湛江市2023年普通高考测试（一）高三数学答案

湛江市2023年普通高考测试（一）

数学参考答案及评分标准2。23.3

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.【答案】A

【解析】由/2=i，得1—6=耳二=1一i,所以6=1.故选A.

2.【答案】C

【解析】图中阴影部分表示BflhA,由二得zVl或z>3,所以CRA={Z|14Z<3},

a：—1

由《V2Y4,解得一1VZV2,所以B={x|TVzV2》,故Bfl「A={1|1«2},故选C.

3.【答案】B

【解析】将两个0视为一个元素,将两个9也视为一个元素，所以共有A|=24（种）不同的结果*故

选B.

4.【答案】D

【解析】因为（范=十附一十代=：b_/a.

所以/^=公+0=代+N范=<1+5（看0—某）=/+!尻故选D.

5.【答案】C

【解析】由题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和.正六棱台的

2

两个底面积分别为S1=6XyX2OX2OXsin600=600V3（cm）,S2=6XjX40X40Xsin60°=

24009（皿2）,所以花灯的体积V=60S,+X10X（S,+S+TSTS?）=60X60073+X

o2o

1°X（600V3+240073+7600#X240073）=5000。①（cnY）,故选C.

6.【答案】B

[y=kx+2,

【解析】由题可知F（0,2）,设直线/的方程为y=）Lr+2,A（可，v）・_8（72，“）.由<,得

I1=8y,

861—16=0,故1口2=-16.又沙=*，”=茅，所以"山==。圆/+（y—2）2

oo（"；64；）

=4的圆心为「（0,2）,半径r=2.所以|40|=以尸|一「=|八「|一2,|1^|=|8"一「=

|BF|-2.又|4四=“+2,|8尸|=2+2.所以5。|=凹+2—2="，|8£：|=8+2—2="，

所以|AD|•|BE|=g2=4,故选B.

数学参考答案及评分标准第1页（共8页）

7.【答案】A

【解析】因为。=信)“’〈信）=1,6=log910>log99=1,c=1gll>lg10=1,2=lg100>lg99

=lg9+lg11>2\/lg9Xlg11,所以l>lg9X1g11，故，^>加11・又6=log910=尚，所以

6>c,所以〃>c>a.故选A.

8.【答案】C

【解析】由/'(2—工)+/'(工)=2,令工=1,得2/(1)=2,所以/(1)=1.

由八工-1)为奇函数，得/(工一1)=一f(一2一1),所以/(J—

故/'O)=/'(—z—2)①.

又/'(2—1)+/'(了)=2②，

由①和②得/'(2-Z)+/'(一工一2)=2,即/'(4一工一2)+/'(一工一2)=2,

所以/'(2)+/'(£+4)=2③，

令1=-1,得/'(-1)+/'(3)=2,得/'(3)=0,

令z=l,得/'(1)+/'(5)=2,得/(5)=1,

又/'(H+4)+/'(T+8)=2④，

由③一④得/'(了)一/'(工+8)=0,即(了+8),

所以函数/'(z)是以8为周期的周期函数，

故八7)=/'(—1)=2,

所以/(1)+/(3)+/(5)+/(7)=1+0+1+2=4,

25

所以=(3)+/'(5)+/'(7)+…(49)=6(/‘(1)+/'(3)+

i=I

/'(5)+/'(7))+/'(49)=24+1=25.故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AC

【解析】因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐标89相对过大，所以去掉离

群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以所以A正确，B错误；去掉离

群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以nVr-FV必，所以C正确,

D错误.故选AC.

10.【答案】ABD

【解析】如图1,设点M为棱4口的中点，则MG幺AE,所

以四边形AEGM为平行四边形，又A/〃ME,A|B0平面

AEG,MEU平面AEC,，所以〃平面AEC,，故A正确；

由上可知，四边形AEC,M为平面AEG截正方体ABCD-

2的截口平面.易得AE=E3=CIM=MA=7^,

故四边形AEC,M为菱形，又其对角线EM=2V2,AC1=

2痣,故其面积为3X2展X26=2卮故D正确；

图1

数学参考答案及评分标准第2页(共8页)

设CC,的中点为N,连接EN,FN.因为E,N分别为BC与CC的中点，所以EN〃BG,故

NNEF为EF与BG所成的角，又EN=FN=y/2,EF=V6,

EN2+EF--NF22+6—2

由余弦定理可得cos/NEF=

2EN•EF2X72XV6

4

华,所以EF与BQ所成的角为30°,故B正确;

如图2,假设EF,平面3AC正确，则又FC,±

BC,EFrFG=F，所以BCJ_平面EFCt，得BQJ_EQ.

在正方形B.GCB中，BCEG显然不成立，所以假设错

误，即EF,平面B/C错误，故C错误.故选ABD.

11.【答案】ACD图2

【解析】由T=*=2,得s=k，所以A正确；

（1）

当3=2时，/1）=cos（2z+半），所以函数八①）的图象向右平移半个单位长度后得

了卜一号）=cos[2（z—5）+5]=cos（21r—母）r8（工）,所以B错误;

竽+尹及+2版,

若/⑺在区间传，，上单调递增，则<4ez,解得i+3y3〈V+24/ez,

又3>0,所以只有当4=0时，此不等式有解，即所以C正确;

|n3+会>3，

3，17

若/（1）在区间（0,八）上只有一个零点，则1解得所以D正确.故

,7t/3K66

选ACD.

