2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版） 三角形综合能力提升训练（解析版）

三角形综合能力提升训练一．选择题（共17小题）1．某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：延长DC交AB于E，∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠BCD＝110°，∠B＝20°，∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°，∵∠CEB＝∠A+∠D，∠D＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，故选：B．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝24°，则∠A的度数为（）A．24° B．32° C．38° D．48°【答案】C【解答】解：∵∠ADE＝24°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE＝156°，∵将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处，∴∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝∠EDC＝∠BDE＝＝78°，∵∠ACB＝80°，∴∠ACD＝∠BCD＝ACB＝40°，∴∠A＝180°﹣∠ACD﹣∠ADE﹣∠CDE＝180°﹣40°﹣78°﹣24°＝38°，故选：C．3．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B．4．如图，已知AB∥DC​，Rt△FEG​直角顶点在CD​上，已知∠FEC＝35°​，则∠GHB＝（）​A．35°​ B．45°​ C．55°​ D．65°​【答案】C【解答】解：∵∠FEG＝90°，∴∠GED+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝35°，∴∠GED＝55°，∵AB∥CD，∴∠GHB＝∠GED＝55°．故选：C．5．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（）A．22° B．27° C．30° D．37°【答案】B【解答】解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA与∠COM互为对顶角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．6．如图①、②中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2的度数为（）A．111 B．174 C．153 D．132【答案】D【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．∵∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ACB，∴∠2+∠4＝69°．∵∠2+∠4+∠O1＝180°，∴∠O1＝180°﹣69°＝111°．∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝42°+∠ABC，又∵∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ACD，∴∠4＝（42°+∠ABC）＝21°+∠ABC．∵∠4＝∠2+∠O2．∴∠O2＝∠4﹣∠2＝21°+∠ABC﹣ABC＝21°∴∠O1+∠O2＝111°+21°＝132°．故选：D．7．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（）A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°【答案】D【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故选：D．8．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（）A．50° B．45° C．65° D．70°【答案】A【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB．∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，∴∠EBC+∠FCB＝65°．∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠A＝50°．故选：A．9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75° B．80° C．85° D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故选：A．10．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022是（）度．A．x B．x C．x D．x【答案】C【解答】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，∵BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝x°，同理可得，∠A2＝∠A1＝×x°，∠A3＝∠A2＝××x°，…，∴∠A2022＝x°，故选：C．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∠B＝70°，∴∠A＝20°．∵△DEF是由△DEA折叠成的，∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，∴∠BDF＝180°﹣2∠1．∵∠CEF+∠CED＝∠DEF＝∠3，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠A．∴∠CEF＝∠3﹣∠CED．＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A＝180°﹣2∠1﹣2∠A＝140°﹣2∠1．∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1＝40°．故选：C．12．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB于点H，则∠DCH的度数是（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝25°．∵CH⊥AB于点H，∴∠CHB＝90°．∴∠ACH＝∠CHB﹣∠A＝30°．∴∠DCH＝∠ACH﹣∠ACD＝30°﹣25°＝5°．故选：A．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°，由折叠性质得：∠ABD＝∠A'BD，∴∠ABC﹣∠CBD＝∠A'BC+∠CBD，∴60°﹣∠CBD＝30°+∠CBD，解得：∠CBD＝15°．故选：C．14．如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为（）A．48° B．72° C．108° D．132°【答案】C【解答】解：如图②，由折叠得：∠B'EF＝∠FEM＝24°，∵AE∥DF，∴∠EFM＝24°，∠BMF＝∠DME＝48°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF＝180°，∴∠CFM＝180°﹣48°＝132°，由折叠得：如图③，∠MFC＝132°，∴∠EFC＝∠MFC﹣∠EFM＝132°﹣24°＝108°，故选：C．15．如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．20° D．22.5°【答案】A【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，∴∠A＝2×15°＝30°．故选：A．16．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1+∠2＝55°，则∠A的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．75°【答案】C【解答】解：∵∠D＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝60°，∵∠1+∠2＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝60°+55°＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，故选：C．