三维曲面的共形参数化

三维曲面的共形参数化

随着3d采集技术的成熟，大量三维模型数据被应用于不同的领域，其复杂的几何形状使3d书法表面处理成为一项困难的任务。以纹理映射为发端，曲面参数化参数化探讨的是：给定一个由空间点集x根据参数化特点的不同，主要分为等距、保面积用S和S假设uf06a:Suf0aeS如果上式对应一切可能的曲线uf067对于共形参数化而言，结合不同参数域的选择，往往能够确定参数域的边界以及函数求解方法。本文主要以参数域作为分类依据，综述了近年来基于三角网格曲面的共形参数化方法，对现有的参数化算法进行优缺点比较，并讨论了共形参数化目前存在的主要难点问题和今后可能的发展趋势。1离散界定理论曲面共形参数化方法不仅利用拓扑性质，还依赖于各类离散理论对网格进行度量。如，微分1形式、同伦群基底、圆填充理论等。下面简要介绍几类广泛应用于共形参数化的相关概念与理论基础。1.1和解分配如果曲面有类似圆盘一样的拓扑结构，即曲面是带有边界的单连通曲面，那么调和映射其中，uf0771.2拟共形参数化拟共形参数化和共形参数化不同之处在于共形参数化将曲面上无穷小圆映射成无穷小圆，而拟共形参数化则将曲面上无穷小圆映射成无穷小椭圆，曲面的局部形状不能被完好保持。但是对于找不到共形参数化方法的曲面而言，拟共形映射也是很好的补充。1.3维曲面性能曲率流，顾名思义，就是让曲率像热流一样进行扩散。通过将曲面黎曼度量形变，使得曲面的曲率依随时间而演化，最后曲率趋于一个常数，从而将三维曲面展平到二维参数域，即寻找一个合适的能量函数，使曲率流能得到唯一的最优解。1.4切割面为曲面的情况通常对于较为复杂带亏格三角网格曲面的参数化需要先求曲面的一个切割图，使得曲面在切割之后拓扑上等价于圆盘。其切割图中每个度不等于2的节点将切割图分成一系列分支{a1.5圆形填充理论圆填充(circlepacking,CP)就是在离散情形下，通过CP方法1.6离散速率流的推广Hamilton定义了关于高斯曲率的Ricci流其中，g(t)为与时间相关的度量；K(t)为随时间而变化的高斯曲率。将其推广到离散情形，即其中，离散曲率流通常采用CP度量作为网格初始度量，在得到边长后利用余弦定理计算出网格中每个三角形{v其中，uf071离散高斯曲率被定义为角欠(angledeficit)，对于内顶点，角欠就是围绕顶点的周角与2uf070作差，对于边界顶点，则与uf070作差，角欠在一定程度上反映了曲面局部的凹凸变化。2几何背景的应用参数化的应用决定了参数化的首要步骤就是确定一个合适的参数空间。根据曲面拓扑结构的不同，几何背景通常是欧氏平面、单位球面和二维双曲空间中的一种。根据不同的几何背景，参数化的参数域选择往往不同。根据参数域的不同，把共形参数化分为平面域、球面域和双曲空间域3类(图4)。3对于纹理和图像的处理复杂度对于共形参数化而言，参数域通常是平面域，平面也是欧式空间中最常见的二维表示。平面参数化最早主要用来进行3D纹理贴图，对于纹理和图像而言，平面是最自然的载体，对平面图像的处理复杂度远小于直接操作三维曲面。从应用的角度最为常见的平面域就是固定边界，但在参数化的过程中可能导致边界网格变形严重，为了解决边界参数化失真的情况，自由边界参数化和无缝参数化得到发展，但是推广到复杂拓扑曲面的情形，这2类参数化往往效果不佳。针对平面域，主要有以下几类常见共形参数化方法。3.1共形几何理论早期的平面参数化方法大多将原始网格映射到平面凸多边形上，即首先找到原始网格的边界，并将边界点映射到平面凸多边形上，然后将每个内部点表示为其一环点的加权平均，最后通过求解线性方程组得到相应的参数化结果。其中有代表性的是TUTTE对于带有多边界的联通曲面，共形几何理论改进成环形映射每次选择2个边界映射成环，保留Koebe迭代线性高效的同时，加快了函数收敛速率，提高了计算效率。对于零亏格曲面，GU和YAU对于单亏格曲面的共形参数化，常常使用微分1形式和曲率流进行计算。不同于曲率流，微分1形式计算一个全纯映射，进而给出曲面的一种度量，共形于原度量。