控制系统的稳定性

控制系统的稳定性第1页，课件共102页，创作于2023年2月在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。4.3Lyapunov稳定性分析4.2Lyapunov稳定性理论4.1概述本章结构如下4.4非线性系统的稳定性分析第2页，课件共102页，创作于2023年2月线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

4.1概述Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。

☆第二法则是一种定性方法

它无需求解困难的非线性微分方程，转而构造一个

Lyapunov函数，研究其正定性及其对时间沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第3页，课件共102页，创作于2023年2月4.2Lyapunov意义下的稳定性问题则称为系统的平衡状态或平衡点。假设在给定初始条件下，上式有唯一解且当时，。于是式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。考虑如下非线性系统4.2.1平衡状态在上式的系统中，总存在,对所有t当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。如果系统是线性定常的，也就是说则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态第4页，课件共102页，创作于2023年2月对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。其平衡状态有：非线性系统注意：由于非零平衡点可以通过坐标变换将其移到状态空间的坐标原点，本章讨论关于原点处之平衡状态的稳定性问题。稳定性是相对于平衡点而言的第5页，课件共102页，创作于2023年2月4.2.2预备知识1.范数的概念定义：n维状态空间中，向量X的长度称为向量X的范数，用符号‖X‖表示，则有向量的距离：n维状态空间中，‖X-Xe‖称为向量X与Xe的距离，表示为域：n维状态空间中，当‖X-Xe‖限定在某一范围之内时，即，记为‖X-Xe‖的一个域。第6页，课件共102页，创作于2023年2月域的几何意义：表示为n维状态空间中以Xe为中心，

为半径的一个球域，记为S()。例4.0：设有如下两个向量，分别求相应的范数及向量的距离。第7页，课件共102页，创作于2023年2月建立在Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类函数起着很重要的作用，即二次型函数,每项的次数都是二次。注意，这里的为实向量，为实对称矩阵。例如2、二次型函数第8页，课件共102页，创作于2023年2月3、标量函数的正定性如果对所有在域

中的非零状态，有，且在处有，则在域（域

包含状态空间的原点）内的标量函数称为正定函数。4、标量函数的负定性则称是半正定（非负定）的。是负定的5、标量函数的正半定性6、标量函数的负半定性是半负定（非正定）的是不定的7、标量函数的不定性第9页，课件共102页，创作于2023年2月例4.1本例假设x为二维向量。 正定的54不定的负定的32正半定的正定的1二次型可用赛尔维斯特准则判断。（矩阵P为实对称矩阵。）以下均为充要条件(1)二次型为正定的充要条件是矩阵P

