浙江省台州市重点中学2023年届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷留意事项考试完毕后，请将本试卷和答题卡一并交回．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．作答选择题，必需用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必需用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．52B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．12560分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．数学中有很多外形美丽、寓意奇特的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为列四个结论：①曲线C有四条对称轴；

x2y2

x2y2

.给出下1②曲线C4；1③曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为8；4.其中，全部正确结论的序号是〔〕A．①②B．①③C．①③④ D．①②④121

F,F

是双曲线

x2y2a2 b2

1(a0,b0)

的左、右焦点，假设点

F2关于双曲线渐近线的对称点A满足211FAOAOF211

〔O为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为〔 〕A．y2xB．y 3x C．y 2x D．yx中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不犯难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公认真算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从其次天起6.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为〔〕A．6里B．12里C．24里D．48里中国古典乐器一般按“八音”·春官·金、石、土、革、丝、木、匏p八音，其中为打击乐器，为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为〔〕3 11 1 2A．14 B．14 C．14 D．7C:双曲线

a2

x21(a0)3

的一个焦点与抛物线x2

8y的焦点重合，则双曲线C的离心率为〔 〕3A．2 B． C．3 D．43假设双曲线C

x2y21：m

的一条渐近线方程为

3x2y0

，则m〔 〕4 9 2 3A．9 B．4 C．3 D．2fxlnxx22exa函数

x 〔其中e为自然对数的底数〕有两个零点，则实数a的取值范围是〔 〕 1 1,e2

,e2 e 1 1 e2e, e2e,

正项等比数列1

nn的前n33

项和为33

S 7Sn，且

4S 4，则公比

的值为〔 〕A．1

B．12

C．2 D． 2设一个正三棱柱ABCDEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点动身，每次只沿着棱爬行并爬1010到另一个顶点算一次爬行假设它选择三个方向爬行的概率相等假设蚂蚁爬行10次仍旧在上底面的概率为P P1010为〔 〕11101

43 2

3 2A． B．

111013 2

23 2C． D． 5 1将函数f(x)cosx的图象先向右平移6 个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的 (0)倍，纵坐标不变，得到函数

g(x)

的图象，假设函数

g(x)

3( , )在2 2 上没有零点，则

的取值范围是〔 〕2 28(0, ] [ , A． 9 39

2(0, ]B． 92 8(0, ] [ ,1]C． 9 9 D．(0,1]fxxcos2x函数 的图象可能为〔 〕A． B．C． D．历史上有不少数学家都对圆周率作过争论，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得值的表达式纷纷消灭， π224466使得值的计算精度也快速增加华理斯在1655年求出一个公式：2 133557 ，依据该公式绘制出了估量圆周率π的近似值的程序框图如以下图所示执行该程序框图输出的T2.8假设推断框内填入的条件为km?，则正整数m的最小值是A．2 B．3 C．4 D．54520分。有2名教师和3名同学将他们随机地排成一行用表示两名教师之间的学生人数则1对应的排法有 E 种； ；a

S 6,S

8 S 等差数列

nn项和为Sn，假设3

6 ，则

9 .函数

fxsinxcosx

，则以下结论中正确的选项是

fx fxxk

fx6

,0为

Z；③

fx

在区间4

上为增函数；④方程 5在区间

6个根.假设实数满足不等式组 则目标函数 的最大值为 ．三、解答题：共70分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。x1cosC ysin x17〔12分〕曲线

1的参数方程为 〔为参数，以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标2系，曲线C的极坐标方程为cos24sin.21求曲线C的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；1过原点且倾斜角为范围.

(4

)3

的射线l

与曲线

1

2分别交于

OAOB两点〔异于原点，求 的取值x2 Fc,0

C: y21a118〔12分〕设点1

，2 分别是椭圆 a2

P为椭圆C上任意一点，且PF PF1

1．求椭圆C的方程；l:ykxm C

M N l

FMl

FNl线

与椭圆

，是直线

上的两点，且1

，2 ，FMNF

S的最大值．1 2C:x2y2

1(ab0)

