2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z=a+3i，zA.−1 B.1 C.−5 2.已知向量a，b，满足|a|=3，|b|=4，a与b的夹角的余弦值为3A.a B.3a C.94b3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为(

)A.15 B.25 C.354.已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x1，x2，x3，…，x40，经计算全班数学平均成绩x−=A.20 B.25 C.10 5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.若E∈BD1，F∈BD，则EF⊥AC

B.若E∈BD1，F∈BD，则平面BEF⊥6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图)，纪念碑的最顶端记为A点，纪念碑的最底端记为B点(B在A的正下方)，在广场内(与B在同一水平面内)选取C，D两点，测得CD的长为15米，∠ACB=45°，∠CA.14米 B.15米 C.16米 D.17米7.已知等边三边形ABC的边长为4，D为BC的中点，将△ADB沿AD折到△ADBA.−32 B.0 C.18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2B+coA.(63,6+63二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z满足z⋅(1−A.|z|=10 B.z的虚部为3i

C.10.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.如图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则(

)

A.本地新增阳性人数最多的一天是10日

B.本地新增确诊病例的极差为84

C.本地新增确诊病例人数的中位数是46

D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数11.已知M是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面内一点，A.当M为正六边形ABCDEF的中心时，t=12

B.t的最大值为4

C.12.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形ABC1A.直线A2C1//平面ABCD

B.D2到平面ABCD的距离为1+22

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2+2x+14.数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为______．15.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少216.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DB⊥AB，AB=DB=B

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

在△ABC中，AC=BC=6，AB=4，AP=λAB(018.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB=419.(本小题12.0分)

已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．

(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；

(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．

(i)写出该试验的样本空间Ω20.(本小题12.0分)

某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如图：

若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题．

(1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；

(2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000．

(ⅰ)已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x−，s12；n，y−，s2221.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PBC⊥底面ABCD．

(1)若∠PB22.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AB上，∠A=π4，BD=CD，AD=2．

(答案和解析1.【答案】A

【解析】解：复数z=a+3i，z−=2+bi，

由共轭复数的定义可知，

a=2，b=−3，

2.【答案】D

【解析】解：因为向量a，b，满足|a|=3，|b|=4，a与b夹角的余弦值为34，

所以向量a在向量b上的投影向量为

a⋅3.【答案】B

【解析】解：五条线段中任取3条有C53种结果，这些结果等可能出现．

要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，

故只有：(3,7,8)，(3,7,9)，(3,8,9)，(4.【答案】D

【解析】解：已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为x1，x2，…，x40，

因为全班数学平均成绩x−=90，且i=140xi2=324400，

所以该班学生此次数学成绩的标准差5.【答案】C

【解析】解：对于A，如图所示：

若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面

B1D1DB，

因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则DD1⊥AC，

又AC⊥BD，且DD1⋂BD=D，DD1⊂平面B1D1DBBD⊂平面B1D1DB，

所以

AC⊥平面B1D1DB，又EF⊂平面B1D1DB，所以EF⊥AC，故A正确；

对于B，若E∈BD1，F∈BD，则EF⊂平面

B1D1DB，由正方体的性质得AC⊥平面B1D1DB，

又A1C1//AC，则A1C1⊥平面B1D1DB，即A1C1⊥平面A1BC1，

又A1C1⊂平面BEF，所以平面B6.【答案】B

【解析】解：设AB=h，

在Rt△ABC中，因为∠ACB=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，所以BC=AB=h，

在Rt△ABD中，因为∠ADB=30°7.【答案】D

【解析】解：分别取CD，B1C，AD的中点E，F，G，连接GF，DF，EF，GE，

则GE//AC，EF//B1D且EF=12B1D=1,GE=12AC=2,DF=GD=3，

所以直线AC与B1D所成的角为∠GEF(或其补角)，8.【答案】B

【解析】解：∵cos2B+cosBcos(A−C)=sinAsinC

∴cosB[cosB+cos(A−C)]=sinAsinC，

∵A+B+C=π，∴cosB[−cos(A+C)9.【答案】AC【解析】解：z⋅(1−3i)=10，

则z=101−3i=10(1+3i)(1−3i)(1+3i)=1+3i，10.【答案】AB【解析】解：对于A，由图可得2日至16日新增阳性人数依次为8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，

其中本地新增阳性人数最多的一天是10日，故A正确．

对于B，由图可知本地新增确诊病例的极差为90−6=84，故B正确．

对于C，由图可知本地新增确诊病例人数从小到大排列依次为6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，

