人教B版数学课件1-1-1第1课时集合

第1课时集合第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的关系.(数学抽象)2.理解集合中元素的特征性质.(直观想象)3.理解空集的含义及其表示方法.(数学抽象)4.理解集合的分类,掌握常用数集的表示方法.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?【知识点拨】

知识点一、集合的概念(1)集合:把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用英文大写字母A,B,C,…来表示.(2)元素:组成集合的每个对象都是这个集合的元素.集合中的元素通常用英文小写字母a,b,c,…来表示.名师点析

集合概念的三个性质(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等,即对象形式多样化.微思考

是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示

可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.微练习下列判断正确的个数为(

)①所有的等腰三角形构成一个集合;②倒数等于它自身的实数构成一个集合;③质数的全体构成一个集合;④由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.

答案

C知识点二、元素与集合的关系

知识点关系概

念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A的元素,就说a属于Aa∈Aa属于A不属于如果a不是集合A的元素,就说a不属于Aa∉Aa不属于A名师点析

概念概念上的区别符号上的区别关系元素研究对象英文小写字母a,b,c,…a∈A或a∉A集合一些对象组成的整体英文大写字母A,B,C,…微思考

设集合M表示“1~10之间的所有质数”.请问3和8与集合M有何关系?提示

3是集合M中的元素,即3属于集合M,记作3∈M;8不是集合M中的元素,即8不属于集合M,记作8∉M.微练习集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(

)A.∈M

B.0∉M

C.1∈M

D.-∈M答案

D知识点三、集合中元素的特点集合中元素的三大特性:(1)确定性:集合的元素必须是确定的.(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.(3)无序性:集合中的元素可以任意排列.名师点析

对集合中元素的特点的理解(1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能组成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.微思考

(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题?提示

比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”标准不确定;身高不低于180

cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180

cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180

cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性.微练习集合{3,x,x2-2x}中实数x满足的条件是

.

答案

x≠0且x≠-1且x≠3知识点四、集合的分类及相等集合(1)有限集:含有有限个元素的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合.(3)一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作⌀.空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集.(4)给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.微思考

方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少?提示

该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,因此集合中元素个数为0.知识点五、常见数集及其表示

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN+或N*ZQR微练习用符号“∈”或“∉”填空.答案

(1)∈

(2)∉

(3)∈

(4)∉

(5)∈课堂篇探究学习探究一集合中元素的确定性例1判断下列各组对象能否构成一个集合:(1)2020年9月召开的本校秋季运动会所有的男队员;(2)方程x2-1=0的所有实根;(3)的近似值的全体;(4)大于0的所有整数.解

(1)能,因为男队员是确定的.(2)能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性.(3)不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合.(4)能,因为大于0的整数是确定的.反思感悟

集合的判定方法集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合.探究二集合中元素的互异性例2已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.解

由题意可知,a=1或a2=a,(1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.(2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.要点笔记

集合中元素的特征性质集合中的元素是互不相同的,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素.延伸探究(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.(2)已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.解

(1)由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.(2)若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1.探究三元素与集合的关系例3已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.分析-3是集合中的元素说明x-2=-3或2x2+5x=-3,可分类讨论求解.解

由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性;要点笔记

解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性.变式训练

用符号“∈”或“∉”填空.答案

(1)∈

(2)∉

(3)∈

素养形成分类讨论思想的应用分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学的划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.典例

已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.解

当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.当x2=1时,得x=±1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.综上可知,符合题意的x的值为-1.方法点睛

x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.

当堂检测1.(多选题)下列对象能构成集合的是(

)A.所有的正数

B.等于2的数C.接近0的数

D.不等于0的偶数答案

ABD2.(2020陕西榆林高一期中)设a,b∈R,集合A中含有3个元素1,a+b,a,集合B中含有3个元素0,,b.若A=B,则b-a=(

)A.2 B.-1 C.1 D.-2答案

A解析

由已知,a≠0,故a+b=0,则

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.3.用符号∈或∉填空.(1)设集合A是正整数构成的集合,则0

A,

A,1

A;

(2)设集合B是小于

的所有实数构成的集合,则2

B,1+

B;

(3)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x构成的集合,则3

C,5

C;

(4)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x,y)构成的集合,则-1

D,(-1,1)

D.

答案

(1)∉

∉

∈

(2)∉

∈

(3)∉

∈

(4)∉

∈解析

(1)依次应填∉,∉,∈.(3)由于n是正整数,所以n2+1≠3.而当n=2时,n2+1=5,所以依次应填∉,∈.(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D.又(-1)2=1,所以依次应填∉,∈.4.下列对象构成的集合是空集的是

.(填序号)

①小于1的自然数;②2米高的人;③方程x2-x+1=0的解集.答案

③解析

因为方程x2-x+1=0的判别式Δ=1