复交换banach代数乘子谱理论

复交换banach代数乘子谱理论

在光谱理论的发展中，除了吉尔伯特空间理论的经典领域外，最重要的领域之一是banach序列积分的光谱理论。一是在和谐分析中出现的，主要是与fq分类理论有关的内容。此后，乘数被广泛应用于其他方面，如傅里叶变换、群代代相传、波纳戈模型和一般理论的许多方面。对于乘子的研究由来已久,但是对于乘子谱理论的系统研究却是近些年才开始的.LaursenKB对乘子的局部谱理论进行深入的研究,具体见其关于局部谱理论的专著本文主要研究了Banach代数直和上乘子的表示形式,并由此得到其上乘子谱理论的相关结果,最后由A1banach对数设A是一个复Banach代数,B(A)表示A上的有界线性算子全体.定义1.1称映射T:A→A是A的乘子,如果当A可交换时,A上的乘法算子L定义1.2称Banach代数A是忠实的,如果关于忠实的交换Banach代数上的乘子,有如下结论命题1.3命题1.4定义Banach代数A的Jacobson根定义1.6设A与B是两个Banach代数,记称A⊕B为A与B的直和.显然A⊕B也是Banach代数.容易知道,若A与B是忠实的,则A⊕B也是忠实的;若A与B是半单的,则A⊕B也是半单的.下面给出关于谱理论的一些定义与记号.设X,Y是Banach空间,B(X,Y)记为X到Y的全体有界线性算子,当X=Y时简记为B(X),K(X)表示X上的紧算子全体.对于T∈B(X),分别以T定义复Banach空间X上有界线性算子T∈B(X)的各种谱如下1)T的点谱σ2)T的满谱σ3)T的近似点谱σ4)T的左谱σ5)T的右谱σ6)T的本性谱7)T的左本性谱σ8)T的右本性谱σ9)T的上半本性谱14)T的左Drazin谱σ15)T的下降谱σ16)T的上升谱σ17)T的Browder谱18)T的左Browder谱19)T的右Browder谱20)T的半正则谱σ称算子T在λ若在下文讨论中,如无特别说明,总假设A是忠实的交换Banach代数.这时,显然A⊕A也是忠实的交换Banach代数.2aa上的乘子命题2.1特别地,从而对于证,(1),(2)两式对于任意(x,y),(a,b)∈A⊕A成立.特别地,取y=b=0,由(1)得x(T由此对任意(x,y),(a,b)∈A⊕A,取x=y∈A,由(3)则T引理2.3设证由引理2.2,T从而(x-y)T同理可证T引理2.4若T由引理2.2、引理2.3及引理2.4,可以得到A⊕A上乘子的具体表示形式.定理2.5设3广义drazen逆在上三角算子矩阵由此引出两个有趣的问题.问题1什么样的A∈(X),B∈B(Y),σ问题2对什么样的C∈B(Y,X),σ这两个问题也引起了许多学者的关注.文献文献文献文献利用这些结果,我们得到A⊕A上乘子谱理论的相关结论.定义3.1其中B是拟幂零算子,则称T有广义Drazin逆.由参考文献引理3.2设T∈B(X),如下陈述等价1)T有广义Drazin逆;2)T=T3)T∈B(X)的广义Drazin谱和广义Drazin正则集分别表示为σ定理3.3设其中σ证i)由于T∈M(A⊕A),由定理2.5,若T对于(T综上T半正则当且仅当Tⅳ)从上面的证明中,可以看出,对于由闭值域定理知,从而注1以上6种谱,对于上三角算子矩阵命题3.4引理3.5若{a∈A|a证T∈M(A),定理3.6若{a∈A|aσ其中σ证由于T∈M(A⊕A),由定理2.5,注2以上三种谱,对于上三角算子矩阵对于任意S∈B(X),S的升降指数与S的零维、亏维之间存在着如下联系.命题3.71)若asc(T)<∞,则α(T)≤β(T).2)若des(T)<∞,则β(T)≤α(T).3)若α(T)=β(T)<∞且asc(T)与des(T)有一个有限,则asc(T)=des(T).定理3.8若{a∈A|a其中证设(a,b)∈A⊕A,(a,b)由命题3.7的1)由命题3.7的1)与2)由定理3.3与定理3.6可知定理3.8成立.注3对于以上6种谱成立若A是半单的交换Banach代数,则A是忠实的,且推理3.9设A是半单的Banach代数,则其中4banach级数的ad定义4.1称一个算子T为强不可约的,如果不存在非平凡的幂等算子P下面的例子说明存在Banach代数上的强不可约算子是乘子,也存在Banach代数上的强不可约算子不是乘子.例4.2考虑圆盘代数A(D)上的乘法算子L定义1.5称Banach代数A是半单的,如果Rad(A)={0}.对于交换Banach代数,A是半单的当且仅当A中没有非零的拟幂零元.定义Banach代数A与Banach代