12.【答案】AB

【解析】由与一,得产入径/一状）所以-=二，则在点（）处的

"gb=1"L,JA©,“

切线斜率为，=,=空L所以在点A（为，v）处的切线方程为y—”=安（工一

jir~2a加a

jRfyi

为），又有日一空=1.化简即可得切线方程为学一袈=1，

aba~b~

所以号一吟密=1,所以幻皿=。2,故C错误；

ab

由心以=1，得了2=^•，又加>a，所以0<4<",故AJE确；

数学参考答案及评分标准第3页（共8页）

由F1（一C,O）,B（C,O）,B（F，O）,得|F®=\+c,IBBI=c-；

2

竺

坨IFiB|_为_cxi+a2

改画丁二

©

由M—券=1,得力=/一凡

a"b"a

所以IAp|=〃（乃+了+5=J3+CT答一6=器/+2卬+宗=%+。，

所以IAF,I=IAF|-2a=—xi—a,

]a

fMAKl_T^'+a—g+aZ/居引

2

IAFIcCJC~aBF

2-T[—a}2

a

设点八到x轴的距离为〃，

则S5B|E31/i=£|AFJ|AB|sinNEAB,S-B=十|EB|A=十|AF,||AB|sin/凡AB,

SAAF,B_|F,B|_|AF,|sinZFiABT71ABi赛斗，所以NBAB=NFzAB,故B正确;

—lAFzIsin/BAB'乂W7

227,2Q9

由上可得F而=（竺+c,0）,8工一（c-《,0）,因为9方=38弓,则±+c=3（c一竺），得工产生,

\J7]/\7]/\X\fC

|AFi|=­j；!+a=­X^-+a=3a,|AF,|=-xi—a=-X-..a=a,

aacaac

IAF.P+IAF,|2-|F,R|2_9^-+^2-4-2_5

所以cosNRAFzt*=:，解得e=42,

2X!AFI|X|AF,|6P1

故D错误.故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】一16

【解析】因为Si5=0,所以。8=。1+7d=0.又«3~ci\+2d=10,所以d=—2,〃]=14,所以S“=

2

—〃2+15%所以S16=-16+15X16=-16.

14.【答案】一展

r解后ycos700—cos200_sin200—cos200sin200—cos200

cos65°cos（450+20°）cos450cos20°—sin45°sin20°

15.【答案】上

In2

【解析】因为/（①）=-一"2—用定义域为R,所以r（1）=^-2a7,

故e勺~2aj：i=0,ex3-2。亚=0.又亚=27，所以e2j»—4。耳=0.

又eri>0,

故口=2,所以不二岛2,所以0=会=六.

数学参考答案及评分标准第4页（共8页）

16.【答案】2"(z+l)-l0

【解析】由题意，/3(N)=2"N+2"T+2"TH---F2'=2"Z+(43)=2"(H+1)-1,

所以/<1OO,(32)=33X21OO-1=33X1625-1=33X(17-1)25-1

252423Z2

=33(a|17-Cyi7+qn7-Cl|17+-+Q517-l)-l

232,232

=33(cyi7-C217+Cin7-C||17M----FQ517)-34

=17[33(CH1724-17234-CO1722-Cl|1721+-+Ch)-2].

又33(仁17〃-吐h72+C第1722—◎打72+…+0s)—2为正整数，所以尸。。>(32)除以17的

余数为0.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：(1)由2cos—=2cos-ycosC+2sin-^-sinC=cosC+VysinC,........................1分

所以■^■=cosC+73-sinC,故/>=V3asinC+acosC.

a

由正弦定理得sinB=、/JsinAsinC+sinAcosC...................................................................2分

又B=7r—(A+C),

所以sinB=sin[六一(A+C)]=sin(A+C)=\/?sinAsinC+sinAcosC,........................3分

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+\^sinAsinC,所以cosA=V^sinA,...............4分

所以tan八=拿，所以A=9....................................................................................................5分

36

(2)由题意,Sfc=»csinA='02gxl=¥，所以「=31........................................7分

由余弦定理可得a2=5+M-26ccosA=4+27-2X2X3乃X号=13,............................9分

所以a=yn\................................................................................................................................10分

18.证明：(1)因为%=5I=2幻一4*1+2,所以幻=2,%+4=6..........................................1分

由Sn—2an—4??+2,得S”—]=2a”1—4(«—1)+2,??)2,

所以a”=S,「S〃i=(2a”-4〃+2)—[2a”।—4(〃-1)+21=2a”-2a”1—4,〃>2,.......3分

n-I-4

所以a”=2a,i+4,"22,故"二,=2,”》2,..........................................................................4分

a“-i+4

所以数列{a,+4)是以6为首项，2为公比的等比数列...............................5分

(2)由(1)得a“+4=6X2"T=3X2",故a,=3X2”-4,.........................................................6分

所以a“+i=3X2"+i-4,

(3X2"-4)•(3X2^'-4)-T\3X2"-4.3X2n+1—4

2222”

所以T,,-----+…+―

a1.a2a2•a3a•Q〃+

}X(1-Al■一表+…+3><；一「3乂2七7

1

X〈春12分

l-f3X2"i-4

数学参考答案及评分标准第5页（共8页）

19.⑴证明：如图，过点B在平面ABCD内作50垂直于AD,交DA的

延长线于点。，连接OP...................................................................1分

因为PB_LBC,AD〃BC,所以PB±DO.

