陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(81章)

习 题4ft〔x，y〕为一无限大正交光栅1 1a、ax、y方向上缝的宽度，b、b则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图8-53〔a〕所示1 2 1 2的频谱。分别用图8-5〔〔〔〕所示的三种滤波器进展滤波，求输出面上的光强分布〔图中阴影区表示不透亮屏。. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕8.53〔8.1图〕解答：依据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为ℱT(f,f)= [t(x,y)]ℱx y 1 1={将函数开放得

1ℱ[rect(xb a11 1

)]·ℱ[comb( 1)]}{bx1bx

1ℱ[rect(y1b a12 2

)·ℱ[comb(b1)]}y2yT(fx

,f)=y

ab 11

a+f) sinc( 1)δ(f+x b 1

1 a++) sinc( 1)δ(f++b b x1 1

1)+••}b1bab22

{sinc(a2

f)+sinc(b2)δ(fayy2ayy

b)+sinc(b2)δ(fa1y2 2a1y

1)+••}+b2+b用滤波器〔b〕时，其透过率函数可写为F(f,f)=x y

1 f=+1/bx 1

f=0y0 fx滤波后的光振幅函数为

1/b1

f=任何值yaT·F= 1b1输出平面光振幅函数为

sinc(a1)[δ(fb 1

-1) δ(f++b x++1

1)]b1ℱ 〔xy〕= -[TFℱ 3 3a a1

2x+3+

2x3= bsinc( 1){exp[j( )] exp[-j( )]}b b b1 1 1 1•2a a•1

2x3= sinc( 1)b b1 1

cos ( )b1输出强度分布为I〔x，y〕=

4a21

sinc2(

a)•cos2(

3)13 3 b2 b b11 1 12a2

a • -C= 1 sinc2( 1) cos( 3)b2 b b1 1 1其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。用滤波器〔c〕时，其透过率函数可写为1 f ，f0x yF(f,f)=x y滤波后的光振幅函数为

0 f=f=0x yT·F=

a1{b1

sinc(

a1)(fb 1

a+) sinc( 1+b b1 1

)(fx

1)+••}+b1+b a2{b2

sinc( 2)(fab a2

b)+sinc(b2)(fa1y2 2a1y

1)+••}+b2+b输出平面光振幅函数为ℱ 〔xy〕= -[TFℱ 3 3={rect( )={rect( )comb( [3 3

]- a x3 }1rect( b a b b b1rect( 1 1 1 1 1×{1[rect(y3)comb(y3)]-

yrect( 3)}b a2 2输出强度分布为

b b2 2 2 〔xy〕= xy〕 8．98．10。用滤波器d〕时，输出平面将得到余弦光栅构造的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为bb、b的关系为1 28-53〔b〕100线/mm，滤波器仅允许+2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。8．1题的分析，当滤波器仅允许+2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为a 2 +

+2 }〔x

〕=ℱ-1{sinc(

1)[ (f -

(f )]3 b12a a= 1sinc( b b1 1

x b x b1 13b1其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：4a2I= 1

sinc2(

a1)cos2

3b2 b b12a2

1 1a = 1 sinc2(1)cos

3 -Cb2 b b1 1 1其中C是一个常数。答：干板上记录到的光栅频率是基频的4400线/mm。4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d=4，线宽a=1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，写出傅里叶平面P上的频谱分布表达式；2写出输出平面复振幅和光强分布表达式；在频谱面上作高通滤波，挡住零频重量，写出输出平面复振幅和光强分布表达式；假设将一个π位相滤波器 exp〔jπ〕 x，y ≤x，y2 2 0 0H〔x，y〕=2 20 其它放在P平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。28．1b=d=4，a=a=1，除去与y重量有关的项，可得1 1〔a〕P平面上的频谱分布为：2〔b〕输出平面：ℱ复振幅t〔x〕= -1[T〔f〕]ℱ3 x假设不考虑透镜尺寸的影响，它应当是原物的几何像，即41 x4t(x)=3

4[rect(x3)comb( 3)]41 x4光强分布I(x)=|t(x)|2=3 3

16[rect(x3)comb( 3)]2(c)8．1题〔3〕一样，即1 x 1 xt(x)=

[rect(x)comb( 3)]- rect( 3)3 4

4 4 4I=|t(x)|23a=d/4，所以强度将消灭比照度反转，像光栅常数仍为d=4，线宽为a’=3，见以以下图t〔x〕 I〔x〕3 3···3···0 x ···3···0 x3〔d〕将一个位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为exp〔j〕 f =f =0x yH〔f

