第四章导热问题数值解法

第四章导热问题的数值解法§4.1导热问题数值求解的基本思想一、基本思想二、区域离散化图2

区域离散化图1数值计算流程建立离散方程的方法主要有两大类：有限元法与有限差分法。在有限差分法中，又分为泰勒（Taylor）级数展开法与热平衡法。一、泰勒级数展开法泰勒级数展开法：把导热微分方程中的导数项用相应的差分表达式来代替而形成离散方程的方法。以二维、稳态、无内热源的导热方程为例：图3内节点离散方程的建立控制方程：22

+

=

0

m,n

m,n¶y¶x

¶2

t

¶2

t

Dx

¶t

Dx

¶t

tm,n

-

tm-1,n=

¶x

m-1

2,ntm+1,n

-

tm,n=由差分理论：

¶x

m+1

2,n§4.2内节点离散方程的建立方法2Dx2t

-

2t

+

tDx

-

¶t

¶t

m,n

¶x

¶2t

=

2

2

=

m+1,n m,n

m-1,n

¶x

m+

1

,n

¶x

m-1

,n同理：2Dy2t

-

2t

+

tDy

¶t

-

¶t

m,n

¶y

¶2t

=

2 2

=

m,n+1

m,n m,n-1

¶y

m,n+

1

¶y

m,n-1将以上表达式代入离散方程，得：=

0tm+1,n

-

2tm,n

+

tm-1,n

+

tm,n+1

-

2tm,n

+

tm,n-1Dx2

Dy2当网格均分（Δx=Δy）时：nb44t

=

1

(t

+

t

+

t

+

t

)=

1

tm,n+1m,n-1m-1,nm+1,nm,n二、热平衡法通过对各节点所代表的控制容积根据热力学第一定律建立热平衡而获得离散方程的方法。划出（m，n）节点所代表的控制容积；建立节点{m，n}的热平衡方程；l

tm-1,n

-

tm,n

Dy

+

l

tm+1,n

-

tm,n

Dy

+

l

tm,n-1

-

tm,n

Dx

+

l

tm,n+1

-

tm,n

Dx

=

0Dx

Dx

Dy

Dy当网格均分（Δx=Δy）时：nb+

t

+

t

+

t4

4t

=

1

(t

)=

1

tm+1,n

m-1,n m,n-1

m,n+1m,n§4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解导热问题完整的数学描写包括导热方程及相应的定解条件；边界节点的离散采用热平衡方法；一、三种典型的边界节点图4三种典型的边界节点平直边界点图5平直边界点w=

q

Dym,n1+

DxDyF

2lDy

tm-1,n

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n+1

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-tm,nDx

2

Dy

2

Dy外角点图6外角点w2=

1

(Dx

+

Dy)q1m,n+

DxDyF

4l

1

Dy

tm-1,n

-

tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-

tm,n2

Dx

2

Dy内角点w2=

1

(Dx

+

Dy)q3m,n+

DxDyF

4l

1

Dy

tm-1,n

-tm,n

+

lDy

tm+1,n

-tm,n

+

lDxtm,n+1

-tm,n

+

l

1

Dx

tm,n-1

-tm,n2

Dx

Dx

Dy

2

Dy图7内角点二、qw的几种形式绝热边界条件：qw=0给定边界热流密度：qw=const.对流换热条件：qw=h(t(m,n)-tf)辐射换热条件：qw=εσ(T4(m,n)-Tf4)三、代数方程的求解图8代数方程的求解方法求解代数方程的方法直接法Gauss消元法Gramer法则迭代法Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代SOR迭代Gauss-Seidel迭代法以三元一次代数方程为例

