2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学题库

2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学题库卷I一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.证明：为了保证轨道角动量是厄米算符，波函数ψ(r，θ，φ)满足单值性条件

ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)2.已知体系的能量算符为

其中K，a，b，c均大于零，为轨道角动量．求：体系的能级．3.一量子系统的哈密顿算符为，其中是微扰算符，是未微扰的哈密顿算符，是厄米算符，k是实数．令是另一个厄米算符，且

(1)若已知在未微扰基态上的平均值是问当考虑微扰时，在基态的平均值是什么?(要求准确到k的一次幂)

(2)利用下列三维问题检验所得计算结果

计算xi(i=1，2，3)在基态的平均值至k的最低次幂，并将计算结果与xi在基态的准确的平均值相比较．4.一维无限深势阱(0＜x＜a)中的粒子受到微扰：

的作用，求基态能量的一级修正．5.为什么如取轨道角动量，则空间量子化与不确定关系矛盾?而当取则空间量子化不违背不确定关系，对于后者给予定量说明，讨论不确定关系中何时等号成立，何时等号不成立?6.电子在恒定均匀磁场B=Bez中运动(ez为z方向单位矢量)，同时考虑空间运动与自旋运动：

(1)写出体系的哈密顿量；

(2)求的本征值与本征函数．7.两个质量均为μ的非全同粒子在一维无限深势阱中运动，设两粒子之间的相互作用为

其中x1和x2分别为两个粒子的坐标，，V0为常量．以该相互作用为微扰，求基态能量的一级修正，结果只保留到b/a的一次项，8.证明为泡利矩阵．9.一个自旋为、磁矩大小为μ的粒子处于如下旋转磁场中：

B=Bcos(ωt)ex+Bsin(ωt)ey

其中磁场大小B为定值．若初始时刻粒子的自旋沿z轴负方向，求t＞0时粒子的自旋沿z轴正方向的概率．10.一微观粒子沿x轴自由运动，设t=0时刻测定其位置不确定量为Δx．计算t时刻测定该粒子位置时不确定量Δx为多大?11.一个二维谐振子体系的哈密顿量是，属于第二激发态(能量为)的三个简并态可以在粒子数表象写为|nx，ny〉形式，它们分别是：|20〉，|11〉和|02〉．

(1)加入微扰(λ为小量)，在粒子数表象(或占有数表象)中，求在这个简并子空间的矩阵表示．一维谐振子的下降、上升算符分别是

(2)在粒子数表象中，求出该体系的第二激发态能量加入微扰后的一级修正值，并且求出简并态微扰论的零级波函数．12.有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场中运动．在动能的非相对论极限下，基态能考虑T与p的关系昀相对论修正，计算基态能级的移动ΔE至阶(C为光速)．13.一个磁矩为μ=μ0σ的自旋为1/2体系处于一个沿z轴大小为B0的均匀磁场中．在t=0时，再在x轴方向加入一个大小为B1的均匀常磁场，此时新合成的磁场仍是常磁场，设其方向为z'轴在t=0时刻及以前，体系自旋处于的本征态上，问：

(1)在t=0时刻B1磁场加入瞬间，体系自旋沿z'轴的投影的概率各是多少?

(2)在t＞0时，体系所处的态矢量的矩阵表示|ψ(t)〉为多少?

(3)在t=T时，体系处于自旋态的概率．14.原子核限度为10-13cm，试用不确定原理估算核内质子的动能(以电子伏为单位)．15.一个处于基态的氢原子，它的原子核忽然受到一个中子的散射，使它得到速度v．设在这个撞击下，氢原子既不激发，也不电离，求在碰撞后氢原子仍然处于基态的概率．16.已知t=0时氢原子波函数为(未归一化)

其中ψnlm(r)为氢原子本征态，n，l，m分别为主、角和磁量子数且E1=-13.6eV，求：

(1)处于该状态的氢原子的能量，l2，lz的平均值；

(2)t时刻的状态ψ(r，t)；

(3)t时刻的能量，l2，lz的平均值是多少?17.计算：18.一个带电粒子被限制在半径为R的圆环上运动，其质量为μ，电荷量为q．在圆环中加上磁场，磁通量为Φ，磁场被约束在r＜R的区域，此时环上磁场为零，但矢势A不为零．粒子的哈密顿量可写为

(1)请问能谱是分立的还是连续的?