，f〕=x y

1 f，f0x y只考虑一维状况，频谱变为Tf

〕=T〔fx

〕H〔f〕·x x·1 1 1 1 1= {sinc(f)exp(j)+ f - )+ f+ 4 x sinc(4)(x 4 sinc(4)(x 41= {-sinc(f)+ 1 f -1)+ 1 14 x sinc(4) ( x 4 sinc(4) ( x 4输出平面上的复振幅为ℱ t(x)= -1[T〔f〕H〔f〕ℱ 3 x x1 1

x 1 x=-4

rect(x3

)+4[rect(x3

)comb( 3)]- rect( 3)4 4 48-54所示的滤波器函数可表示为：1 f＞0xH〔f，f〕= 0 f＝0f y x-1 f＜0x此滤波器称为希尔伯特滤波器。证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。x”y L1 fy L2x”x fx解答：位相物可表达为

y”8.54〔8.4图〕t〔x，y〕=A·exp[j〔x，y〕]0 1 1 1 1对于弱位相物有1弧度，上式近似为〔无视A〕t〔x，y〕1+j〔x，y〕0 1 1 1 1滤波平面得到0 1 T〔fx，fy〕=ℱ[t〔x，y〕0 1 x y x =〔f，f〕+j〔f，fx y x 1 f 其中〔fx，fy〕=[〔x，y〕]经希尔伯特滤波器，频谱面后的光分布为T〔x，fy〕〔fxfy〕〔f，f1 f xfj〔f，〕 f0xfy x= 0 fx0xf-j〔f，〕 f0xfy x像平面光场复振幅为 〔以下无把握〕3 x x，y=ℱ[T〔f3 x j〔-x

，-y〕 x03 3 33= 0 x03-j〔-x

，-y〕

x03 3 3光强分布为 I = t’·t’∗-2〔-x

，-y〕 x03 3 3= 0 x032〔-x

，-y

〕 x03 3 3〔此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题〕如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以供给一个比较均匀的照明光场，试说明其原理。激光器

针孔 L光栅的复振幅透过率为

8.55〔8.5图〕t〔x〕=cos8.55〔8.5图〕04f系统输入平面PP上的某个一级谱位置放一块λ/21 2解答：将复振幅透过率函数变换为t〔x〕=cos2πfx=[1+cos2πfx]/20 0其频谱为xT〔f〕=ℱ[t〔x〕]x=1〔f〕+ 1ℱ[cos2πfx]2 x 2 01 1 1= 〔f〕+2 x

〔f-f〕+4 x 0

〔f+f〕4 x 0其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/2位相板放在+1级谱上，其透过率表达为H〔f〕=exp〔jπ〕x则频谱面P后的光振幅变为2T’= T·H1 1 1·= 〔f〕+·2 x

〔f-f〕exp〔jπ〕+4 x 0

〔f+f〕4 x 01 1 1= 〔f〕-2 x

〔f-f〕+4 x 0

〔f+f〕4 x 0像平面光场复振幅为〔〕=ℱ-1]1 1 1=2 -

exp〔j2πfx〕+4 03

exp〔-j2πfx〕4 031 1= 2像平面强度分布为

- jsin〔2πfx〕2 03I=〔2=·〔〕∗=1[1-jsin〔2πfx〕][1+jsin〔2πfx〕]4 03 031 1= + sin2〔2πfx〕4 4 03像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且消灭图形的横1/2周期。 AB置于输入平面P1原点两侧，A〔x1-，1〕和1+，1P2平面上光栅的空间频率为0，它与l的关系为：f0=l/λf，其中λf分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：试从数学上证明：在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减运算；当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。 如何实现图形O1和O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。解答：第一步，制作O1的傅里叶变换全息图，光路如下：(x1，y1) L (x2，y2)O1 R-b Hf f全息图H的透过率为tH=|1|2+R02+R01〔fx，fy〕exp_[-j2πfxb]+R01∗〔fx，fy〕exp_[j2πfxb]其中1=ℱ[O1]，R0为平面参考波的振幅，b为参考点源的横向位移量。其次步，进展卷积运算。在4f系统中，将2置于输入平面1，全息图置于频谱平面2，如图x,y x,yL1L1HL2O(x,y)2 1 1f”ff”x,y1223 3O1O2O几何像2O∗O f1 2 1频谱面后的光场为2 UH”=ℱ[O]·2 0=2·{|1|2+R0