又BO±DO,PB,BOU平面POB,BOflPB=B，所以DO±平面

POB....................................................................................................2分

乂POU平面POB,所以DO-LPO,即AO±P（）.

因为/ADC=45°,AB〃DC,所以NOAB=45°.

又OAJ_OB,所以NOBA=45°=NOAB,故OA=OB..........................................................3分

因为△PAB为等边三角形，所以PA=PB.

又PO=PO,所以△POA四△POB

又PO_LOA,所以PO_\_OB............................................................................................................4分

又OA,OBU平面ABCD.OAnOB=O,所以POJ_平面ABCD.

所以点。为点I'在平面ABC。的正投影.

又点O在直线八。上，故点P在平面ABCD的正投影在直线八D上..................5分

⑵解：由⑴得PO,OB,OA两两垂直，以。为坐标原点，分别以OB.OA,OP所在直线为了，y,

?轴建立如图所示的空间直角坐标系O—zyz.................................

易得PC）=OB=OA=s/2.乂AO=72,

所以B（V2,0,0）,P（0,0,V2）,C（V2,V2,0）,D（0,2V2,0）,

故质=（0,虑,0）,此=（卷.&,一至），反=（招，一,&,0）.

...................................................................................................7分

\n•觉=0,

设“=（为，g,Z1）为平面PBC的法向量，则有《f

In•PC=0.

y\=0»

即1'可取“=(1,0,1)...........................................................................9分

〔VFHI—a—o,

m•E)f=0,

设（，，）为平面的法向量，则有

m=q”z2PDCm.兄=0,

2—=0,

'可取加=(1,1,2),10分

,-\-42yi—\[2z-z=0»

C2

»•m|

所以|cos<n,m>|

InIImI2

所以平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为空...................................12分

20.解：(1)由频率分布直方图，得'=0.8X0.1+0.9X0.2+1X0.35+1.1X0.3+1.2X0.05=1,

..............................................................................................................................................................2分

52=(0.8-l)2X0.1+(0.9-1)2X0.2+(1-1)2X0.35+(1.l-l)2X0.3+(1.2-1)2X

0.05=0.011......................................................................................................................................4分

数学参考答案及评分标准第6页（共8页）

(2)i.由(1)可知C=l,2=，0.011。0.105,

所以3—32=1—0.315=0.685,[+32=1+0.315=1.315,.................................................5分

显然1.33>1.315,故需停止生产并检查设备........................................7分

ii.抽测一个零件关键指标在(/-3C//+3C)之内的概率为0.9973,所以抽测一个零件关键指

标在(〃-30,〃+3。)之外的概率为1—0.9973=0.0027,.....................................................8分

故X〜B(10,0.0027),所以P(X>l)=l-P(X=0)=l-0.9973n'#0.0267,.......10分

X的数学期望E(X)=10X0.0027=0.027...........................................................................12分

21.解：(1)由题意得工=...........................................................1分

ac

由椭圆的定义可知4a=8,所以Q=2,所以c=L......................................................................2分

又々2=〃+/,所以加=3,...........................................................................................................3分

所以椭圆E的标准方程为1+「1.......................................................................................4分

(2)设A(©)，B(N2,32)，直线/的方程为1=7”+1,

---=

由143整理得（3/+4）丁+6加3»—9=0,

卜=加）+1,

则有........

故|AB|=/（1+•）[（例+"）2-4y“]=J（l+W）[（曰*）+瞪”]=12><恭塾.

.....................................................................................................................................................7分

直线/'的方程为1=—-1.设CO3，？3），D（X|，、1），

[y+^=l.

由1整理得（±+4）/+^?—9=0,

则有33十丁』=Q，?3yl=《----，.................................................8分

2+42+4

m~m-

WHCD|=J（l+』）[（g+y，）2—4gy门=12X^—=12XfJiL,........................9分

V\〃，/O।।477?।J

所以四边形ACBD的面积

S=i|AB||CD|=72X***=72X3典;+]X晨右*

72__________

10分

（3H■-Jrr）（4--

\m十1八m-rl/

数学参考答案及评分标准第7页(共8页)

7)2旭+

当且仅当时，等号成立，11分

72__________288

所以>

s=I1、团1「西'

3

m2+1/\m2+1/

综上，四边形ACBD面积的最小值为舞..........................................12分

49

22.（1）证明J（0）=e°+cos0—2=0,...............................................1分

当x＜0时，e*VI,cos了41,所以er+cosx＜2,

故e*+cos夕一2Vo，故/（彳）在区间（一8,0）上无零点...............................2分

当