｝是公比为3的等比数列，

a„=3"~',weN,;

4.数列｛叫的前”项和为S,,%=1,%=2S,(〃eN*).

(1)求数列｛。“｝的通项4；

_[1,77=1

【答案】(1)4,=匕.3、22

【分析】(1)由〃=1可求得的的值，令〃22,由a,,M=2S.可得知=2S,i，两式作差可推导出数列｛%｝从

第二项开始成以3为公比的等比数列，即可求得数列｛4｝的通项公式；

【详解】(1)解：当〃=1时，％=2耳=2,

当〃22时，由a,+i=25“可得aa=2s,

上述两个等式作差得a“+|-a"=为”(可得。用=3。“，且%#3q,

所以，数列｛。“｝从第二项开始成以3为公比的等比数列，则a,,=2.3"-2,

fl〃=]

因为q=1不满足=2・3”一2,故见=P»

五、跟踪训练达标

1.（2023秋・福建福州•高二校考期末）已知数列｛q｝的前〃项和为5.=2〃2—30〃.

（1）当S”取最小值时，求”的值；

【答案】（1）〃=7或〃=8；（2）%=4”-32

【解析】（1）直接对S,,=21-30〃.进行配方，由“eN,可求出其最小值

【详解】解：（1）=2»2-30»=2（«2-15«）=2-y1-争，

因为〃”,

所以当〃=7或/>=8时，S”取最小值，

2.（2022・四川成都・成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,

且S〃=2n2+kn+k,keR.

（1）求人值和｛。〃｝的通项公式；

【答案】（1）左=0,a„=4n-2

【分析】（1）由见与S”的关系可求得数列｛《,｝的通项公式，根据数列｛%｝为等差数列可求得k的值，即可

得出数列｛叫的通项公式；

【详解】（1）解：当"=1时，q=£=2k4-2；

当〃22时，%=S〃-S-[=（2）+而+@12（n-1）2=4〃-2+4,

因为数列｛4｝为等差数列，贝！Jq=2%+2满足a”=4〃-2+3即2%+2=2+左，解得％=0.

对任意的〃eN*,afi=4n—2.

3.（2023秋•福建福州•高二校考期末）已知数列｛4“｝满足5,=]（〃+24+%-3）.

（1）求｛为｝的通项公式；

【答案】⑴％=";

【分析】（1）根据。“S.的关系求｛《｝的通项公式；

【详解】（1）当〃=1时，e=《=*1+2坊+生一3）,故,=2；

当〃=2时，$2=%+%=2+24+6-3,故。[=1,

故S〃=3（〃+l）,则4=S〃-S,z=22），又q=l满足%=〃，

：•V〃eN*,an=n-

4.（2020秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第三十二中学校校考期末）已知数列｛4｝的前〃项和为S〃.且

2

Sn=—H+—W-1.

"22

（1）求数列〃〃的通项公式；

[1n=1

【答案】（1）%[「；⑵北=〃,2川一2・

[n+i,n>2

【分析】（1）令〃=1,求出q=E=l,再利用%=S〃—SM求解即可.

2

【详解】解：（1）S„=^n+^n-\,得％=，=1.

当〃22时，a„=5„-S„_,=^M2+|M-1-="+l.

[l,n=l

所以。“=1

5.（2022秋・广东广州•高三广州市禹山高级中学校考阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S,,[=1,数

列是以1为公差的等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴”“=2〃-l（〃€N*）：

【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合$“与见之间的关系进行求解即可；

【详解】（1）•••数列]｝[是以1为公差的等差数列，且:=q=1,

s

/.—=l+（n-l）-l=77,

n

当〃22时，=S“-S〃_]=〃2—(〃-=2〃-1.

当九=1时,上式也成立.=2〃-

2v

6.（2022・云南大理•统考模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，且满足囚=1,3=为讨一1.

n

（1）求数列｛氏｝的通项公式;

【答案】⑴勺=2〃-1

【分析】（1）根据s“与对的关系可得〃。用-（〃+1以=1,进而得智-由累加法

即可求解；

（1）因为包所以2S.=〃％+「〃，①

n

当〃N2时，2sl=（〃-1以-（〃-1）,②

①-②得：2。“="%一（"1）”"-1，即"J-（"+M=1，

所以巴以一2=—?—=-,

〃+1nn（n+1）nn+1

所以%-2=（一工，由出=3,可得%=2〃-1,

n22n

当”=1时，q=l,符合上式，

所以%=2〃-1.

7.（2022・北京•统考模拟预测）已知数列｛〃“｝的前〃项和为邑，且对任意正整数〃，都有a,,+S“=2048.