2+R

〔f，f〕exp_[-j2πfb]01xyx+R ∗〔f，f〕exp_[j2πfb]}01xyx01 x y x输出平面光场为O∗ℱ-1[t]2 H□ ∗ =R2O+O O∗O+RO(x-b，y) O+RO∗(-x-b，-□ ∗ 0 2 1 1 2 0 1 3 3 2 0 1 3 3 2式中第三项即为O 和O的卷积运算，位置在x=b处。1 2 34f∂g/∂x，假设输入图象gxl，光栅频率应如何选取？解答：设复合光栅的空间频率为f0

和f+，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像，两个正一级像的0位相差等于π，它们离零级像的角间距、1 2

分别由下式确定sin1

=f， 〔1〕0sin2

=〔f0

+〕 〔2〕因而正一级像离零级像的线间距分别为l=sin1l=sin2

1·f 〔3〕2·f 〔4〕其中f是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是l-ll/2 〔l为物的宽度〕 〔5〕1 2将1〕两式代入〔〕两式，再代入〕式，得到·l-l= fl/2·1 2 l2f

〔6〕因而复合光栅的空间频率差应满足〔6〕式关系，才能得到微分图像。用f系统通过匹配滤波器作特征识别，物〔〕的匹配滤波器为G〔ff，当物在输入平面上平x y移后可表示为〔x-，y-，求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为x=a，y=。i i用一个单透镜系统对图象进展θ调制假彩色编码，如图8-55所示。调制物O 的光栅空间频率m100线/mm20cm6×6cm，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进展成功的滤波操作〔工作波长范围为650.—444.4n。OmdfOmdf8.56〔8.11图〕白光解答：设：f=100线/mm，d=20cm，a×b=6×6cm， =650．0nm， =444．4cm0 max min求：透镜最小孔径min解：调制物O 的最大线度为m√2l=〔a+b〕1/2=62cm√2 2l=3√2cm欲在频谱面上进展成功的滤波操作，必需使全部物点的一级衍射波都能进入透 镜，最大衍射角θmax

应与max

相应，即sinθ

/fmax

=max由几何关系得到所以有

sin =[〔/2〕-l]/dθmaxθ=2[d·f·

+l]0 max代入数据，得 =110．85mm111mm答：透镜孔径至少应到达111mm，才能保证在频谱面上进展成功的滤波操作。第九章习题解答9-1.全息象状况。答：在图示的状况下，物的两个端点为A和B点，它们被全息记录在一条线区域上，当白光再现时，这一区域的衍射光是色散AA点的长波长沿AM方向衍射，短波长沿AN方向衍射，B点的长波长沿BN方向衍射，短波长沿BM方向衍射。假设沿APBP方向衍射的波长一样，那么人眼NPP将看到单色红，反之则相反。BP点是某一衍射波长的虚狭缝，A和B它们对应，AMA最短波长的衍Q方向，BMB的最长波长衍射方向。明显，眼睛在M点观看P将能看到B色呈光谱色分布，在图示状况下，上部是紫色，下部是红色。眼睛观看到的象的范围由眼睛离全息图的距离打算，离得越远，观看到的范围越大。9-2.

B用白光点光源再现彩虹全息时，人眼将Q′察到由光谱色组成的单色象。假设用白光线光源作为再现光源，线光源的扩展方向与狭缝方向垂直，这时观看到的是消色差的黑白象，试解释其缘由。时，很多个不同波长的再现象重合在一起，这也就形成了消色差的黑白象。9-3.在一步法彩虹全息记录光路中，物的大小为10cm6.5cm20cm，对物1：130cm，要求人双眼能同时观看完整的象，试计算成像透镜的焦比。解：设透镜L1:1APOQ使MN大于等于双眼间距处。设透镜孔径为D，焦距为f，物体 M aP

d，狭缝距象的距D O′离为L。由图中的几何关系可以得到所以 B

O ABdN

，人眼瞳孔间距为QD=20cm，a=10cm，d=6.5cm，L=30cm代入上式，得到D/f=2.2，这是一个很不切合实际的数据。实际上用一步彩虹全息是不行能获得大观看2f。 L9-4.在用横向面积分割法制作彩颜色虹全息母板的方法中，以下条件：三色光的中心波长分别为645.2nm、526.3nm444.4nm；第一步记录时被记录物中心位于建在母全息图HM的坐标系的zHM30cm；其次3045的平行光，三色再现狭缝位于z轴；442nm。试据以上条件，确定HM上H1、H2H3的位置。假设每个狭缝的光谱带宽为10nm，试确定狭缝宽度。解：x xr (a) (b)图(a)和图(b)是本习题的记录和再现光路。在图(a)中设三个狭缝图象中心的入射角分别是θ

