圆中动点与最值问题集锦

圆中动点与最值问题集锦1.在图中，直线l与圆O相离，且OA⊥l，OA=5，OA与圆O相交于点P，AB与圆O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C。要求在圆O上存在点Q，使得△QAC是以AC为底边的等腰三角形。则圆O的半径r的取值范围为C。2.已知如图，RtΔABC中，∠B=90º，∠A=30º，BC=6cm。点O从A点出发，沿AB以每秒3cm的速度向B点方向运动。当点O运动了t秒(t＞0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点。过E作EG⊥DE交射线BC于G。（1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是DC。（2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是BA。3.如图，⊙M，⊙N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cm。P为⊙M上的任意一点，Q为⊙N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为α。当P、Q在两圆上任意运动时，tanα的最大值为G。4.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心。以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP。则△AOP面积的最大值为1。5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6。经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q。则线段PQ长度的最小值是6。6.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合）。过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F。在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为EO。7.如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1。若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E。则△ABE面积的最小值是1/2。8.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上。PQ与圆C相切于点Q。则线段PQ的长度为3。8.已知在圆O上，AB是一条弦，C是圆O上的一个动点，且∠C=60°。连接AC和BC。如果圆O的半径为2，则△ABC的面积最大值为_________．9.在图中，直线MN经过圆O上的点A，点B在MN上，且OB交圆O于点C，且C是OB的中点，AC=OB。如果点P是圆O上的一个动点，当AB=_________时，△APC的面积最大值为。10.如图，如果直角三角形ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．11.在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（-4，0）、B（0，4），圆O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上。过点P作圆O的一条切线PQ，Q为切点。则切线长PQ的最小值为_________．12.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-3，-2），圆A的半径为1，P为x轴上的一个动点，PQ切圆A于点Q。当PQ最小时，P点的坐标为_________．13.在图中，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点。以AD为直径画圆O，圆O分别交AB、AC于E、F，连接EF。（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值。14.如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于_________．15.在图中，点C在以AB为直径的圆O上，CD⊥AB于点P，设AP=a，PB=b。（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a和b的值。16.如图，圆O的半径为2，点P是圆O内一点，且OP=BD。则四边形ABCD面积的最大值为_________．17.如图，以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ、RS。求PQ+RS取值范围。18.在图中，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，圆O外接于△CDE。则圆O半径的最小值为_________．四边形ABCD内接于圆，已知∠ADC=90°，CD=4，AC=8，AB=BC。设O为AC的中点。1.设P为AB上的动点，求OP+PC的最小值。解：考虑利用圆的性质来解决问题。因为四边形ABCD内接于圆，所以AC是直径。又因为O为AC的中点，所以∠AOC=90°。又∠ADC=90°，所以∠ADC=∠AOC=90°。因此，四边形APOC也是内接四边形。由勾股定理可知，AD=√(AC²-CD²)=√(8²-4²)=4√3。又因为∠APC=180°-∠ADC=90°，所以AP²+PC²=AC²=64。所以OP+PC=√(AP²+OP²)+PC≥√(AC²)=8。当且仅当P为线段AC的中点时，OP+PC=8，所以OP+PC的最小值为8。2.设Q、R分别是AB、AD上的动点，求△CQR的周长的最小值。解：同样地，利用圆的性质来解决问题。因为四边形ABCD内接于圆，所以AC是直径。又因为O为AC的中点，所以∠AOC=90°。又∠ADC=90°，所以∠ADC=∠AOC=90°。因此，四边形APOC也是内接四边形。由勾股定理可知，AD=√(AC²-CD²)=√(8²-4²)=4√3。又因为AB=BC，所以AC=2AB。设AB=x，则BC=x，所以AP=PB=AC/2=x。设∠CQR=θ，则∠QCR=180°-∠CQR-∠ACD=90°-θ。由正弦定理可知，CQ/sin(θ)=CD/sin(∠CQR)，所以CQ=4sin(θ)/sin(∠CQR)。同理可得CR=4√3sin(90°-θ)/sin(∠CQR)=4√3cos(θ)/sin(∠CQR)。所以QR=4√(3sin²(θ)+cos²(θ))/sin(∠CQR)。因此，△CQR的周长为4√(3sin²(θ)+cos²(θ))/sin(∠C