（1）求数列｛〃“｝的通项公式;

【答案

【分析】Q）令〃=1,可求得4的值，令“22,由〃,,+S“=2048可得a”T+S,i=2048,两式作差可推导

出数列｛4｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛0“｝的通项公式；

【详解】（1）解：当"=1时，4+工=羽=2048,所以6=1024,

当〃22时，由。“+E,=2048可得a„.,+5„„,=2048,

上述两个等式作差可得2«„-%=0,则a.=，

所以｛%｝是以1024为首项，g为公比的等比数列，

所以『。2唱.『

8.（湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期3月第一次联考数学试题）已知数列｛q｝的前"项和为S,,,

且％=1,2S“=2〃q,-7+〃.

（1）求数列｛。,｝的通项公式;

【答案】⑴％=〃

【分析】（1）依题意构造Si与a,-的方程，与已知方程作差求解结果;

【详解】（1）依题意25“=2%-〃2+〃，①

当“22时，2S,,,,-（n-1）2+n-\,②.

①@两式相减得2ati=2〃a“-2（"-1）%+2-2〃,即（〃一1）（Q“-%-1）=0,

因为〃22,所以％_*一1=0,即

所以｛6｝是公差为1的等差数列，

又q=1,故数列｛凡｝的通项公式为4=〃.

9.（2022•河南・马店第一高级中学校联考模拟预测）已知数列｛凡｝的前〃项和为S,,,满足S“=2a“+〃-4.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

【答案】（1""=2"+1；

【分析】（1）利用。向=5向-5”计算，然后构造等比数列求数列｛对｝的通项公式；

【详解】（1）Vs„-2a„+n-4,/.Sn+l=2a„+l+n-3,

两式相减，得a“+i=2a.+|-2a“+l,/.a„+1+1=2a„,

e=2（g）..•.雷:2,

又当〃=1时，q=2a「3,即q-1=2,.•.数列｛q-1｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

n

an-[=29即an=2"+1；

10.（2023•山西大同•校联考模拟预测）记数列｛为｝的前〃项和为。，且。1=1,。“=%（〃22）.

（1）求数列｛氏｝的通项公式;

1,”=1,

【答案】（1M=

2"。22.

【分析】（1）由数列。“与Z,的关系可得知7=2%（〃22）,再结合等比数列的通项可得解;

【详解】（1）因为q=l,%=&（〃22）,所以%=q=l,

当〃22时，《川=北T+4,=2。“，故%=。2,2"2=2""(〃22)，

且％=1不满足上式，

f1J1—1

故数列｛。”｝的通项公式为%=一’;

11.(2022•四川南充・四川省南充市高坪中学校考模拟预测)己知数列｛%｝前〃项和为S,,,满足q=g,且

35„+l=S„+l(weN-).

(1)求数列｛应｝通项公式；

【答案】⑴…出”

【分析】(1)利用见与S”的关系求数列的递推关系式，得数列｛4｝为等比数列，则通项公式可求；

【详解】(1)解：因为犯M=S,,+l("eN*4

所以当〃22时，得3S“=S“T+l(〃eN*)②

则①-②得：

42I1

即3。"+[=““，即

Un°

又当〃=1时，3s2=5+1,所以3(q+%)=q+1,其中q=g

所以%=4，则&■=：

9q3

故数列｛%｝是以为首项，;为公比的等比数列

所心(扪

12.(2022•河北•模拟预测)已知数列口｝的前〃项和为，，4=3,且S,+S“+f.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

【答案】⑴见=3”

【分析】(1)由己知可得当〃22时，$7-5,1=2«向-为“，进而得巴包=3(〃22),可求数列｛a“｝的通项

an

公式；

【详解】(1)当"22时，vS„+S,l+I=2d„+1-3,S„_,+S„=2«„-3,

Si=〃+「〃，...%+4=〃「次，二娱=3(心2)，

当〃=1时，S[+S2=2%—3.，〃]+〃[+%=勿2—3.二•1=9,

・.."=3,.•.数列也,｝是以q=3,3为公比的等比数列，

a\

:.a„=3x3"T=3".

六、高考真题衔接

JJ

1.（2022•全国•统考高考真题）记，为数列｛4｝的前〃项和，已知是公差为3的等差数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

【答案】（1）见=岑D

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得a=1+1（〃-1）=彳，得到S,,=5+2””,利用和与项的关

a„333

系得到当〃22时，=S「S“T=（〃+2）%_（〃+1以”，进而得:1-=合，利用累乘法求得/=吆M,

检验对于及=1也成立，得到｛与｝的通项公式%=风詈；

2.（2022•全国•统考高考真题）记