、θ 和θ ，参R G BSR

射角是θ ，图(b)是共轭再现光路，再现光入射角是θ ，图象中心三狭缝的不同色光的衍射光方向一样，cr设SG角为θ 。由光栅方程 OcrzizSB O z sin sin M i c 0

sino

sin ，r得到共轭再现l的θ ，H Ho csino

sinr

sin，c式中λ 和λ分别为记录波长和再现波长，θ 的下标o分别对应于R、G和B。按题中条件及图(a)的坐标系，0 o以λ =442.0nm和λ=444.4nm、526.3nm、645.2代入上式，得到0l=-30cm由于狭缝有确定宽度而引起的带宽可对光栅方程微分得到，即 sinsin 0 i

c。o

coso由此可得到狭缝宽度9-5.承受图示的双狭缝彩虹全息记录光路第一步，用挡板挡住S，用S对物体O曝光；其次步，用挡板挡住S，用S对物体O曝光。然后将显影的全2 1 1 1 2 2息图用白光照明，人眼在不同位置即可看到不同物体的再现象。画出再现狭缝实象的示意图，说明再现象的特点。解释多狭缝彩虹全息图作多目标存储和假彩色编码的原理。〔以R

9-5RO的共轭光再现全息图，在原狭缝处得到实狭缝，此时在实狭缝处观看，观看到的是赝象，即凹凸与原记录物体相反的象。 S1〔2〕记录多目标时，在透镜处放置多个狭缝，分别对应于不同的物体进展全息记录，再现时用单色光，眼睛S2进展假彩色编码时，将待编码的物体分别置于透镜的物面，在透镜处分别遮挡不同的狭缝，记录在同一张全息图上，再现时用白光再现，不同编码图象按不同颜色重叠在一起，结果形成假彩色图象。9-6.色片，当白光以某一角度再现全息图时，三分色片将分别被三原色再现，呈现彩色图象。试说明其原理，并作相应的三参考光入射角设计计算〔提示：用三棱镜与记录介质用匹配液匹配的方法可以增加参考光入射角；用布喇格条件和光栅方程进展设计，参考第57章体全息局部。关系是式中角度量θ的下标o、r、c、i分别表示记录时的物光、参考光和再现时的再现光、衍射光，它们均是介质内的量，λ和λ分别表示记录光和满足布喇格条件的再现光波长。按题意，θ、θ和λ均由使用条件打算，利1 2 c i 2用上式求出θ和θ，从上式可以求出o r icr 2

sin112

sini

。2 在本习题中θ 取207.°〔在记录介质中角度，空气中为22°θ 取°λ 则取三原色波长，利用上式c I 2450nm、530nm和630nm，得到参考光和物光入射角如下表波长波长λ (nm)2450参考光入射角θr物光入射角θo202.75°4.95°530226.83°-19.13°630238.96°-31.26°明显，假设在参考光入射的一边不实行其他措施，530nm和630nm的介质内入射角是无法实现的。承受45°直角三棱镜匹配的光路如以以下图所示。x把上表的数据折算成空气中的入射角如下表所示〔为在直角三棱镜斜边的入射角，假设物光由散射r际上大散射角的散会中物光入射角。照明息记录时，在全息干板前分别换三原色掩膜，对应于它们的光路参数作三次曝光。在对全息45°角入射，就能观看到彩色二维照片。zλ