(2)请求出粒子的能级和波函数．19.，其中表示粒子1和粒子2的自旋算符(提醒：要考虑全同性原理，不必用微扰论)

(1)求由上述哈密顿量描写的自旋为粒子系统的基态能量和基态波函数；

(2)求由上述哈密顿量描写的自旋为1粒子系统的基态能量和基态波函数．20.紧闭在宽度为10-10m的一维盒子中的一电子处于基态上，电子能量为38eV．计算盒壁所受的平均力．21.两个电子处在自旋单态，其中α，β分别是自旋算符的单粒子自旋态．

(1)试证明：χ(00)是算符σ1·σ2的本征态(σ1，σ2分别是两个单电子的自旋算符)；

(2)如果测量一个电子的自旋z分量，得，那么，测量另一个电子的自旋的概率是多少?(写出你解答这个问题的理由)

(3)如果测量χ(00)态的一个电子的自旋Sy，测量结果表明它处在的本征态，那么再测量另一个电子自旋x分量，得到的概率是多少?(写出你解答这个问题的理由)22.质量为μ的粒子在一圆周(周长为L)上运动，如果还存在，a≠0．求出系统所有能级和相应的归一化本征函数．23.处于基态的类氢原子(核电荷数Z)，经β衰变突然核电荷数变成(Z+1)，求原子被激发到2s态的概率．

(已知类氢原子的状态：

24.自然单位制下，某粒子定态波函数为ψ(x)=π-1/4e-x2/2，已知该态下动能和势能平均值相等，求势能函数V(x)及能量本征值．25.一维谐振子t=0时处于基态ψ0和第一激发态ψ1的叠加态

其中

(1)求t时刻，位置和动量的平均值〈x〉t，〈p〉t；

(2)证明对于一维谐振子的任何状态，t时刻位置和动量的平均值有关系为：

(3)求t时刻能量的平均值〈H〉t．26.一个质量为μ的粒子在一维势盒中运动

将V0部分视为在6a长的平坦盒子(V=0，-3a＜x＜3a，V=∞，|x|＞3a)上的微扰．用一级微扰法计算基态能量．27.在质心系中，设有两个电子碰撞，其散射振幅为f(θ)，试给出其微分截面．28.一势垒如下图所示，能量为E的粒子由左向右入射，求E＞V0，E＜V0两种情况下的反射系数和透射系数，

29.在p表象中，归一化波函数为，试计算Δx，Δp，并验证不确定关系．30.设在绝对零度，在三维各向同性谐振子势中，有20颗自旋为的全同粒子组成的系统，如果完全忽略粒子间互作用，这20颗粒子的平均能量为3eV．

(1)如果同样稳定同样近似条件，该势中由12颗这样的粒子组成的系统，其平均能量为多少电子伏?

(2)如果势中换成质量相同但自旋为零的全同粒子17颗，在同样稳定同样近似条件下，其平均能量为多少电子伏?31.一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围，求激发电子到第一激发态所需的能量．(用eV表示．)

，me=0.5MeV/c2，c=3×108m/s32.一个电荷为q的一维简谐振子处在均匀外电场E中，势可表为

(1)求该体系能量的本征值和本征函数，假设无外电场时简谐振子的本征函数为；

(2)选取一个特殊的电场E的值，可使该体系基态能量为零，这是否意味着此时零点能已不复存在?

