2022-2023学年山东省重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年山东省重点中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知i是虚数单位，复数z=i1+i，则A.12+i2 B.12−2.“治国之道，富民为始”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是(

)A.平均数小，方差大 B.平均数小，方差小 C.平均数大，方差大 D.平均数大，方差小3.下列命题正确的是(

)A.a//b，b⊂α⇒a//α B.a//α，4.已知向量a=(1,2)，b=(−A.−1 B.1 C.−16 5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(

)A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”

B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

D.“至少有一个黑球”与“都是红球”6.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率p.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：

169 966 151 525 271A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.757.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.5768.已知四面体ABCD满足AB⊥BC，BC⊥CD，A.45° B.60° C.45°或60° 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知i为虚数单位，复数z=2−3A.z的共轭复数为15+85i B.z的虚部为85

10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是(

)A.该试验样本空间共有4个样本点 B.P(AB)=14

C.A与B11.下列命题中是真命题的有(

)A.有A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

B.一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲

D.某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5,12.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球A.若B1C1的中点为E，则AC1/​/平面A1BE

B.若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为43，则A1到平面三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是

．14.我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数(上年同月=100)分别为100.7，101.5，102.3，101.5，100.9，100.9，101.5，则这组数据的第20百分位数是______．15.已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，16.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD=CD=四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知非零向量a，b满足|a|=4|b|，且(a−2b)⊥b．

(18.(本小题12.0分)

为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成19.(本小题12.0分)

在如图所示的四棱锥F−ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，∠ABC=60°，FC⊥面ABCD，C20.(本小题12.0分)

排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为23，乙队发球时甲队获胜的概率为25，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方X：X平后，甲队拥有发球权．

(1)当X=24时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；

(221.(本小题12.0分)

如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．

(Ⅰ)求证：B1C/​/平面22.(本小题12.0分)

在△ABC中，acsinB=b2−(a答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=i1+i=i(1−2.【答案】D

【解析】解：方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小．

故选：D．

根据平均数与方差的含义即可求解．

本题考查了平均数与方差的概念，是基础题．

3.【答案】D

【解析】解：对于A，a/​/b，b⊂α⇒a⊂α或a/​/α，故A错误；

对于B，a/​/α，b⊂α⇒a/​/b或a与b异面，故B错误；

对于C，a/​4.【答案】C

【解析】解：∵a=(1,2)，b=(−2,2)，c=(4,k)，

∴5.【答案】A

【解析】解：对于选项A，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”为互斥而不对立的两个事件，即选项A正确；

对于选项B，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”两个事件不为互斥事件，两事件中都有“一个红球一个黑球”这一事件，即选项B错误；

对于选项C，“至少有一个黑球”与“都是黑球”两个事件不为互斥事件，两事件中都有“都是黑球”这一事件，即选项C错误；

对于选项D，“至少有一个黑球”与“都是红球”为对立事件，即选项D错误，

故选：A．

由互斥事件及对立事件的关系求解即可．

本题考查了互斥事件及对立事件，属基础题．

6.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查古典概率，考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．

首先列举出至少击中两次的数据，进一步利用古典概率的关系式的应用求出结果．【解答】解：由题意：射击中击中至少两次的为：

151，525，271，592，408，471，257，333，027，554，730，537，039，

一共有13组，

故至少击中两次的概率为P(A)=13

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系．

首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；

则P(A)=0.9，P(B8.【答案】C

【解析】解：如图所示：将四面体放入长方体中，

V=13×12×23×23×CE=6，解得CE=3，

故DE=CD2−CE2=12−9=3，

以FA，FC，FG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

B(23,23,0)，C(0,9.【答案】AD【解析】解：因为z=2−3i2+i=(2−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=4−2i−6i+3i222−i2=110.【答案】AB【解析】解：对于A，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}四个样本点，故A正确，

