利用导数求函数单调性题型全归纳

利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\lna(a>0,a\neq1)$，求函数$f(x)$的单调区间。解：$f'(x)=ax\lna+2x-\lna=2x+(ax-1)\lna$，令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq1$时，$g'(x)=2+a\lna>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\lna<0$，所以不等式$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为：$(-\infty,0)$。变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-ax}>0$得：$x>\lna$，$f(x)$在$(\lna,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-ax}<1$得：$x<\lna$，$f(x)$在$(-\infty,\lna)$单调递增。综上所述：当$a\leq0$时，$f(x)$的单调递增区间为：$\mathbb{R}$，无单调递减区间；当$a>0$时，$f(x)$的单调递增区间为：$(\lna,+\infty)$，递减区间为：$(-\infty,\lna)$。二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。解：$f'(x)=3x+2ax-2$，因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解，所以$f''(x)=6+2a>0$，即$a>-3$，又$a\in\mathbb{N}$，解得：$2<a<5$，所以正整数$a$的取值集合为$\{3,4\}$。三、利用单调性求字母取值范围例3：已知函数$f(x)=ax\lnx$，若函数$f(x)$在$(0,1)$上是减函数，求实数$a$的最小值。解：因为$f(x)=ax\lnx$，所以$f'(x)=a\lnx+a$，若函数$f(x)$在$(0,1)$上是减函数，则$f'(x)<0$在$(0,1)$上恒成立，即$a\lnx+a<0$在$(0,1)$上恒成立。令$t=\lnx$，$(x\in(0,1))$，则$t<0$，原不等式化为：$at+a<0$在$(t<0)$上恒成立，即$a<-\dfrac{a}{t}$在$(t<0)$上恒成立。由于$t<0$，所以$a>0$，所以$-\dfrac{a}{t}>0$，即$a<0$。故实数$a$的最小值为$a=-\dfrac{1}{e}$。，当k<1时，G(1)=0，且G(x)在(1,∞)上单调递增.因为G(1)=0，所以当x>1时，G(x)>0.又因为G(x)在(1,∞)上单调递增，所以存在x>1，使得G(x)>0.即|lnx|-k(x-1)>0，即|lnx|>k(x-1)，即f(x)>g(x)，对任意的x∈(1,x)成立.因此，当k<1时，存在x>1，使得对任意的x∈(1,x)，恒有f(x)>g(x)，即证毕.(x)0的点处取得极小值，因此F(x)在x=0处有一个零点。由于f(x)是可导函数，所以f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，因此可以使用洛必达法则求得f(x)在x=0处的导数为f'(0)=1。因此，当x>0时，f(x)单调递增，因此f(