(3)求坐标和动量在任一本征态的平均值33.电荷为q、质量为μ的点粒子在沿z方向的均匀恒定磁场B中运动时的哈密顿量为

证明：力学量为守恒量．34.一维谐振子系统，哈密顿量，粒子处于基态与第一激发态的叠加态，测得系统处于基态的概率是第一激发态的4倍，初始时刻t=0时动量平均值是且平均值小于0．求t时刻平均值．35.试求磁场强度为B的外磁场中，电子的由自旋引起的能量本征值和本征函数，B=B3z+B1x，式中B3，B1是常数，x和z分别是x方向和z方向的单位矢量(假定自旋轨道耦合项很小，可以忽略)36.质量为μ的粒子在吸引δ势V(x)=-Aδ(x)(A＞0)中运动，以谐振子基态型波函数为试探函数，求束缚态的近似能量．37.极低温下4He液体和3He液体会表现出极不相同的特性，为什么?常温下4He气体和3He气体的特性基本相同，又为什么?38.1800个电子经1000V电势差加速后从x=-∞处射向势阶其中V0=750eV．试问在x=∞处能观察到多少个电子?如果势阶翻转一下，即电子射向势阶则结果又如何?39.考虑一个类氢原子：无自旋质量为μ的粒子在中心力场中运动，原子处于z方向均匀磁场中，哈密顿量可写为为角动量z分量，ωL正比于原子磁矩M．

(1)写出原子角动量各分量的期望值的时间演化方程；

(2)假设原子在t=0时刻处于2p轨道，的本征态，求t时刻波函数；

(3)接上问，原子角动量发生进动，求进动周期；

(4)接(2)问，在t时刻测量的可能值和相应概率是多少?

(5)接(2)问，时，测量的可能值和相应概率是多少?

注：本题可能用到的公式如下

球谐函数

在l=1时，算符表象的表示矩阵为40.量子力学刚性转子被约束在一平面内转动，它对转轴的转动惯量是I，并有电偶极矩μ(位于平面内)．转子放在一弱均匀电场ε中，电场位于转动平面内．将电场看成微扰，求能量修正值．41.什么是束缚态?束缚态有何特征?束缚态是否必为定态?反之如何，举例说明.42.已知一量子体系只有两个能量本征态|1〉，|2〉，它们是正交归一的，现对一可观测量测得以下数据

求以|1〉，|2〉为基，的矩阵形式和本征值．43.设一维谐振子的态在其能量表象下为：

44.设一维谐振子处于第n个激发态，求坐标和动量的均方差的乘积45.写出能量表象下的薛定谔方程．46.两个自旋为1/2的粒子，在表象中的表示为其中，|αi|2是第i个粒子自旋向上的概率，|βi|2是第i个粒子自旋向下的概率．

(1)求哈密顿量的本征值和本征函数(V0为一常量)；

(2)t=0时，体系处于态α1=β2=1，α2=β1=0，求t时刻发现体系在态α1=β2=0，α2=β1=1的概率

分析：(1)已知奈件中的态表示是在非耦舍表象中的表达式，可验证(S1z，S2z)表象(4×4空间)的彼此正交归一的基矢并非全是待求哈密顿量的本征态，可将哈密顿量在非耦合表象中的矩阵表示出，通过久期方程求本征值和本征函数；(2)首先应求出t时刻体系的状态，再利用完备性关系不难求出概率．47.试求，θ是一恒定的角度值．48.一质量为μ粒子在宽度为a的一维无限深方势阱(0＜x＜a)中运动，在t=0时粒子处于基态，此时突然加上一个高为V0宽为中心在a/2的方势垒微扰，t0(t0＞0)时撤去微扰，求体系处于前三个激发态的概率．49.在质心系中，设有两个电子碰撞，其散射振幅为f(θ)，试给出其微分截面．50.设波函数是一维势场V(x)中质量为μ的粒子的能量本征态，其中A，n，a为常量，且已知当x→∞时，V(x)=0．试求该本征态的能量E和位势V(x)．卷I参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：[证明]厄米算符的定义要求对于任意两个波函数，有下式成立：