3 19〔12分〕椭圆

a2 b2

的离心率为A

0,1.求椭圆C的标准方程；点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点PPQy轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线y1交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试推断以OD为直径的圆与点M的位置关系.20〔12分〕

fxax(a1)ln(x1).a1时，求a0

fx的单调区间；fx ga

gat当

时，设

的最小值为 ，假设

恒成立，求实数t的取值范围.21〔12分〕如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC9，AB2DC2BC，E为AB的中点，沿DE将ADEAPPEEBMPBNBC上的动点〔与点BC不重合〕.〔Ⅰ〕证明：平面EMNPBC垂直；6〔Ⅱ〕NBENM的余弦值6N点位置；假设不存在，说明理由.22〔10分〕

fxx1

，不等式

fxfx15

的解集为

xmxn.求实数mn的值；〔2〕x0y0nxym0xy9xy.参考答案12560分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1、C【解析】x,yx,y的关系式，然后依据根本不等式求解出最大值；④依据x,y满足的不等式推断出四叶草与对应圆的关系，从而推断出面4.【详解】①：当

x变为x时，

x2y23

x2y2

y

轴对称；

y时，

x2y23

x2y2

不变，所以四叶草图象关于x

轴对称；

x时，

x2y2

x2y23

不变，所以四叶草图象关于

yx

轴对称；y变为x时，

x2y2

x2y2

不变，所以四叶草图象关于

yx

轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；

x2y22 x2y23

x2y2

②：由于

x2y23

x2y2

，所以

2 ，x2y2所以

1 1 1x2y2 x2yx2y24，所以 2，取等号时 8，12，故错误；xyPx,yxy③：设任意一点 ，所以围成的矩形面积为 ，x2y2由于

x2y2

，所以

x2y2

x2y2

1 8 8，所以 ，取等号时

xy

124 ，所以围成矩形面积的最大值为8，故正确；2④：由②可知

x2y2

1 1x2y24，所以四叶草包含在圆 4的内部，S1 由于圆的面积为：应选：C.【点睛】

4 44，故正确..分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中xy去分析证明.2、B【解析】

AFOM

FAOAOF

AFc

AFO60

MOF

60先利用对称得 2

，依据 1

1可得 1

，由几何性质可得 1

，即 2 ，从而解得渐近线方程.【详解】如下图：2MAF2

AF

OM，2FAAF2所以1 2，FAOAOF AFFOc由于 1 1，所以 1 1 ，故而由几何性质可得AFO60，即MOF

60，1 2故渐近线方程为y 3x，应选B.【点睛】

MOF

60此题考察了点关于直线对称点的学问，考察了双曲线渐近线方程，由题意得出题.3、C【解析】

2a(11)

是解题的关键，属于中档1a {a} a 2

S 6

26 112

a192设第一天走1里则n 是以1为首项以)，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】

1

求出1 〔里a {a} a 2设第一天走1里，则n 是以1为首项，以为公比的等比数列，a(11)S 6由题意得：

1 26 378112 ，1解得a1

〔里)，a a 4

( )31921 2 81

24

〔里)．应选：C．【点睛】此题考察等比数列的某一项的求法，考察等比数列等根底学问，考察推理论证力量、运算求解力量，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是根底题．4、B【解析】.【详解】8从“八音”中任取不同的“两音”共有C228种取法；8“两音”中含有打击乐器的取法共有C2C2

22种取法；所求概率B.【点睛】

8 4p221128 14..5、A【解析】a2

34，解可a1，由离心率公式计算可得答案．【详解】x28y的焦点为(0,2)，y2x21则双曲线a2 3 的焦点也为(0,2)，即c2，则有a2

34，解可得a1，e双曲线的离心率应选：A．【点睛】

c2a .此题主要考察双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考察学生对这些学问的理解把握水平．6、A【解析】依据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m的值.【详解】my 1 xm0m由题意知双曲线的渐近线方程为应选：A【点睛】本小题主要考察双曲线的渐近线，属于根底题.7、B【解析】

3x2y0可化为

y x32 ，则3

1 3 mm42，解得 9.m4求出导函数【详解】

f(x)，确定函数的单调性，确定函数的最值，依据零点存在定理可确定参数范围．f(x)1lnx2(xe)x2 ，当x(0,ef(x)0f(x)单调递增，当x(ef(x)0f(x)单调递1减，∴在(0,上f(x)只有一个极大值也是最大值1f(x)，

f(e) e2ae

x0fx)x时，1 f(e) e2a0 ae21 因此要使函数有两个零点，则 e应选：B．【点睛】

，∴ e．此题考察函数的零点，考察用导数争论函数的最值，依据零点存在定理确定参数范围．8、C【解析】由7S2

4S

4可得

3a1

a4a2

a4

，故可求q

的值.【详解】7S

4S

3aa

4S

S4aa由于 2

4，所以 1 2

4 2 3 4 ，3q23故

为正项等比数列，故

q0

q3，所以 23

，应选C.n【点睛】na一般地，假设n

为等比数列，

Sn为其前n

项和，则有性质：〔1〕假设 ，则m,n,p,qN*,mnpq a〔1〕假设 ，则m n

aap q；n公比q1时，则有S ABqn，其中A,B为常数且AB0；nS,S S,S S , S 0n 2n n 3n 2n 为等比数列〔n9、D【解析】

〕且公比为qn.n由题意，设第n次爬行后仍旧在上底面的概率为P.①假设上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率nn2P n为3 n1；②假设上一步在下面，则第n1步不在上面的概率是1P1.假设爬上来，其概率是3 n1

