数学分析1期末考试试卷A卷

数学分析1期末考试试卷A卷1、根据题目要求，格式错误已被删除。数学分析1期末考试试卷（A卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1.设$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+2a}{x-a}=8$，则$a=$____________。2.设函数$f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-2)}$，则函数的第一类间断点是____________，第二类间断点是____________。3.设$y=\ln(x+1+x)$，则$dy=$____________。4.设$f(x)$是连续函数，且$f(x)=x+2\int_{0}^{x}f(t)dt$，则$f(x)=$____________。5.$\int_{0}^{1}\arctanxdx=$____________。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1.设数列$\{x_n\}$与数列$\{y_n\}$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=a$，则下列断言正确的是（）。（A）若$x_n$发散，则$y_n$必发散。（B）若$x_n$无界，则$y_n$必无界。（C）若$x_n$有界，则$y_n$必为无穷小。（D）若$\{y_n\}$为无穷小，则$\{x_n\}$必为无穷小。2.设函数$f(x)=x^x$，则$f'(0)$为（）。（A）1。（B）不存在。（C）0。（D）-1。3.若$f(-x)=f(x)$（$-\infty<x<+\infty$），在$(-\infty,0)$内$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$内有（）。（A）$f'(x)>0$，$f''(x)<0$。（B）$f'(x)>0$，$f''(x)>0$。（C）$f'(x)<0$，$f''(x)<0$。（D）$f'(x)<0$，$f''(x)>0$。4.设$f(x)$是连续函数，且$F(x)=\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$，则$F'(x)$等于（）。（A）$-e^{-x}f(x)-\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（B）$-e^{-x}f(x)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（C）$e^{-x}f(x)-\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。（D）$e^{-x}f(x)+\int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$。5.设函数$f(x)=a\sinx+\sin3x$在$x=\frac{\pi}{6}$处取得极值，则（）。（A）$a=1$，$f(\frac{\pi}{6})$是极小值。（B）$a=1$，$f(\frac{\pi}{6})$是极大值。（C）$a=2$，$f(\frac{\pi}{6})$是极小值。（D）$a=2$，$f(\frac{\pi}{6})$是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）1.求$\lim\limits_{x\to\ln(1+x)}\frac{1+\tanx-\sinx}{3x^2+ax+b}$。2.设$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-x^2}=4$，求$a$、$b$。3.设$y=\ln(1+t^2)$，$x=t+\arctant$，求$\frac{dy}{dx}$。4.设$f(x)$在$x=0$处的导数连续，求$\lim\limits_{dx\to0}\frac{f(\sin^2x+dx)-f(\sin^2x)}{dx}$。5.求不定积分$\int\frac{\cos2x+1}{\sinx+\cosx}dx$。6.求$\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx$。7.求曲线$y=\sqrt{x}$与$y=x^2$所围图形的面积。2、设函数$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$，求$\int_0^1f(x)dx$。解：$\becausef(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$，$\thereforef(0)=1$。$\because$当$x>0$时，$f(x)<1$，$\therefore$在$(0,1]$上，$f(x)$是单调递减的。$\therefore\int_0^1f(x)dx<\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}<f(0)\cdot1=1$。$\becausef(x)$在$[0,1]$上连续，$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx$。$\therefore\int_0^1f(x)dx\leq1$。综上所述，$0<\int_0^1f(x)dx<1$。六、（本题8分）设函数f(x)在[a,b]上可导，证明：存在ξ∈(a,b)，使得2ξ[f(b)-f(a)]=(b-a)f'(ξ)。证明：设g(x)=x^2，则f(x)与g(x)在[a,b]上满足