的所有主子行列式均为正值，第10页，课件共102页，创作于2023年2月(2)若，则P负定；例4.2试证明下列二次型是正定的。(1)P

的所有主子行列式均为正值，(3)若，则P正半定（非负定）；(4)若，则P半负定（非正定）；第11页，课件共102页，创作于2023年2月例4.2试证明下列二次型是正定的。[解]二次型可写为利用赛尔维斯特准则，可得因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是正定的。第12页，课件共102页，创作于2023年2月如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足则称平衡状态是Lyapunov意义下稳定的。其中，实数与有关，一般也与有关。如果与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。4.2.3Lyapunov意义下的稳定性定义1、Lyapunov意义下的稳定第13页，课件共102页，创作于2023年2月x0ε如果系统对任意选定的实数，都对应存在实数，使当时，从任意初态出发的解都满足第14页，课件共102页，创作于2023年2月第15页，课件共102页，创作于2023年2月2、渐近稳定，而且最终收敛于，如果平衡状态是稳定的，而且当t无限增长时，则称这种平衡状态是渐近稳定的。即有：轨线不仅不超出第16页，课件共102页，创作于2023年2月第17页，课件共102页，创作于2023年2月其必要条件是整个状态空间只有一个平衡点。线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定非线性系统：一般较小，小范围渐近稳定。3、大范围渐近稳定如果平衡状态是渐近稳定的，则为大范围渐近稳定的，且渐近稳定的最大范围是整个状态空间，稳定范围：不管如何给定，相应的总不能超过某一个正数，则称为稳定范围，如果选得任意大，使得，则称该运动是大范围稳定的。第18页，课件共102页，创作于2023年2月则称为不稳定。，不管多么小，如果对于某个实数和任一实数由出发的状态轨线，至少有一条轨线越过4、不稳定第19页，课件共102页，创作于2023年2月4.3Lyapunov稳定性理论4.3.1李雅普诺夫第二法1李雅普诺夫函数如果系统被激励，其能量不仅随着时间推移逐渐衰减，且到达平衡状态时，能量衰减到最小，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统被激励，还不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统被激励后，储能既不增加，也不消耗，这个平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。李雅普诺夫第二法又称直接法，其基本思路是通过一个标量函数（称为李氏函数）对系统的平衡状态的稳定性作出判断。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示，若与t无关，可用表示。第20页，课件共102页，创作于2023年2月图4.4曲面小球系统小球B受扰动作用后，偏离平衡点A到达状态C或状态D(b)图中渐近稳定性是局部的(c)图中平衡状态是不稳定的图中曲面光滑，李雅普诺夫稳定曲面有摩擦，渐近稳定实际系统有复杂性和多样性，难以直接找到一能量函数来描述系统的能量关系第21页，课件共102页，创作于2023年2月直观定义：定义正定有界，不妨可以看成一种“能量”不能等同于能量，且随着系统的不同的含义与形式不同，判断系统的稳定性，得寻找一个满足的李氏函数。对于简单系统，把李亚普洛夫函数取为系统的二次型函数；对于比较复杂系统，其李氏函数的构造尚无一般方法，只能根据研究者的经验而试选，且实际表明李亚普洛夫函数远比二次型要复杂得多。则为相应能量随时间的变化率。从物理上的意义上来说，能量有限，若能量的变化率是负的，即系统所有运动有界，并最终回到平衡点。第22页，课件共102页，创作于2023年2月李亚普诺夫函数

由于李亚普诺夫函数的寻找主要靠试探，需要一定的经验和技巧，这就使得李亚普诺夫第二法的推广应用曾经受到严重的阻碍。2李雅普诺夫第二法平衡状态为，设系统的状态方程为，如果存在一个标量函数V（X），它满足：（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（X）是正定的对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数而连续，反映能量的变化，，反映能量的分布，为李亚普诺夫函数。

第23页，课件共102页，创作于2023年2月则为大范围一致渐进稳定。则为一致渐进稳定；A为负定，（3）V（X）对时间的导数：分别满足以下条件2李雅普诺夫第二法（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（X）是正定的平衡状态为，设系统的状态方程为

如果存在它满足：一个标量函数V（X），时，若当大范围一致渐进稳定的第一种充分条件：第24页，课件共102页，创作于2023年2月几点说明：1、物理意义构造的能量函数突出两个特点：其一物理系统能量正值，其二能量不停消耗，能量耗尽回到平衡点；2、几何意义C1C2C3第25页，课件共102页，创作于2023年2月

3、特别说明：该定理给出了渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的V（x），则系统一致渐近稳定；但如果找不到函数V(x)，并不意味着系统不稳定，何况对于复杂系统，要想找到一个李氏函数是很有难度的。例4.3考虑如下非线性系统试确定其稳定性。第26页，课件共102页，创作于2023年2月显然原点（，）是唯一的平衡状态。定义一个正定标量函数V(x),

V(x)是负定的，V(x)是Lyapunov函数。由于随着而变为无穷，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。例4.3考虑如下非线性系统

试确定其稳定性。解:第27页，课件共102页，创作于2023年2月可逆分块矩阵A的求逆公式：

第28页，课件共102页，创作于2023年2月用李亚普洛夫第二方法证明系统当a1<0,a2<0,原点是大范围内渐近稳定的平衡态。课堂作业第29页，课件共102页，创作于2023年2月则为大范围渐进稳定。则为渐近稳定；B虽然为半负定，对，若当时，来说，除去外，但对任意初始状态不恒为零，（3）V（X）对时间的导数：分别满足以下条件2李雅普诺夫第二法（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（X）是正定的平衡状态为，设系统的状态方程为