文献和对偶上同调群基并对每个uf077对以上全纯微分基形式进行求积分，便能得到对应的共形映射。该方法可找到一个全纯1形式的完备基。LUO对于高亏格曲面，文献这类固定边界参数化方法的优势在于用到的变形度量都是线性函数，缺点在于这些算法通常预先指定边界在某个凸多边形上，由于预先指定的边界与实际情况往往不相符，从而导致参数化前后变形较大3.2动态几何优化固定边界的参数化算法易于构造函数并求解，但是容易导致边界网格扭曲严重，且不易推广到复杂外形的曲面。相比之下，另一类平面参数化算法文献其中，N进行线性近似在提高计算效率的同时减少了角度误差，缺陷是增大了面积变形。图7为ABF++方法和线性ABF方法变形程度比较，可以看到，这类方法直接对角度进行优化以达到保角的效果，线性ABF方法更注重角度和面积变形的均衡。文献文献3.3曲面切割的误差不论是固定边界还是自由边界，平面参数化都针对拓扑等价于圆盘的曲面。由于构造拓扑圆盘的过程中，往往需要对曲面进行切割，对于切割处的参数化容易产生误差。因此，近年来对于无缝曲面参数化的研究日益增多，无缝参数化常被用来进行无缝纹理映射文献3.4．当事人面为正面的参数化和上述平面参数化方法相比较，SPRINGBORN等相比于无缝参数化，BFF方法能针对任意锥点放置的参数化，使参数化适应尖锐的拐角，从而将曲面共形参数化到任意形状。BFF方法的不足之处在于只能处理拓扑于圆盘的曲面。进一步，文献通过对目前比较流行的平面参数化方法进行汇总，总结出相关的参数化方法、参数域边界条件、是否满足双射以及方法是否迭代，见表2。4面域的定义和测量条件除了平面参数化，另一种常见的参数域就是单位球面，将三维曲面参数化到球面上。假设有角度uf071uf0ce[0,2uf070)，uf066uf0ce[-uf070/2,uf070(14)(17))，则球面坐标为如图11所示，对于每对uf071和uf066的取值，都能对应球面上一个点坐标。由于零亏格曲面在拓扑上等价于单位球面，因此对于零亏格曲面而言，球面域是天然且无缝的参数域。根据求解方法的不同，球面共形参数化主要分为基于能量优化的方法和基于凸组合嵌入的方法。4.1基于能量优化方法该方法主要思想是构造不同的能量函数，通过对能量函数进行优化从而将源曲面参数化到单位球面。GU等4.2嵌入凸组合方法该方法可将平面凸组合的方法推广到球面域，即把网格嵌入球面凸多边形，在保留凸组合方法求解简单高效的同时，和球面域的天然特性进行结合，以产生高质量的参数化。AIGERMAN等5复杂曲面的热设计除了平面域和球面域，双曲空间域也是共形参数化的研究重点。虽然不及平面域的简易性(易于构造，求解快速)和球面域的天然性(零亏格曲面拓扑等价，曲率恒正)，但是双曲空间域能够处理更多锥点的放置情况，并且对于复杂拓扑曲面，即高亏格曲面而言，双曲结构有潜力取代定义在流形样条中的仿射结构，这也使得目前对于高亏格曲面的处理，大多选择双曲平面作为参数域。AIGERMAN和LIPMAN6其他参数化边界经过多年的发展，参数化已经成为几何模型处理中的关键一环，而共形参数化又以参数化前后保角和保形的特性备受青睐。本文对三角网格曲面共形参数化进行了综述，从方法角度根据不同的目标参数域进行分类，对每一类共形参数化方法进行归纳总结：(1)平面参数化。平面参数化是最为常用的参数化方法。其中固定边界方法的优势在于用到的变形度量计算效率较高，缺点在于预先指定边界会导致参数化前后变形较大；自由边界方法改善了固定边界的失真，适用性大幅提高；无缝参数化克服参数化的预处理从而没有产生切割偏差；其他参数化更多的体现在对边界的可控。(2)球面参数化。对于零亏格曲面而言，球面参数化可以达到天然且无缝的效果。能量优化的特点在于控制迭代次数从而实现不同参数化效果；凸组合嵌入实现双射，得到高质量映射结果。(3)双曲空间参数化。高亏格曲面大多应用双曲空间参数化方法。但是现阶段仍然有一些问题束缚着共形参数化的发展，例如，对于复杂拓扑曲面需要将大量精力放在寻求割线的处理上面，不同的处理