对于B，事件A与事件B相互独立，则P(AB)=12×12=14，故B正确，

对于C，D，事件A与事件B相互独立，故A与11.【答案】BD【解析】解：对于A，由分层抽样原理知，样本容量为n=933+1+2=18，所以选项A错误；

对于B，数据1，2，3，3，4，5的平均数为x−=16×(1+2+3+3+4+5)=3，

众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B正确；

对于C，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5；

它的平均数是x−=15×(5+6+9+10+12.【答案】AD【解析】解：取BC的中点F，连接AF，C1F，BE，A1B，A1E，

则AF//A1E，BE//C1F，又AF⊄平面A1BE，A1E⊂平面A1BE，

∴AF/​/平面A1BE，同理C1F/​/平面A1BE，

而AF、C1F⊂平面AC1F，且AF∩C1F=F，

∴平面A1BE//平面AC1F，

∴AC1/​/平面A1BE，故A正确；

设A1到直线B1C1的距离为m，则V=12m⋅B1C1⋅CC1=43，

又S矩形BCC1B1=B1C1⋅CC1=43，∴m=2，

∵平面A1B1C1⊥平面BCC1B1，平面A1B1C1∩平面BCC1B1=B1C1，

∴13.【答案】19【解析】【分析】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．

分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．【解答】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，

而点数和为5的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2

14.【答案】100.9

【解析】解：将这组数据按从小到大排列为100.7，100.9，100.9，101.5，101.5，101.5，102.3，由20%×7=1.4，可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，即100.9．

故答案为：100.9．15.【答案】1

【解析】解：∵AB⋅AC=−2=|AB||AC|cosA，∠A=120°，

16.【答案】35

【解析】【分析】本题考查了三棱锥体积的最大值和外接球的表面积，属于中档题．

注意到三棱锥D−ABC体积最大时，平面ACD⊥平面ABC【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，

∵ABCD为等腰梯形，AB=2，CD=1，

∴BE=12，∴B=π3，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcosπ3=3，即AC=3，

∵∵AB2=BC2+AC2，

∴B

17.【答案】解：设向量a，b夹角为θ，

(1)由(a−2b)⊥b得(a−2b)⋅b=0，∴a⋅b−2b2=0【解析】本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模的运算，属于中档题．

设向量a，b夹角为θ，

(1)由(a−2b)⊥b得(18.【答案】解：(1)由(0.005+0.010+0.015×2+a+0.030)×10=1，解得a=0.025；

(2)45×0.05+55【解析】(1)由直方图区间频率和为1求a即可；(2)根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；

(3)19.【答案】证明：(1)∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，

又AB/​/CD，∴∠CDB=∠ABD，

∴∠CBD=∠ABD，又∠ABC=60°，

∴∠ABD=30°，又AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，

∴△ABD≌△BAC，∴∠CAB=∠ABD=30°，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，

∵FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC，∴AC⊥平面BCF，

∴AC【解析】(1)根据题意，结合几何关系证明AC⊥BC，在根据线面垂直证明FC⊥AC，进而证明AC⊥平面FBC，再根据线面垂直得结论；

(2)取DF中点H，连接HE，H20.【答案】解：(1)根据题意，X=24后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．

记事件A=“X=24后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，

所以P(A)=23×23+(1−23)×(1−25)=2945．

即X=24后两队共发2次球就结束比赛的概率为2945．

(2)X=22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22【解析】(1)分析可得：X=24后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．由此结合互斥事件的概率计算公式计算可得答案；

(2)记事件B=“甲以25：22取得该局胜利”，C=“甲以25：23取得该局胜利”，D=“21.【答案】(Ⅰ)证明：设AB1∩A1B=M，连接DM，

因为四边形AA1B1B为平行四边形，

所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，

所以DM/​/B1C，

因为DM⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，

所以B1C/​/平面A1BD；

(Ⅱ)解：取A1D中点N因为AN⊂平面A1又因为A1A=AD=1，所以AN⊥A1D，

又BD∩A1D=D，BD、A1D⊂平面A1BD，