如果f=f(r，θ)与φ无关，则有

即

被积函数对r，θ部分的任意性特征要求

鉴于φ=0的方向可以任意选择，故有ψ(r，θ，φ)=ψ(r，θ，φ+2π)．2.参考答案：[解]在空间内取方向n，相应的方向余弦为

故有

其中为在n方向的投影

考虑到有共同的本征函数，因此体系的能级为

其中l=0，1，2，…；m=0，±1，+2，…，±l．3.参考答案：解：令表示H0的基态一级近似波函数，一级微扰公式为

其中

(1)因为，故

计算中利用了厄米算符定义和本征函数的完备性．

(2)，显然〈x1〉=〈x2〉=0，故仅需计算〈x3〉．令，其中α是待定实常数．由

又等于kx3，故

另有，故

基态的准确的波函数ψ0(x3)满足

令，则上方程成为

所以

计算表明，的近似值和精确值一致．4.参考答案：解：本题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数

能量本征值

对基态n=1，计算能量的一级修正量时，因微扰是分段连续的，因此要计算两个积分式的和

利用定积分公式

代入(3)式得5.参考答案：[解]由不确定关系，所以

取l2，lz的共同本征态，在此态下，

而

所以，即若取，则：，当|m|=l时与不确定关系矛盾；若取，则：对任何m值都成立．

显然，当m=±l时，上式中等号成立；否则，等号不成立．6.参考答案：解：此题中应该不考虑自旋与轨道间相互作用

(1)

(2)显然自旋角动量与轨道角动量可以分离变量

令ψ=φ(r)χ，代入上式：

即：

解得：

7.参考答案：解：对于非全同的两粒子，基态未微扰的波函数和能量分别为

能级的一级修正为

因为

所以

由于，故保留到b/a的一次项有8.参考答案：[证明]取

9.参考答案：[解]在σz表象中，哈密顿量表示为：

设t＞0时体系的自旋波函数为

代入含时薛定谔方程得到

结合(1)式和(3)式可得

其中令a(t)=c1(t)e-iωt/2，b(t)=c2(t)eiωt/2，代入(4)式和(5)式可得

令f(t)=c1(t)+c2(t)，g(t)=c1(t)-c2(t)，(6)式和(7)式相加或相减可得

解得

由初始条件，可得a(0)=0，b(0)=1．即c1(0)=0，c2(0)=1，所以

f(0)=1，g(0)=-1

(12)

因此

故有t＞0时刻波函数为

t＞0时粒子自旋沿z轴正向的概率为

10.参考答案：[解]自由粒子，由于，所以

而p=p0，Δp=Δp0，所以11.参考答案：解：二维谐振子对应的能级为：，n1、n2=0，1，2，…基态为：|00〉；第一激发态为|10〉或|01〉；第二激发态为|20〉，|11〉或|02〉

(1)取

现计算在简并3×3子空间中H'的矩阵元：

(利用了波函数和算子的宇称特性，在宇称下坐标和动量均为奇算符)