17．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：B．二．填空题（共5小题）18．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．【答案】120°【解答】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，∵∠BA'C＝120°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，故答案为：120°．19．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．【答案】30【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．20．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．【答案】①②④【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∴∠ABD＝∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①正确，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∴∠D＝∠A，故②正确；∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A，∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，故③错误；∵∠DCF＝∠DBC+∠D，∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，综上正确的有：①②④．21．用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．【答案】36【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝36度．22．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【答案】n2+2n【解答】解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是n•（n+2）＝n2+2n故答案为：n2+2n．三．解答题（共8小题）23．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，∵FA＝FE，∴∠CAD＝∠AEF，∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，∴BG＝BE＝AC，∵AE＝DC＝BD，∴AE+ED＝DH+ED，∴AD＝EH，在△DAC和△HEB中，，∴△DAC≌△HEB（SAS），∴CD＝BH，∴BD＝BH＝DH，∴△BDH为等边三角形，∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．故答案为：60°．24．在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）课本原题再现：如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠EAD的度数．（写出解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可；（2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得∠CAE＝90°﹣（∠ABC+∠ACB），再根据直角三角形的性质可得∠CAD＝90°﹣∠ACB，然后由∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD代入计算可求解；（3）过A作AG⊥BC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB，再根据直角三角形的性质可得∠GAC＝90°﹣∠ACB，进而可求解．25．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．【解答】解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD＝∠DAF，∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ADC＝50°+30°＝80°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°．26．如图，将长方形纸片ABCD（四个内角均为直角，两组对边分别平行）沿EF折叠后，点C、D分别落在点M、N的位置，EN的延长线交BC于点G．（1）若∠EFG＝68°，求∠AEN、∠BGN的度数；（2）若点P是射线BA上一点（点P不与点A重合），过点P作PH⊥EG于H，PQ平分∠APH，PQ与EF有怎样的位置关系？为什么？【解答】解：（1）由折叠可知∠DEF＝∠GEF，∵AD∥BC，∴∠EFG＝∠DEF＝68°，∴∠AEN＝180°﹣∠DEN＝44°，∴∠BGN＝∠DEG＝136°；（2）PQ⊥EF或PQ∥EF；①点P在线段AB上，PQ⊥EF，如图，设PQ交EF于点T，∵PQ平分∠APH，∴∠APQ＝∠HPQ，设∠APQ＝∠HPQ＝α，∠DEF＝∠GEF＝β，由题意可知∠A＝90°，∵PH⊥EG，∴∠PHE＝90°，在四边形APHE中，∠A+∠APH+∠PHE+∠AEH＝360°∴∠APH+∠AEG＝180°，∵∠AEG＝180°﹣∠GED＝180°﹣2β，∴2α+180°﹣2β＝180°，∴α＝β，∵∠TEA＝β，α+∠AKP＝90°，∠AKP＝∠TKE，∴∠TKE+∠KET＝90°，∴∠KTE＝90°，∴PQ⊥EF；②点P在线段BA的延长线上，PQ∥EF，如图，设PQ交EF于点T，∵PQ平分∠APH，∴∠APQ＝∠HPQ，设∠APQ＝∠HPQ＝α，∠DEF＝∠GEF＝β，由题意可知∠ABC＝90°，在四边形APHE中，∠A+∠BPH+∠PHG+∠BGH＝360°，∴∠BGE+∠BFH＝180°，∵长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE＝∠GED＝2β，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∵α+∠PTE＝90°，∴β＝∠ETP，即∠GEF＝∠ETP，∴PQ∥EF，综上所述：点P在线段AB上，PQ⊥EF；点P在线段BA的延长线上，PQ∥EF．27．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠1＝（角平分线定义）．同理：∠2＝．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（），所以∠D＝（等式性质）．即：∠D＝90°+∠A．（2）探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．答：∠D与∠A之间的等量关系是．【解答】解：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠1＝∠ABC（角平分线定义）．同理：∠2＝∠ACB．因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），所以∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．即：∠D＝90°+∠A．故答案为：ABC，ACB，三角形的内角和等于180°，180°﹣（∠ABC+∠ACB）．（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A+2∠D＝180°，∴∠D＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∴∠DCE＝∠DBC+∠D，∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D∴∠A＝2∠D即：∠D＝∠A．故答案为：∠D＝∠A．28．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【解答】解：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠ACD+∠ECD＝∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE＝∠D+∠DBC，又BD平分∠ABC