2023版高考数学一轮总复习第八章立体几何第一讲空间几何体的结构三视图表面积和体积课件理

第八章立体几何第一讲空间几何体的结构、

三视图、表面积和体积要点提炼

空间几何体的结构考点11.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相

且全等多边形互相平行且______侧棱平行且相等相交于

,但不一定相等延长线交于一点,但不一定相等侧面形状三角形_________平行相似一点平行四边形梯形

空间几何体的结构考点1规律总结1.特殊的棱柱和棱锥(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥.特别地,各棱长均相等的正三棱锥叫作正四面体.反之,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

空间几何体的结构考点12.正棱锥中的直角三角形已知正棱锥,如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高,连接OC,OE,则(1)斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形,如图中Rt△PEC;(2)斜高、高、斜高在底面的射影长构成直角三角形,如图中Rt△POE;(3)侧棱长、高、侧棱在底面的射影长构成直角三角形,如图中Rt△POC;(4)斜高在底面的射影长、侧棱在底面的射影长、底面边长的一半构成直角三角形,如图中Rt△OEC.

空间几何体的结构考点12.旋转体的结构特征名称

圆柱圆锥圆台球图形

旋转图形矩形半圆形旋转轴任一边所在的直线任一_______边所在的直线垂直于底边的腰所在的直线_______所在的直线直角三角形直角梯形直角直径

空间几何体的结构考点1母线互相平行且相等，____________相交于一点延长线交于一点

轴截面全等的_______全等的__________全等的等腰梯形圆侧面展开图______________扇环

矩形垂直于底面等腰三角形矩形扇形

空间几何体的结构考点1规律总结

球的截面的性质(1)球的任何截面都是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.

空间几何体的三视图与直观图考点21.三视图的定义几何体的

、侧视图和_________统称为几何体的三视图.三视图中的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.注意

(1)画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2)同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.正视图俯视图

空间几何体的三视图与直观图考点22.三视图的长度特征“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图的长对正,侧视图和俯视图的宽相等,正视图和侧视图的高平齐.3.直观图(1)画法:常用斜二测画法.(2)规则:a.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直.b.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.

空间几何体的三视图与直观图考点2c.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_______.(3)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与原图形面积的关系:S直观图=_________S原图形.注意

用斜二测画法画直观图时,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.不变一半

空间几何体的表面积和体积考点3

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=____S圆台侧=_________1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式说明

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r＇)lS圆锥侧=πrl.

πrlπ(r+r')l

空间几何体的表面积和体积考点32.空间几何体的表面积与体积

表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=_______台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下球S=4πR2_________

理解自测1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形. ()(2)在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱. ()(3)棱台的侧棱延长后交于一点. ()(4)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台. ()(5)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面. ()(6)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥.

()(7)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS. ()✕√√✕√✕✕2.[易错题]如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D',剩下的几何体是 ()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱3.[易错题]圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为

.4.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为

.

24π2+18π或24π2+8π

C考向扫描

空间几何体的结构考向11.典例(1)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形;④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中,面积最大的一个;⑤三棱锥的四个面中最多有三个直角三角形.其中正确命题的个数是 (

)

A.0 B.1 C.2 D.3(2)如图,正三棱锥A-BCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点E,F分别为AC,AD上的动点,则截面△BEF周长的最小值为

.

B

空间几何体的结构考向1解析

(1)①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,故①不正确;②只有平行于圆锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故②不正确;③正确;④因为圆锥的母线长一定,根据三角形面积公式知,过圆锥顶点的截面中,两条母线的夹角的正弦值越大,截面面积就越大,所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时,轴截面的面积就不是最大的,故④不正确;⑤三棱锥的四个面中最多有四个直角三角形,故⑤不正确.

空间几何体的结构考向1

空间几何体的结构考向1方法技巧求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或两条(多条)线段长度和的最小值问题常归结为求平面两点间的最短距离问题,解决此类题的方法就是先把多面体侧面展开成平面图形,再用平面几何的知识去求解.注意

(1)解决展开问题的关键是明确需要展开立体图形中的哪几个面(有时需要分类讨论),以及利用哪些平面几何定理来解决对应的立体图形问题.(2)注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改变,哪些不会变.