考虑到：

所以：

故

所以

考虑到的厄米性，可得在简并子空间的矩阵为

(2)零级近似波函数可表示为：

满足久期方程为：

能级3重简并完全解除．

(a)对于，可得：

所以，联系归一化条件可得

(b)同理对于，可得：

(c)对于，可得：

所以一级修正值及对应的零级波函

简并完全解除．12.参考答案：解：方法一：由微扰论知基态能级的移动为：

考虑到

由可得

近似到阶的基态能级的移动为

方法二：利用产生算符和湮没算符计算．

由式知，可考察势能和势能平方的平均值．鉴于谐振子问题中，动能平均和势能相等，故式中前两项抵消．所以仅需要计算势能平方的平均．利用，结合，可得

故

对于基态，取n=0可得

13.参考答案：[解]系统的哈密顿量为

依据上题方法二，上式改写为

此处单位矢量n=(sinθ，0，cosθ)，即z'轴方向．则

容易解得上式的本征值和本征函数为

(1)在t=0时刻B1磁场加入瞬间，体系状态来不及改变，仍为故此时粒子自旋沿z'轴的投影的概率为

考虑到，则有

所以

其中cosθ，sinθ由(3)式给定，

(3)在t=T时，体系处于自旋态的概率为

14.参考答案：[解]可用Δp估计p，，故有

因为

故：

15.参考答案：[解]选择速度为v运动的原子核为参考系(记做K')，刚碰撞的一刻，电子波函数未来得及改变，故碰撞后电子波函数还是氢原子基态ψ100(r)，但应将ψ100(r)变为K'参考系中去碰撞后的状态波函数为

Ψi(r)=ψ100(r)e-ik·r

(1)

其中

碰撞后的状态波函数可由氢原子中电子本征波函数ψnlm(r，θ，φ)来展开

因此，碰撞后氢原子仍处于基态的概率为

W100=|〈ψ100|Ψi〉|2

(3)

其中

所以

16.参考答案：[解]归一化波函数为(t=0)

(1)从上式可知：能量量子数n=1，2；l2量子数l=0，1；lz量子数m=0，1，-1故

(2)t时刻的状态为：

(3)因能量满足：，所以为守恒量．由于守恒量的平均值在任意状态的平均值不随t改变，故

17.参考答案：[解]利用两算符相等的定义，将对易式作用在任意波函数上计算

利用两算符相等的定义，可得18.参考答案：解：

显然的本征态为系统的本征态，即

代入定态薛定谔方程可得

其中m为整数．因此，粒子的能级是分立的．19.参考答案：解：

(1)对于自旋为粒子：

因为：

所以：

体系为费米子保证波函数反对称．

空间波函数：

对称：φS=φn(x)φn(y)

反对称：

自旋波函数：

对称态：

反对称态：

由于体系为费米子系统，波函数应反对称，故只能是：

ψA=φAχS或ψA(1，2)=φSχA

所以体系得本征态为：

对应本征值为：

对于基态：波函数为；对应的本征值为．

(2)对于自旋为1粒子：玻色子

对于自旋为1的粒子，单粒子z分量的本征函数记做α，β，γ，则可以证明耦合表象中的波函数为：χ2m和χ00为对称波函数，χ1m为反对称波函数．

总自旋量子数

S=S1+S2，S1+S2-1，…，|S1-S2|，S=2，1，0

总自旋量子数

mS=2，1，0，-1，-2(S=2)；

mS=1，0，-1，(S=1)；

mS=0(S=0)

对于基态，波函数为ψ=φ0(1)φ0(2)χ00，对应的本征值为20.参考答案：[解]假设盒宽度为a，在一维无限深势阱中的电子能量本征值为，利用H-F定理，，本题中取参量为势阱宽度a，则有

21.参考答案：[解]

(1)证明

因为

对于自旋单态χ00，S=0，故σ1·σ2χ00=-3χ00，证毕．

(利用了χ00是S2的本征值为0的本征态)

(2)0，因为两个电子不能同处于

(也可通过直接计算[α(1)α(2)]+χ00=0得到结论)

(3)取表象，对应于本征值为的态为对应于本征值为的态为

体系状态为二者直积：

概率为：，主要是计算标积因为：

所以22.参考答案：[解]该问题为绕过圆周中心的轴做定轴转动问题，转动惯量I=μR2，其中R为圆周的半径，圆周长为L=2πR．取极坐标系，令x=Rφ，则δ函数势化为

定态薛定谔方程方程为

(2)式的解为

ψ1(φ)=Aeimφ+Be-imφ，0≤φ＜π

(3)

