2020年娄底市初中学业水平考试数学试卷

2020年娄底市初中学业水平考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1.－2020的倒数是()A.－2020B.2020C.eq\f(1,2020)D.－eq\f(1,2020)2.下列运算正确的是()A.a2·a3＝a6B.(a＋b)2＝a2＋b2C.(－2a)3＝－8a3D.a2＋a2＝a43.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为()第3题图A.62°B.56°C.28°D.72°4.一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是()A.7、10B.9、9C.10、10D.12、115.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是()6.2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%，其中1695.9亿元用科学记数法表示为()A.16.959×1010元B.1695.9×108元C.1.6959×1010元D.1.6959×1011元7.正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为()A.5B.6C.7D.88.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L·cosα，阻力臂L2＝l·cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是()A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定第8题图第9题图9.如图，平行于y轴的直线分别交y＝eq\f(k1,x)与y＝eq\f(k2,x)的图象(部分)于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为()A.k1－k2B.eq\f(1,2)(k1－k2)C.k2－k1D.eq\f(1,2)(k2－k1)10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为()A.135B.153C.170D.18911.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是()A.y＝x2＋x＋2B.y＝eq\r(x)＋1C.y＝x＋eq\f(1,x)D.y＝|x|－112.二次函数y＝(x－a)(x－b)－2(a<b)与x轴的两个交点的横坐标为m和n，且m<n，下列结论正确的是()A.m<a<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<nD.a<m<n<b二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13.一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝________．14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白球的概率是________．15.若eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)＝eq\f(1,2)(a≠c)，则eq\f(b－d,a－c)＝________．16.如图，公路弯道标志eq\x(R＝m)表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝________米．第16题图17.如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为________．第17题图第18题图18.由4个直角边长分别为a、b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若a>0、b>0且a2＋b2为定值，则当a________b时，ab取得最大值．三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)19.计算：|eq\r(3)－1|－3tan30°＋(3.14－π)0＋(eq\f(1,2))－1.先化简(eq\f(m,m＋3)－eq\f(2m,m－3))÷eq\f(m,m2－9).然后从－3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)21.我市开展“温暖家园，创文同行”活动，某初中学校倡仪学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学样随机调查了部分同学的劳动时间t(h)：A.0≤t≤0.5，B.0.5＜t≤1，C.1＜t≤1.5，D.t>1.5，将所得数据绘制成了如下不完整的统计图：第21题图(1)本次调查参加义务劳动的学生共________人，a＝________．(2)补全条形统计图．(3)扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是________度．22.如实景图图①，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图图②所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长(结果精确到0.1m，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．图①图②第22题图五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)23.为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：(1)该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？(2)若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？

24.如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE.(1)试判定四边形AECF的形状，并说明理由；(2)求证：AE⊥DE.第24题图六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若AB＝5，BE＝4，求BD的长；(3)请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．第25题图26.如图，抛物线经过点A(－3，0)、B(1，0)、C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m，n)是抛物线上的动点，当－3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；(3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2－DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．第26题图