，两种大事又P2P 11P 是互斥的,可得n【详解】

3 n1 3

n1

，依据求数列的通项学问可得选项.n由题意，设第n次爬行后仍旧在上底面的概率为P.n

2P n2①假设上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为3

n1 ；1

11P

,n2②假设上一步在下面，则第

n1

步不在上面的概率是

P ,n2n1

.假设爬上来，其概率是3

n1 ，2P P2

P1P

1

11P 1P 两种大事又是互斥的P

3 n1 3

n1

，即n

3 n1

3，∴n

2 3

n1

2，P1

1 2 P

11n1 n 2 n∴数列

3为公比的等比数列，而1

3，所以

23 2，P 1110110 2

3 2∴当n10时，应选：D.【点睛】

，.10、A【解析】依据y=Acos〔ωx+φ〕的图象变换规律，求得g〔x〕的解析式，依据定义域求出图象和性质，求得ω的取值范围．【详解】

56的范围，再利用余弦函数的5f(x)cosx6

个单位长度，ycosx5可得

6的图象，1再将图象上每个点的横坐标变为原来的 (0)倍(纵坐标不变)，g(x)cosx5得到函数 T2∴周期 ，

6的图象，假设函数

g(x)

3( , )在2 2 上没有零点，5

3

∴ 2 6 6 2 6，

5T 2 6

2 6 2 ∴ ，21，解得01， 52k 2 6 k

35

34k1又2

2 6 ，解得2 3 2 3，2k=03

89，

02当k=-1时，01，可得 9，[[2,8]39.(0, ] 9故答案为：A.【点睛】此题考察函数y=Aco〔ωx+属于较难题.11、C【解析】fx先依据 是奇函数，排解A，B，再取特别值验证求解.【详解】fxxcos2xxcos2x由于fx所以 是奇函数，故排解A，B，

fx，又 ，C【点睛】此题主要考察函数的图象，还考察了理解辨析的力量，属于根底题.12、B【解析】k1T2，第一次循环：

T2

2 2 8133

2.8

k2，连续循环；T 8 4 4 128其次次循环：

3 3 5 45

3

，此时

，满足条件，完毕循环，所以推断框内填入的条件可以是k3?，所以正整数m3，应选B．4520分。13、36 ；1.【解析】 1

C1A2A3

36

的可能取值为0123， 对应的排法有：3 2 3由此能求出 .【详解】

.分别求出 ， ， ， ，23名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名教师之间的学生人数，则0，1，2，3，1

C1A2A3

36对应的排法有：3 2 3 .∴136种；

A2A4 48P 0 2 4A5 1205 ，

C1A2A3 36P 1 3 2 3A5 1205 ，

A2A2A2 24P 2

3 2 A55

120，

A2A2 12P 3 3 2A5 1205 ，E048

361

242

123 1∴ 120 120 120 120故答案为：36；1.【点睛】.14、42【解析】3 6 3 9 6 3 由S，SS，SS成等差数列，代入S 6,S 8可得S93 6 3 9 6 3 【详解】S SS SS解：由等差数列的性质可得：3，6 3，9 6成等差数列，6 3 3 9 2(SS)SSSS6 3 3 9 S 42可得：9 ，42.

6,S68，【点睛】此题主要考察等差数列前n项和的性质，相对不难.15、①②④sinsinxcosx21sin2xfxsinxcosx1sin2x由函数sinsinxcosx2

，对选项逐个验证即得答案.1sin2xfxsinxcosx 1sin2x函数 ，fx

2，故①正确； 2xt

xt当sin2x1或sin2x0时，f

x有最大值或最小值，此时

22xttZ，即

2 4或xt2

,tZ x，即

k,kZ4 fx

x的对称轴方程为

k4kZ，故②正确；

3x ,

2x

ysin2x

, ,

fx当 4

时， 2

，此时 在

2上单调递减，在2

上单调递增， 在区4 4间

上不是增函数，故③错误；作出函数

fx的局部图象，如下图fx6

,0方程

在区间2

6个根，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】此题考察三角恒等变换，考察三角函数的性质，属于中档题.16、12【解析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】依据约束条件画出可行域，如以下图，由 ，解得目标函数故答案为：．

，当 过点

时，有最大值，且最大值为．【点睛】此题考察线性规划的简洁应用，属于根底题．三、解答题：共70分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。8,8 317〔1〕2cosx2【解析】

4y〔〕 .先将曲线C

化为一般方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：xcos,ysin,2

x2+y2，11可得C极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；11=由可得出射线l的极坐标方程为