ψ2(φ)=Ceimφ+De-imφ，π＜φ＜2π

(4)

其中m=0，1，2，…．

由波函数及其导数在φ=0或2π的连续性条件：ψ1(0)=φ2(2π)，可得

A+B=C+D

(5)

A-B=C-D

(6)

根据波函数的一阶导数在φ=π处不连续性条件：可得

联立(5)式、(6)式和(7)式可得B=-A，C=A，D=-A，所以

ψ1(φ)=A(eimφ-e-imφ)，0≤φ＜π

ψ1(φ)=A(eimφ-e-imφ)，π＜φ≤2π

即

ψ(φ)=A'sinmφ，0≤φ≤2π

(8)

粒子的归一化定态波函数与相应的定态能量为

由于m=0，ψ(φ)=0，故不含m=0．23.参考答案：解：突然衰变，态来不及改变，此时状态为ψ100(r，θ，φ)，将其用(Z+1)下的ψnlm展开：，由此可知跃迁到2s态的概率|C200|2．

所以24.参考答案：[解]由题意，波函数在无穷远处为零，所以该定态问题为束缚态问题则动能为

因此，总能为

定态波函数满足定态薛定谔方程，所以有(自然单位制)

代入波函数可得

结合(2)式和(4)式可得

转化为国际单位制，则有

显然为一维谐振子势场，势能对应的能量本征值为

25.参考答案：[解]

(1)t时刻ψ(x，t)为

(3)因为，能量为守恒量，故〈H〉t=〈H〉0．而26.参考答案：解：在6a长的平坦盒子粒子能级与波函数分别为

偶宇称解为

奇宇称解为

基态为

一级微扰修正为

基态能量在一级修正下为

27.参考答案：全同粒子微分截面应由f(θ)f(π-θ)二项构成，电子是费米子，总波函数应反对称．

(a)对于总自旋S=0态，自旋波函数反对称，空间波函数应对称：

σS(θ)=|f(θ)+f(π-θ)|2

=|f(θ)|2+|f(π-θ)|2+[f*(θ)f(π-θ)+c.c.]

(b)对总自旋S=1态，自旋波函数对称，空间波函数应反对称：

σA(θ)=|f(θ)-f(π-θ)|2

=|f(θ)|2+|f(π-θ)|2-[f*(θ)f(π-θ)+c.c.]28.参考答案：E＞V0的情况

薛定谔方程为

令，上述方程化简为

其解为

由x=0处波函数连续性条件得到

解得

由于，所以

又由于，所以

(2)E＜V0的情况

令，在x＞0区域内定态方程为ψ"-ρ2ψ=0，其解为

ψⅡ=D'e-ρx+Deρx

由公式，知

由于当x→∞时，ψⅡ=D'e-ρx+Deρx必须有界，可得D=0．所以jⅡ=0，即在x＞0区域概率流密度为零，于是有透射系数为零，反射系数为1．29.参考答案：解：本题主要考察计算积分技巧和不确定关系

所以

满足不确定关系．30.参考答案：解：自旋粒子系统满足泡利不相容原理和能量最低原理，因三维各向同性谐振子系统

考虑到电子自旋，20个电子占满前三层(0，1，2)，故

因此有

(1)12颗自旋粒子：

(2)自旋为零的全同粒子可以全部处于基态(等价)31.参考答案：[解]开始体系处于基态，根据位力定理，对于一维谐振子：

因此E0=〈H〉=〈T〉+〈V〉=2〈V〉=meω2〈x2〉

所以

对于谐振子，〈x〉=0，故

从基态到第一激发态所需能量为，由(1)式得

因此

32.参考答案：[解]