如果存在它满足：一个标量函数V（X），大范围一致渐进稳定的第二种充分条件：第30页，课件共102页，创作于2023年2月系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。则此时，（1），（2）不恒等于0，则说明轨迹在某个时刻与曲面相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。说明：第31页，课件共102页，创作于2023年2月例4.4考虑如下非线性系统试确定其稳定性1）确定系统平衡态是系统的唯一平衡状态2）定义一个李雅普洛夫函数V(x),

第32页，课件共102页，创作于2023年2月第33页，课件共102页，创作于2023年2月不稳定李雅普诺夫意义下的稳定渐近稳定第34页，课件共102页，创作于2023年2月例4.5给定连续时间的定常系统

判定其稳定性。解:系统的唯一平衡状态为。且有：现取(i)为正定；(ii)

第35页，课件共102页，创作于2023年2月可以看出，除以下情况(a)任意，(b)任意，(iii)检查是否以外，均有。为半负定考察(a)：是否为系统的扰动解，由于可导出，将此代入系统的方程得到这表明，除点（）外，不是系统的扰动解。第36页，课件共102页，创作于2023年2月考察(b):,则可导出将此代入系统方程矛盾不是系统的扰动解。(iV)当，显然有综上，系统在原点平衡状态大范围渐近稳定。第37页，课件共102页，创作于2023年2月例4-6已知线性系统的状态方程，是用李氏第二法判断其稳定性。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数故原系统不稳定。解：线性系统，故是其唯一平衡点。第38页，课件共102页，创作于2023年2月（3）V（X）对时间的导数：分别满足以下条件2李雅普诺夫第二法（1）V（X）对所有X都具有连续的一阶偏导数；（2）V（X）是正定的平衡状态为，设系统的状态方程为

如果存在它满足：一个标量函数V（X），C则是不稳定的，此为不稳定判据。为正定，

不恒为零，则系统不稳定若为正半定，对X≠0，系统不稳定的充分条件：第39页，课件共102页，创作于2023年2月注意：Lyapunov第二法给出的是充分条件，而不是必要条件(1)这里仅给出了充分条件，如果能找到满足判据条件的Lyapunov函数V(x,t)便能对系统的稳定性做出肯定的结论。但如果找不到这样的Lyapunov函数，并不能给出任何结论，不能据此说该系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。(4)对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(3)这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。第40页，课件共102页，创作于2023年2月（1）是正定的标量函数；（2）并不是对所有的系统都能找到来证明该系统稳定或者不稳定；（3）如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（5）只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造需要一定的技巧。（4）最简单的形式是二次型；强调：对李氏函数的讨论第41页，课件共102页，创作于2023年2月对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即4.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通过Lyapunov第二法进行研究。考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中。线性定常系统渐近稳定的充要条件：式中P为正定对称矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵），存在也为正定对称矩阵。第42页，课件共102页，创作于2023年2月沿任一轨迹的时间导数为充分性证明：为李氏函数，P为正定对称矩阵，V（X）正定。由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，而有：且Q正定知系统渐近稳定。必要性略第43页，课件共102页，创作于2023年2月现对该定理作以下几点说明：以确定P，则对于在平衡点处的渐近(3)如果取任意的正定对称矩阵Q，或如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程稳定性，P为正定对称是充要条件。

（4）

正定对称矩阵Q，通常取Q＝I，以方便计算；Q可取半正定，即可取计算更简单。实际运用中，若有则可以取Q为半正定。（1）一般先取正定对称矩阵Q，带入李氏方程，求出P，判别P的正定对称性，从而判断系统的稳定性；（2）通常取Q＝I，以方便计算。第44页，课件共102页，创作于2023年2月此时实对称矩阵P可由下式确定[解]不妨取Lyapunov函数显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。例4.6设二阶线性定常系统的状态方程为将矩阵方程展开，可得联立方程组为第45页，课件共102页，创作于2023年2月从方程组中解出、、，可得为了检验P的正定性，可校核各主子行列式