空间几何体的结构考向1

B

空间几何体的三视图考向23.典例[2021全国卷甲][理]在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是 (

)

D

空间几何体的三视图考向2解析

根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图,如图,结合选项可知该几何体的侧视图为选项D所示的图形.方法技巧

1.三视图与直观图的常见题型及求解策略(1)由直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,同时也要注意看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线用虚线表示.(2)由几何体的部分三视图画出剩下的三视图.先根据已知的部分三视图,推测、还原直观图的可能形式,然后找剩下部分三视图的可能形式.做选择题时,也可以将选项代入,看给出的部分三视图是否符合要求.

空间几何体的三视图考向2(3)由三视图还原为几何体.要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.2.根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形,一般对应三棱锥;(2)三视图为两个三角形,一个四边形,一般对应四棱锥;(3)三视图为两个三角形,一个圆,一般对应圆锥;(4)三视图为一个三角形,两个四边形,一般对应三棱柱;(5)三视图为两个四边形,一个圆,一般对应圆柱.

空间几何体的三视图考向24.变式[2020全国卷Ⅱ][理]如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为 (

)A.E B.F C.G D.H解析

由三视图知,该几何体是由两个长方体组合而成的,其直观图如图所示,由图知该端点在侧视图中对应的点为E.A

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3角度1求空间几何体的表面积5.典例[2018全国卷Ⅰ]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(

)

A

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3

39π

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3方法技巧求空间几何体的表面积的常见类型及解题思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清旋转体的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割或补形成柱体、锥体、台体,先求出这些柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积.

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3

A

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3

求空间几何体的表面积（侧面积）考向3S2=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S3=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.当拼成四棱柱时有三种情况,如图④⑤⑥所示,表面积分别为S4=4×6a2+2×(8+6)=24a2+28,S5=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S6=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.

求空间几何体的体积考向4角度1求空间几何体的体积8.典例[2018天津高考]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为

.

求空间几何体的体积考向4方法技巧求空间几何体体积的常用方法直接法对于规则的几何体,利用相关公式直接计算.割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算.等体积法通过转换底面和高来求几何体的体积,即通过将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面,或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高进行求解.常用于求三棱锥的体积.

求空间几何体的体积考向4角度2体积的最值问题

D

求空间几何体的体积考向4

求空间几何体的体积考向4方法技巧求解体积的最值问题的方法(1)几何法:根据几何体的结构特征,先确定体积表达式中的常量与变量,然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值,从而确定体积的最值.(2)代数法:先设变量,求出几何体的体积表达式,然后转化为函数最值问题求解即可.

求空间几何体的体积考向4

AB

求空间几何体的体积考向4

求空间几何体的体积考向4

与球有关的切、接问题考向5角度1外接球问题解决外接球问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

D

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5方法技巧1.求几何体外接球半径的思路(1)利用球的截面性质求解.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O'的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O'的距离为d,则在Rt△OO'M中,OM2=OO'2+O'M2,即R2=d2+r2.(2)将几何体补形成长方体(或正方体),利用几何体与长方体(或正方体)共有外接球的特征,由外接球的直径等于长方体(或正方体)的体对角线长求解.如三条侧棱互相垂直的三棱锥,当侧棱长相等时可补形成正方体,当侧棱长不相等时可补形成长方体.

与球有关的切、接问题考向52.确定几何体外接球球心的常用结论(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;(3)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

与球有关的切、接问题考向5角度2内切球问题求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于分割后各棱锥的体积之和,求内切球的半径.12.典例[2020全国卷Ⅲ][理]已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

.

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5方法技巧1.解与球有关的切、接问题的思维流程通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程如下:

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5

与球有关的切、接问题考向5

攻坚克难

立体几何的应用数学应用14.典例[2019全国卷Ⅲ][理]学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为

g.

118.8

立体几何的应用数学应用

立体几何的应用数学应用

立体几何与数学文化数学文化

16.典例[2019全国卷Ⅱ][理]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(如左图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.右图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面,其棱长为

.

26

立体几何与数学文化数学文化

立体几何与数学文化数学文化

C

立体几何中的截面问题数学探索

A

立体几何中的截面问题数学探索

立体几何中的截面问题数学探索

立体几何中的截面问题数学探索方法技巧作截面的三种常用方法一是直接法,解题关键是截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,可以直接借助P157公理1作出截面.二是作平行线法,解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.三是延长交线得交点,解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上,可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点,进而得交线和截面图形.

立体几何中的截面问题数学探索1.正方体的基本截面用一个平面截正方体,可以得到的截面形状如下:

横截竖截斜截正方体正方形正方形如图所示

立体几何中的截面问题数学探索在这里需