则中位数为第8个数46，故C正确．

对于D，由图可知本地新增无症状感染者的平均数为0+5+30+43+69+39+16+1311.【答案】AC【解析】解：以O为原点，以AD为x轴，建立平面直角坐标系，如图，

∵正六边形边长为1，

∴A(−1,0),B(−12,−32),C(12,−32),D(1,0)，

设M(x,y)，则MA=(−1−x,−y),MC=(12−x,−32−y)，

MB=(−12−x,12.【答案】BD【解析】解：由已知条件中的旋转，可将正方形ABC1D1放于两个全等正方体的公共面上，

正方形ABCD和正方形A2BC1D2的位置如图所示，

连接MD1，PC1，PA，PC1，A2C1，如图所示，

因为平面ABCD//平面MD1C1P，直线A2C1与平面MD1C1P相交，

则直线A2C1与平面ABCD相交，所以A选项错误；

平面A2BC1D2与平面ABCD所成的锐二面角可转化为平面A2BC1D2与平面MD1C1P所成的锐二面角，

MP⊥平面MAD1N，AN⊂平面MAD1N，MP⊥AN，正方形MAD1N中，MD1⊥AN，

MD1，MP⊂平面MD1C1P，MD1⋂MP=M，AN⊥平面MD1C1P，

同理，AP⊥平面A2BC1D2，

平面A2BC1D2与平面MD113.【答案】−1【解析】解：方程x2+2x+3=0在复数范围内的根为

x=−14.【答案】17.5

【解析】解：这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，

8×34=6，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即17+182=17.515.【答案】712【解析】解：设甲同学答对的事件为A，答错的事件为A−，设乙同学答对的事件为B，答错的事件为B−乙同学答对的事件为C，答错的事件为C−，

因为甲同学答对的概率是12，甲、丙两位同学都答错的概率是16，乙、丙两位同学都答对的概率是13，

所以P(A)=12,P(A−B−)=P(A−)⋅P(B−)=16，P(BC)=P(B)⋅P16.【答案】4【解析】解：依题可得，四面体P−BCD的外接球的球心O为BC中点，外接球半径r=2，

要使∠MAO取到最大值，则∠AMO=90°，即AM与球O相切时，

∴sin∠MAO=rAO，

在△ABO中，

AO2=AB2+BO2−2AB⋅BO⋅cos∠ABO=4+2−217.【答案】解：(1)当λ=23时，AP=23AB，

则CP=CA+AP=CA+23AB

=CA+23(CB−CA)

=13CA+23CB；

(2)法一：

∵CP【解析】(1)利用向量的线性运算可得CP=13CA+23CB；

(2)利用向量的线性运算可得18.【答案】证明：(1)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，

所以侧面BCC1B1，BAA1B1，CAA1C1均为矩形，

又AB⊥BC，所以△ABC，△A1B1C1均为直角三角形，

又AA1=AB=4，BC=3，

∴AC=AB2+【解析】(1)直三棱柱的侧面是均为矩形，求侧面积就是求矩形的面积之和；

(2)19.【答案】解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，

因为A，B，C为两两互斥事件，

由已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(B)+P(C)=12，

解得P(A)=12P(B)=14P(C)=14，

∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；

(2)(i)由(1)知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，【解析】(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，根据A，B，C为两两互斥事件，由P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=34P(20.【答案】解：(1)估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450，

由频率分布直方图可知流量少于300M的所占比例为30%，

流量少于400M的所占比例为55%，

故抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在[300,400)内，

则中位数为300+(400−300)×0.5−0.30.55−0.3=380．

(2)(i)证明：总样本的方差为：

s2=1m+n[i【解析】(1)由频率分布直方图中众数为最高矩形横坐标的中点，中位数左边和右边的直方图面积相等可解；

(2)(i)21.【答案】解：(1)证明：如图，连接BD，

因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面ABCD=BC，PB⊥BC，PB⊂底面PBC，

所以PB⊥底面ABCD，

且AC⊂平面ABCD，可得AC⊥PB．

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

PB∩BD=B，BD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

且PD⊂平面PBD，可得AC⊥PD．

(2)因为AB//CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AB//平面PCD，

过B作BM⊥PC，垂足为M，连接AM，

因为侧面PBC⊥底面ABCD，侧面PBC∩底面A