3和41 ，联立C3和41

C2的极坐标方程可得点A和点B的极坐标，OAOB8tan，由OAOB的取值范围.【详解】曲线C

的一般方程为(x1)2y2

1x2y22x0，1其极坐标方程为22cos02cos；12曲线C的极坐标方程为cos24sin，即2cos24sin，2x2

4y；=射线l的极坐标方程为

34 ，34

A(2cos,)

B(4sin,) 联立2cos ，联立cos24sin cos2OAOB2cos4sincos2

8tan ，

3

,1tan3OAOB 8,8 33的取值范围是【点睛】此题考察圆的参数方程与一般方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与一般方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系，属于中档题.2x y21218〔〕2 〔22.【解析】PFPF•PF

PF•PFx2PF•PFx2

a21

x21c2 xa,a利用 1方程；

2的最小值为1，可得 1 2

a2 ，

，即可求椭圆C的将直线lykxm代入椭圆C的方程中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点0

即可得到m

k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d

FM d11 ，21

FM2

．当k0

时，设直l

d MNtan

FMNF S线的倾斜角为

，则1

2 ，即可得到四边形1

2面积

的表达式，利用根本不等式的性质，结合当k0FMNF

是矩形，即可得出S的最大值．1 2【详解】

Px,y，则

FPxc,y1 ，a21

FPxc,y2 ，PF

PFx2y2c2

x21c2 xa,a1 2 a2 ， ，由题意得，1c2

0c1a2

2，x2y21椭圆C的方程为2 ；将直线lykxm代入椭圆Cx22y2

2中， 2k21得

x24kmx2m220．

由直线l与椭圆C16k2m24

2k21

2m220，m2

2k21．dFM1 1设

kmdk21，2

FM2

kmk21，k0时，设直线l的倾斜角为，dd则1 2MN=

MNtan，1ddk 1 2S=11dd

，dd2m2 k 1 2

1 2 k21，S=m22k21，

2mk21

4mm21

4m1m∴当k0时，∴S2．

m1 m 2m1， ，m112k0FMNFS2．12FMNF

S2．1 2【点睛】此题主要考察椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量学问、二次函数的单调性、根本不等式的性质等根底学问，考察运算力量、推理论证以及分析问题、解决问题的力量，考察数形结合、化归与转化思想．x2y2119〔1〕4 〔2〕点M在以OD为直径的圆上【解析】依据题意列出关于abc的方程组，解出abc的值，即可得到椭圆C的标准方程；0x0设点

P(x0

M(，y0，则，

，求出直线

AM的方程，进而求出点N

的坐标，再利用中点坐标公式得到点DOMDM的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出 OMDM【详解】

0M在以OD为直径的圆上．33c

a2a

b13a2b2c3

c由题意可知， ，解得 ，2x y212椭圆C的标准方程为：4 .0x0设点

P(x0

M(，y0，则，

2，y0)，y1 2(y1)0 0x x AM

00 0直线 的斜率为2 ，yAM的方程为：

2(y0x

x1，0xxy1得，

x0，1y，0N

的坐标为

x( 01y0，

1)，x( 0 2(1 y)

1)D的坐标为

0 ， ， x x x

x2 x2OMDM(

0 y)(0

0

0 y2

0 y 2，0

2 2(1y) 0

4 0 44y 0，P(x

0 000y在椭圆C上，000x2y0 4

，x244y2，0 0 OMDM1

4(1y2)0 y

y

)y0，4(1y) 0 0 0，0M在以OD为直径的圆上．【点睛】此题主要考察了椭圆方程，考察了中点坐标公式，以及平面对量的根本学问，属于中档题．20〔〕f(x)的增区间为(,)，减区间为(1,1)〔〕t0.【解析】f(x)axa1)ln(x1)(a1)的导数，由于参数a的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再争论函数的单调区间；由〔1〕的结论，求出左端点．【详解】

ga的表达式，由于

gat

恒成立，故求出

ga的最大值，即得实数t的取值范围的f(x)aa1ax1(x1)〔〕解：f(x)x1

x1 x1 ，a1时，

x1f

(x)0f(x)的增区间为(1，f(x)0f(x)的减区间为(1,1).1 1〔2〕解：假设

xf(x)0得

a，由

f(x)0

1x得 a，1,1 1,f(x)

a

a 所以函数

的减区间为

，增区间为 ；g(a)f

11(a1)ln11a a ，g(a)t0

111ln11t0g(a)t a

a

a a由于a0，所以 ， a a

， h(x)x1x)ln(1xtxx0)，则h(x)0恒成立，由于h(xln(1xt，当t0h(x)0，故函数h(x)在(0,上是减函数，所以h(x)h(0)0成立；当t0时，假设h(x)0则0xet

1，故函数h(x)在(0,et

1)上是