显然，P是正定的。原点处的平衡状态是渐近稳定的，且Lyapunov函数为

此时第46页，课件共102页，创作于2023年2月例4.7试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。解容易确定系统的状态方程为在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为第47页，课件共102页，创作于2023年2月

对P的各元素求解P成为正定矩阵和或第48页，课件共102页，创作于2023年2月☉线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析系统在平衡状态，大范围渐近稳定的充要条件：对于任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)。式中。考虑如下线性时变连续系统是系统的李氏函数。第49页，课件共102页，创作于2023年2月证明：为李氏函数，P为正定对称矩阵，V（X）正定。取Q(t)=Q=I第50页，课件共102页，创作于2023年2月2线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析定理4-10：设线性定常离散系统为

x(k+1)=Gx(k),xe

=0式中：x——n维状态向量

G——n*n常系数非奇异矩阵并且v(x)=xT

(k)

P

x(k)是这个系统的李氏函数则系统在平衡点处xe=0大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：

GTPG–P=-Q第51页，课件共102页，创作于2023年2月李氏方法判断系统稳定的一般步骤：1、确定系统的平衡状态；2、选定正定对称矩阵Q，一般选Q=I，则矩阵方程为

GTPG–P=–

I

由此解出P；3、判断P的正定性，若P正定，系统大范围渐近稳定，且v(x)=xT

(k)

P

x(k)是这个系统李氏函数。第52页，课件共102页，创作于2023年2月例：设离散系统的状态方程为

试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：选Q=I，代入矩阵方程

GTPG–P=–

I第53页，课件共102页，创作于2023年2月要使P正定对称矩阵，则要求要求特征根位于单位圆内，与经典理论判定一致。第54页，课件共102页，创作于2023年2月例：设离散系统的状态方程为

试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：选Q=I，代入矩阵方程GTPG–P=–

I第55页，课件共102页，创作于2023年2月第56页，课件共102页，创作于2023年2月对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。4.5用李亚普若夫函数估算系统动态性能4.5.1衰减系数考察线性定常自治系统，，来表征系统自由运动的衰减性能，称为系统接近于平衡状态时的快速性指标衰减系数。当系统为渐近稳定时，正定，而为负定，因此引入如下定义的一个正实数系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某种“能量”的度量，而则为“能量”随时间的变化速率。第57页，课件共102页，创作于2023年2月一般来说，直接难以直接进行估计，一般取由此得出对(4.9)式两边积分得到第58页，课件共102页，创作于2023年2月对线性定常系统，可以定出随时间的衰减上界。一旦定出，则可定出随时间衰减上界。4.5.2计算的关系式的解阵P存在唯一且为正定。当系统为渐近稳定，对任意给定正定对称阵Q，李雅普诺夫方程其中表示的最小特征值。

结论：对线性定常系统,设正定对称矩阵成立：第59页，课件共102页，创作于2023年2月例4.6设二阶线性定常系统的状态方程为求系统的Lyapunov函数，并求从封闭曲线v(x)=100边界上的一点到封闭曲线v(x)

=0.05内一点的响应时间上限。[解]:显然，平衡状态是原点。不妨取Lyapunov函数实对称矩阵P可由下式确定上式可写为第60页，课件共102页，创作于2023年2月将矩阵方程展开，可得联立方程组为从方程组中解出、、，可得各主子行列式均大于零,P是正定性的。第61页，课件共102页，创作于2023年2月第62页，课件共102页，创作于2023年2月基本思路是：1）将非线性系统线性化2）计算线性化方程的特征值3）根据线性化方程特征值判定原非线性系统的稳定性。将非线性函数在平衡状态处附近展成Taylor级数，则有或写成设非线性系统的状态方程为4.6Lyapunov第一法

4.6.1线性化法第63页，课件共102页，创作于2023年2月式中为常数，(i,j=1,2,…)为一次项系数，且为余数，即所有高次项之和。由于

，故线性化方程为为Jacobian矩阵。其中第64页，课件共102页，创作于2023年2月现在我们把问题的范围缩小，只考虑的稳定性问题，并提出在什么条件下，可用线性化系统代替原非线性系统？