333

332

2

31

121

1 22

2 23

3

2

a

t

+

a

t

+

a

t

=

b

a

t

+

a

t

+

a

t

=

b=

b1

a11t1

+

a12t2

+

a13t31）将代数方程写成关于t1、t2、t3的显式表达式

3 31

1 32

2332221 12

2 13

311a

1

t3

=

(b

-

a

t

-

a t

)a=

1

(b

-

a

t

-

a t

)a

t1

1

t2

=

(b

-

a21t1

-

a23t3

)„

0(i

=

1,3)aii2）假设一个温度场，依次利用当前值进行迭代，设进行到第k次迭代，计算公式为：

k(k

)(k

)(k

)k

-

k

-(k

)-

a(b

-

a

t

t

)a(

-

a

t

)b

-

a

ta-

a

t(b

-

a

t

)at

=32

231

1333

t3

=

(k

)

(k

-1)23

321

1222

t2

=

13

3(

1)

(

1)12

2111

1

1

1

1„

0(i

=

1,3)aii3）每次迭代以后，检查两次迭代差值£

ek

-i(k

)

(

1)i-

tt4）计算精度满足要求后迭代终止，输出结果代数方程迭代收敛条件对于由常物性的导热问题所形成的差分方程式，迭代求解方法收敛的充分条件是：代数方程的系数矩阵按行（或列）弱对角占优。即：naii

‡

aijj

=1j

„i§4.4非稳态导热问题的数值解法一、三种差分格式图9三种差分格式+

O(Dx

2

)1）中心差分：¶t

=ti+1

-ti-1¶x

2Dx+

O(Dx)3）向后差分：¶t

=ti

-ti-1¶x

Dx+

O(Dx)2）向前差分：¶t

=ti+1

-ti¶x

Dx用差分代替微分所引起的误差：根据泰勒展开式：(

)

(

)++

+dxn(Dx)n

d

n

fn!f x

+

Dx

=

f

x

+

Dx

+dx

2!dx

2df

(Dx)2

d

2

fdf+

= +

O(Dx)dx+

+

f

(x

+

Dx)-

f

(x)Dxn!

dxn(Dx)n-1

d

n

fdf

Dx

d

2

f=

+dx

2!

dx

2同理：2

)df

+

= +

O(Dxdx=

+dx

3!

dx32Dx

f

(x

+

Dx)-

f

(x

-

Dx)

df

(Dx)2

d

3

f图10时空区域的离散二、时间空间区域的离散三、内节点差分方程的建立1）泰勒展开法以一维无内热源的非稳态导热方程为例：¶t

¶2t=

a¶t

¶x

2对节点（n，i）有：Dx

2-

2t

i

+

t

i

n n

=

a

n+1

n

n-1t

i+1

-

t

i

t

iDt则：iint

n

(t

+

ti

)

t

=n+1

n-1

Dx2i+1+

1-2aDtDx2aDt

FoDintiD

n+

ti

)+

[1-

2Fo

]tn-1D

n+1ti

+1

=

Fo2）热平衡法图11热平衡法NPPPjPj

P P

=

PPR-

t

it

ij

=1t

i+1

-

t

i+

F

DVDt(rc)

DV图12边界节点离散方程的建立四、第三类边界条件的差分表达式1）泰勒展开法f¶x-

l

¶t

=

h(t

-

t

)离散：

=

ll-

l

hDx

+

hDx

t(

-

t

)Dxft

it

iNf=

h

t

iN-

t

it

iN1

+

N

-1N

-12）热平衡法

+

-

+

iNt

f

t

DxDx

N

N

-

tDx-

titi(rc)Dx

DxDt)=

rc

2hDt(rcp

)Dxi

2hDt

2aDt

2aDttN

=

tN

1-12iN

-122i+1ti+1

-

til

N

-1

N

+

h(t

f五、非稳态导热问题差分格式的稳定性 如果前一时层计算所引入的舍入误差对后面时层计算的影响是渐缩的或是有限的，则该差分格式是稳定的；否则是不稳定的。一维非稳态导热问题内点显式格式的稳定性判据iint

n

(t

+

t

i

)

t

=n+1

n-1

Dx2i+1+

1-2aDtDx2aDt

FoD稳定性条件：各节点对下一时层