(nm)2

450二维照片

530

630参考光入射角r物光入射角o

35.14°.3

匹配液

-2.78°-29.88°三棱镜习题解答

-21.51°-52.07°试比较被动三维传感和主动三维传感系统的原理、系统构造、适用范围和优缺点〔思考题〕在三角测量法中通常承受的三种坐标系统如图10.6所示。试推导三种坐标关系中，物体的距离或高度z与测量变量△x之间的关系式，即三角测量法中的测量方程。解答：投影光轴与成像光轴平行。所构成的物三角形和像三角形是相像的直角三角形,测量方程是。式中：bhxz投影光轴和成像光轴相交。θ是投影光轴与成像光轴的夹角，O是两光轴交点并作为物体高度计量的原点，II′是成像系统的入瞳和出瞳，线阵探测器与成像光轴垂直，与I′点的距离为f;当物距l较大时，f近似地等于成像透镜的焦距。由图中所示的几何关系可以导出。(3)投影光轴和成像光轴相交,探测器基线与成像光轴成一倾角β，当满足Scheimpflug条件，即满足关系tgktg 时，待测距离zx(10.16)和(10.17何提高激光三角法测量精度。(10.16)和(10.17)说明，这种不确定性与透镜的数值孔径、激光的波长和散斑的比照度有关。通过增大透镜的数值孔径，减小波长C，降低散斑的比照度可以提高激光三角法测量精度。〔思考题〕位相开放过程，推导二维截断位相函数φw(i,j)开放过程的数学表达式.为基准，沿每一行开放。承受远心光路的PMP10.22所示。设图中=300，’=00，在参考平面上看到的投影正弦光栅是等周期分布的，其周斯P=5mm，求该系统的等效波长。假设系统对条纹位相的测量精度为2/100,求系统的测量0精度。试争论提高系统的测量精度的方法。解答：等效波长e

P/tg＝8.7mm0.087mm.减小等效波长0 e

可以提高系统的测量精度。位相测量轮廓术和傅立叶变换轮廓术是基于三角测量原理理上的区分，并比较三种方法的测量精度〔思考题〕飞行时间法(TOF)是基于直接测量激光或其他光源脉冲的飞行时间来确定物风光形的方法。图10.43TOF9MHz的调制器调制后投射到物接收的信号经9MHz2/100，求系统的测量精度。假设保持位相的测量精度不变，光束的调制频率提高到90MHz,系统的测量精度是多少。0.33m90MHz,系统的测量精度提高到0.03m。第十一章习题试证明任意两个相互统计独立的随机变量之间相关系数为零。答：参阅《统计光学〔根本概念个习题》P21。证明设UVUV的联合概率密度函数可为边缘概率密度函数的乘积：因而U和V的相关函数为依据定义，U和V的协方差则为故相关系数(CUV

/U

)为零。NNN

aejk之和中每一个幅值k

及相位akakN

ak

具有一样的概率分布，数学期望与二阶矩分别为a 和a ；随机位相 均布于,区间内。试计算1〕当N趋 k近于无穷大时这N个随机相幅矢量之和的实部和虚部的均值与方差及相关系数〔〕实部和虚部的联合概

,率密度函数并绘出复平面上等概率密度曲线图。假设随机位相

均布于k

区间内计算结果及函数图象有何变化？答：参阅《统计光学》P42-45及《统计光学〔根本概念个习题》P30-34。解：设和矢量为〔用复数表示，即其实部与虚局部别为依据N个微元矢量的相互独立性可得对于均布与之中的Φ有 22 k所以为了要计算r2

及2，首先计算二阶矩r2i

及i2，式中因而要计算相关函数，还需要计算实部与虚部之间相关函数，其中最终可得出这说明实部与虚部之间仍是不相关的。由于N是个很大的数，由中心极限定理知实部r与虚部i分别为高斯随机变量，即ri不相关，其联合概率密度函数仍为高斯型，可写作1.12ri的联合等概率密度曲线简图，假设图中各椭圆之长短轴分别为an

b，则有n图p (r,i的等概率密度曲线简图RI11.3hx,yP,，试证明全息再现的变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式〔11.27b〕可以转化为〔11.13〕式中复自相干度的表达形式。证明：变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式(11.27b)为傅氏反变换，即式中ΔxΔy是d2

(r)的两个重量。当ΔxΔy即d2

(r)为零时，式(11.27b)右边分子变为分母的形式，因而有λz将上述两式代回相关因子的表达式中〔11.27〕即可转化为λzξη)ξη)dξdη

ξη)expjπΔxΔy

ξ

〔11.13〕在如图11.2的全息干预记录光路中置于物面处的被测物在激振器驱动下垂直于物面进展稳态振动，照明30°。用时间平均法记录下的全息图处理后放到图11.3的全息干预再现光路中，再现参考光与物面之间几何关系与记录光路中完全一样。假设在再现时观看到的两条节线之间正好有五条暗纹，试问稳态振型的振幅最大值是多少？假设记录和再现的光波长为633大值处是第三条暗纹。因此故振幅