山西省朔州市怀仁县第四中学2022年高三数学文模拟试题含解析

山西省朔州市怀仁县第四中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S△COB=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．【解答】解：由于，变为++λ（+）=0．如图，D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，故=﹣λ，在正三角形ABC中，∵S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2得λ=2．故选：C．2.已知点O为△ABC的外心，且||=2，||=6，则=（）A．﹣32 B．﹣16 C．32 D．16参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，BC上的射影为相应线段的中点，=+可得：=﹣=﹣2，==18．=+=﹣2+18=16．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题．3.若正数满足：，则的最小值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C4.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（▲）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.当满足约束条件(为常数)时，取得最大值12，则此时的值等于(

).A.

B.9

C.

D.12参考答案：A略6.阅读右面的程序框图，则输出的S＝（

）A、14B、20C、30D、55参考答案：C试题分析：第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，结束循环，输出考点：循环结构程序框图.7.设是随机变量,且,则等于

A.

0.4

B.

4

C.

40

D.

400参考答案：A8.已知函数若关于的方程有六个不同的实根，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知函数则函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略10.同时具有性质“①最小正周期是，②图像关于对称，③在上是增函数”的一个函数是A.

B.

C.

D.参考答案：C

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量，，且，则的值为

参考答案：112.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．参考答案：【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可【解答】解：∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填【点评】本题考查分段函数求值及指数对数去处性质，对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高13.一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为．参考答案：27π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个正方体消去一个角，其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个正方体消去一个角，其外接球，即棱长为3的正方体的外接球，故该几何体外接球的表面积S=3?32π=27π，故答案为：27π14.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为

，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为

．参考答案：2，【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，得到c=2a，根据P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，得到2a=4，然后进行求解即可．【解答】解：∵右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，∴b=?2c=c，平方得b2=c2=c2﹣a2，即a2=c2，则c=2a，则离心率e=，∵双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，∴2a=4，则a=2，从而．故答案为：2，15.设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据不等式恒成立转化为求出z=x2+9y2的最小值即可，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：16.（5分）已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1?a2?…?aK为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k=3时，则a1?a2?a3=；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为．参考答案：2,2024.【考点】：数列的求和．【专题】：新定义．【分析】：利用an=logn+1（n+2），化简a1?a2?a3…ak，得k=2m﹣2，给m依次取值，可得区间[3，2015]内所有简易数，然后求和．解：（1）当k=3时，则a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2；（2）∵an=logn+1（n+2），∴由a1?a2…ak为整数得1?log23?log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m﹣2，∵211=2048＞2015，∴区间[3，2015]内所有和谐数为：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，其和M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=23（1+2+22+…+27）﹣2×8=﹣16=2024．故答案为：2，2024．【点评】：本题以新定义“简易数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．17.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB=），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ（1）若θ=，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC==2，BC==3+，∴△ABC的周长为6+3+3≈17.60米（2）在△ABC中，由余弦定理：c2=602=a2+b2﹣2abcos60°，∴a2+b2﹣ab=36，∴36+ab=a2+b2≥2ab，即ab≤36，∴S△ABC=AC?BC?sin=ab≤9，此时a=b，△ABC为等边三角形，∴θ=60°，（S△ABC）max=9．19.已知椭圆：过点，上、下焦点分别为、，向量．直线与椭圆交于两点，线段中点为．（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程；（3）记椭圆在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为，若曲线与区域有公共点，试求的最小值．参考答案：1）

解得：，椭圆方程为

（2）①当斜率不存在时，由于点不是线段的中点，所以不符合要求；

②设直线方程为，代入椭圆方程整理得

解得所以直线

（3）化简曲线方程得：，是以为圆心，为半径的圆。当圆与直线相切时，，此时为，圆心。

由于直线与椭圆交于，

故当圆过时，最小。此时，。20.（本小题满分15分）已知二次函数，其导函数的图象如图，（1）求函数处的切线斜率；（2）若函数上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若的图像总在函数图象的上方，求的取值范围．参考答案：

的单调递增区间为（0，1）和的单调递减区间为（1，3）

…………6分要使函数在区间上是单调函数，则，解得……………8分

（3）由题意，恒成立，得恒成立，即恒成立，设…………10分因为当的最小值为的较小者．…………12分

…………14分又已知,．

…………15分21.（12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l′上，并求l′的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可知：丨QF1丨+丨QF2丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，由椭圆的定义及性质，即可求得曲线E的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得xT，即可求得l′的方程．【解答】解：（1）由题意CD垂直平分PF2，则丨QF1丨+丨QF2丨=丨QF1丨+丨QP丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，∴Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长2a=4的椭圆，焦距2c=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴动点Q的轨迹方程为：；（2）由A1（﹣2，0），A2（2，0），设直线l方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），T（xT，yT），由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由M在x轴上方，y1＞0＞y2，则y1﹣y2==，则A1M，A2N的方程是y=（x+2），y=（x+2），xT====，=，==4，∴动点T恒在定直线l′上，直线l′的方程为：x=4【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查转化思想，属于中档题．22.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数g（x）的极小值；（III）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：＜k＜．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，根据切线方程求出a的值即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，得到函数g（x）的导数，从而求出函数g（x）的极小值即可；（Ⅲ）法一：表示出k，问题转化为即证，令（t＞1），