然而这样做是否正确？我们知道，线性(化)系统与非线性系统具有根本的区别，关于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。线性化方程(忽略高阶小量)是一种重要且广泛使用的近似分析方法。注意：在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化系统近似它。第65页，课件共102页，创作于2023年2月定理4.1(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。定理4.2(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A的特征值中，至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态是不稳定的。定理4.3(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵A有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。第66页，课件共102页，创作于2023年2月某非线性系统的状态方程为试分析此系统在平衡状态处的稳定性。课堂练习：解：由题意可知，此非线性系统有两个平衡状态首先在处将其线性化第67页，课件共102页，创作于2023年2月特征值非线性系统在处是不稳定的处将其线性化

此系统处于临界稳定不能由的特征值符号来确定系统在处的稳定性。这种情况需要应用李亚普诺夫第二法进行判定。第68页，课件共102页，创作于2023年2月非线性系统方程为已知系统平衡状态为坐标原点xe=0，即f(xe)=0,且f(x

)对xi处是可微的，系统的雅可比矩阵为4.6.2李氏第二法在非线性系统中的应用1、克拉索夫斯基法则系统在xe

=0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵第69页，课件共102页，创作于2023年2月则系统在xe

=0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵在所有x下都是负定的，而且是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。对任意n维状态向量x，有第70页，课件共102页，创作于2023年2月外，处处不为零。，而且，其行列式除点时，00)(0=¹¹xxFx第71页，课件共102页，创作于2023年2月第72页，课件共102页，创作于2023年2月例：设系统的状态方程为试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的xe=0稳定性.解：第73页，课件共102页，创作于2023年2月由塞尔维斯特准则有第74页，课件共102页，创作于2023年2月课堂习题：如下非线性系统试讨论其在原点的稳定性条件解：第75页，课件共102页，创作于2023年2月关于定理的几点说明：（1）该定理对非线性系统的原点平衡状态只给出了稳定的充分条件，若不是负定的，则不能给出任何结论。（2）使为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。第76页，课件共102页，创作于2023年2月(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即（a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；（b）非线性函数对是可微的；（c）。李亚普诺夫函数为xAAxxxxVTTT)()(==&&若A为非奇异，则当为负定时，系统的平衡状态稳定。第77页，课件共102页，创作于2023年2月2、变量梯度法1梯度的概念一个多元函数v(x1,x2,…,xn)存在对n个变量xi的偏导数。在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。

把反映运动质点沿各个坐标方向变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,…,xn)

的梯度。习惯上用符号“

V”表示。第78页，课件共102页，创作于2023年2月2向量的曲线积分变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。积分的结果与积分路径的选择无关。第79页，课件共102页，创作于2023年2月3旋度方程如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。由向量的旋度为零可得出由所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。第80页，课件共102页，创作于2023年2月4变量梯度法求李氏函数式中为维状态向量，是变量,,…,和t的n维向量函数。设非线性系统方程为设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要寻找的李氏函数为v(x)=v(x1,x2,…,xn)第81页，课件共102页，创作于2023年2月李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量

V。求取V利用了以下两个条件：1）由于

V是一个向量，则n维广义旋度为0，故

V必须满足以下旋度方程：2）由

V计算出来的v

(x)和必须满足李氏函数稳定性的要求。总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：第82页，课件共102页，创作于2023年2月总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：1）假定

V是一个任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,…,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间t的函数或状态变量的函数，通常aij选为常数或t的函数。2）由V写出，即：第83页，课件共102页，创作于2023年2月3）限定是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程确定待定系数aij。4）将得出的重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。5）由

V的线积分求出，积分路径按式（4-44）给出。6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。第84页，课件共102页，创作于2023年2月例：设非线性系统方程为利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。解：（1）假定v

(x)的梯度为（2）写出

的形式第85页，课件共102页，创作于2023年2月第86页，课件共102页，创作于2023年2月（4）求出李氏函数满足旋度方程条件，于是有可见，李氏函数是正定的。第87页，课件共102页，创作于2023年2月作业4-44-54-64-8(1)4-9第88页，课件共102页，创作于2023年2月本章小结基本要求（1）熟悉李亚普诺夫稳定性的