2020年娄底中考数学考试题解析1.D【解析】解：∵1÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2020))＝－eq\f(1,2020)，∴－2020的倒数是：－eq\f(1,2020)，故选D.2.C【解析】A、a2·a3＝a2＋3＝a5，此项错误B、(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，此项错误，C、(－2a)3＝－8a3，此项正确D、a2＋a2＝2a2，此项错误．故选：C.第3题解图3.A【解析】如解图，标注字母，由题意得：∠EBD＝90°，∠1＝28°，AB//CD，∴∠ABD＝90°－28°＝62°，故选A.4.C【解析】这组数据的平均数是：eq\f(1,5)(7＋8＋10＋12＋13)＝10,把这些数从小到大排列为：7，8，10，12，13，最中间的数是10，则中位数是10;故选：C.5.B【解析】A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误.故选：B.6.D【解析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，则1695.9亿＝1.6959×103×108＝1.6959×1011，故选：D.7.B【解析】正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷60°＝6，故选：B.8.A【解析】：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L·cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A.9.B【解析】设A的坐标为(x，eq\f(k1,x))，B的坐标为(x，eq\f(k2,x))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k1,x)－\f(k2,x)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k1－k2))，故选：B.10.C【解析】由观察分析：每个正方形内有：2×2＝4，2×3＝6，2×4＝8,∴2b＝18,∴b＝9,由观察发现：a＝8,又∵每个正方形内有2×4＋1＝9，3×6＋2＝20，4×8＋3＝35,∴18b＋a＝x,∴x＝18×9＋8＝170.故选C.11.D【解析】当y＝x2＋x＋2＝0，∵a＝1，b＝1，c＝2,∴△＝b2－4ac＝1－4×1×2＝－7＜0，∴原方程没有实数解，∴y＝x2＋x＋2没有零点，故A不符合题意，当y＝eq\r(x)＋1＝0，∴eq\r(x)＝－1,显然，方程没有解，所以y＝eq\r(x)＋1没有零点，故B不符合题意，当y＝x＋eq\f(1,x)＝0，∴x2＋1＝0,显然方程无解，所以y＝x＋eq\f(1,x)没有零点，故C不符合题意，当y＝|x|－1＝0，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＝1,∴x＝±1,∴y＝|x|－1有两个零点，故D符合题意，故选D.第12题解图12.C【解析】二次函数y＝(x－a)(x－b)与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝(x－a)(x－b)－2的图象，如解图所示，观察图象，可知：m＜a＜b＜n.故选C.13.1【解析】∵方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))2－4×1·c＝0，∴4c＝4，∴c＝1.14.eq\f(2,5)【解析】由题可知，摸出白球的概率P＝eq\f(2,5).15.eq\f(1,2)【解析】由eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)＝eq\f(1,2)(a≠c)可得a＝2b，c＝2d，代入eq\f(b－d,a－c)＝eq\f(b－d,2b－2d)＝eq\f(b－d,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－d)))＝eq\f(1,2).第16题解图16.300【解析】如解图，连接AO、BO，∵100π＝eq\f(nπR,180)＝eq\f(nπ·300,180)，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300(米)．17.3∶2【解析】∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为1，∴上面圆锥的侧面积为：π·AB·1，下面圆锥的侧面积为：π·BD·1，∴S上∶S下＝3∶2.18.＝【解析】设a2＋b2为定值k，则c2＝a2＋b2＝k，由“赵爽弦图”可知，2ab＝c2－(a－b)2＝k－(a－b)2，即ab＝eq\f(k－（a－b）2,2)要使ab的值最大，则(a－b)2需最小，又∵(a－b)2≥0，∴当a＝b时，(a－b)2取得最小值，最小值为0，则当a＝b时，ab取得最大值，最大值为eq\f(k,2).19.解：原式＝eq\r(3)－1－3×eq\f(\r(3),3)＋1＋2＝eq\r(3)－1－eq\r(3)＋1＋2＝2.20.解：原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m（m－3）,（m＋3）（m－3）)－\f(2m（m＋3）,（m＋3）（m－3）)))÷eq\f(m,（m＋3）（m－3）)＝eq\f(m2－3m－2m2－6m,（m＋3）（m－3）)·eq\f(（m＋3）（m－3）,m)＝eq\f(－m2－9m,m)＝eq\f(－m（m＋9）,m)＝－m－9∵分式的分母不能为0∴m≠0，m－3≠0，m＋3≠0解得：m不能为－3，0，3,则选m＝1代入得：原式＝－m－9＝－1－9＝－10.21.解：(1)35÷35%＝100，40÷100×100%＝40%，∴本次调查参加义务劳动的学生共100人，a＝40；故答案为：100；40；(2)补全条形统计图如解图所示．第21题解图(3)5÷100×360°＝18°，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角为18°.22.解：如解图，延长CD，与AE相交于F，过点D、C两点分别作AB的垂线交AB于点G、H，则在Rt△DEF中，DE＝4，∠EDF＝30°，EF＝2，第22题解图DF＝DE·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)＝AGGH＝DC＝2，CH＝AF＝5－2＝3，在Rt△BCH中，CH：BH＝1：4，BH＝12AB＝AG＋GH＋BH＝2eq\r(3)＋2＋12≈17.46≈17.5(m)答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为17.5m.23.解：(1)设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(400－x))瓶依题意得：25x＋15(400－x)＝7200解得x＝120400－x＝280答：该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶．(2)设最多能购买洗手液a瓶25a＋15(150－a)≤2500解得a≤25答：最多能买洗手液25瓶．24.解：(1)四边形AECF为菱形，理由如下由▱ABCD可得AD//BC，从而∠CAF＝∠ACE设AC与EF相交于点O∵点E与点F关于AC对称∴OE＝OF且EF⊥AC在△AOF和△COE中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CAF＝∠ACE,OE＝OF,∠AOF＝∠COE)))∴△AOF≌△COE∴OA＝OC，又OE＝OF，EF⊥AC∴四边形AECF为菱形，(2)∵AB⊥AC，据(1)EF⊥AC∴EF//AB又∵OA＝OC∴BE＝CEAF＝DFEF＝AB＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD＝AF＝DF∴AE⊥DE.25.(1)证明：如解图，连接OD，据题意得OB＝OD，∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD//BC，又∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．第25题解图(2)解：AB为⊙O的直径可得：∠ADB＝90°，由(1)得：∠CBD＝∠OBD且∠DEB＝90°，∴在△DBE和△ABD中，∠EBD＝∠ABD，∠DEB＝∠ADB，∴△DBE∽△ABD，∴BD2＝AB·BE，又∵AB＝5，BE＝4，∴BD＝eq\r(20)＝2eq\r(5).(3)CE＝AB－BE.由∠EBD＝∠ABD得CD＝AD，∵∠ADB＝90°，∠CED＝90°，∴CD2＝AD2＝AB2－BD2，DE2＝BD2－BE2，CE2＝CD2－DE2＝AB2＋BE2－2BD2＝(AB－BE)2，由Rt△DBE，Rt△ABD得AB>BD>BE，∴CE＝AB－BE.26.解：(1)据题意可设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)