即体系仍为一线性谐振子

(2)如，即

时，这并不意味着零点能不存在，只表示电场使得谐振子能级降低

(3)由于，而指在φn(x')中平均值，故，所以(因为x平移一常量其导数不变)．33.参考答案：证明：因为力学量r不显含时间，故只需证明它与系统的哈密顿量对易．

证毕．34.参考答案：解：由已知条件和归一化条件可得

利用递推关系有

所以有

结合已知条件可得

又因为

所以坐标平均值为

结合已知条件以及(3)式和(5)式可得

t时刻波函数为

35.参考答案：[解]方法一：

只考虑自旋部分

利用及泡利矩阵有

故本征值方程为：

取，则有

久期方程为

非零解条件为

即：，则有．故本征值为

对于本征值，由(3)式可得

又考虑到归一化条件：|a|2+|b|2=1，故可求得

对于本征值，则有

方法二：

其中

故能量本征值为

对于本征态，可以通过方法一或者通过比较一般情况下的的本征函数给出(取φ=0)．36.参考答案：解：谐振子基态型波函数的形式为

ψ(x)=Ne-αx2

(1)

其中α为变分参量．

粒子在势场中运动的哈密顿量为

能量在试探波函数下的平均值为

对参数变分求极值

解得

将(4)式代入(3)式得近似能量为

37.参考答案：4He原子中，核内包括两个质子、两个中子，核外有两个电子，因此它由偶数个费米子组成，是玻色子．3He有奇数个费米子组成，是费米子．极低温下，4He液体和3He液体表现出的极不相同的特性，来自于4He原子和3He原子不同的交换对称性．

常温下气体状态的4He和3He，原子之间距离足够远，不同原子波函数没有重叠，交换效应消失，不必考虑全同粒子的交换对称性，此时4He气体和3He气体的特性基本相同．38.参考答案：[解]由散射条件分区写下波函数

ψ=eikx+re-ikx，x＜0

ψ=teik'x，x＞0

其中

连接条件：ψ(0-)=ψ(0+)，ψ'(0-)=ψ'(0+)，导致

1+r=t，ik-ikr=ik't

由此解得

于是穿透系数为：T=1-R=1-r2．

本题：V0=750eV，E=1000eV，所以

r=-1/3，R=1/9；T=8/9．

在x=∞处观察到的粒子数为：N×T=1800×8/9=1600．

对翻转的势阶，由翻转定理，结果不变，即在x→∞处仍观察到1600个粒子．39.参考答案：[解]

(1)角动量各分量与中心力场哈密顿量对易，所以有

由(2)式和(3)式可得

解得

(2)对于2p轨道，角量子数为1，能级为

的本征方程为

当时，结合归一化条件|c1|2+|c2|2+|c3|2=1可得

其中分别为属于本征值的本征态．

(3)进动周期：

(4)由(13)式可得：在t时刻测量的可能值为概率分别为：

(5)在时，有

为了计算测量Lx的可能值，需要知道Lx的本征函数，计算易得

所以

测量的概率为

测量Lx=0的概率为

测量的概率为

40.参考答案：解：无外场作用时，，本征方程为

解得

微扰哈密顿量为(选x方向为ε方向)

能量一级修正为E(1)=0

能量二级修正为

41.参考答案：通常把无限远处为零的波函数描写的状态称为束缚态，一般地说，束缚态的能级是离散(分立)的，但不一定是定态，如：一维箱中粒子，是以一系列分立定态叠加而成的一般态．一般情况下，定态多属束缚态，但也可有非束缚态，如弹性散射中，入射粒子向各方向散射，粒子不局限在有限区域，但粒子可能处于能量本征态．42.参考答案：解：方法一：充分利用封闭性条件和厄米算符性质求解．

由已知条件和上式可得所以

故有

综合上述结果得力学量在基|1〉，|2〉下的矩阵为

解得其本征值为

方法二：利用厄米算符本征函数的正交归一完备性和厄米算符性质求解．

设，由可得(利用

所以

因为，所以可设

则有

利用力学量算符为厄米算符可有：

所以结合已知条件得：η=1

下同方法一．43.参考答案：解：一维线性谐